應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程 期末復(fù)習(xí)資料

1、1第一章 第一章 隨機(jī)過(guò)程的基本概念 隨機(jī)過(guò)程的基本概念一、隨機(jī)過(guò)程的定義 一、隨機(jī)過(guò)程的定義例 1：醫(yī)院登記新生兒性別，0 表示男，1 表示女，Xn 表示第 n 次登記的數(shù)字，得到一個(gè)序列 X1 ， X2 ， ···，記為{Xn，n=1,2, ···}，則 Xn 是隨機(jī)變量，而{Xn，n=1,2, ···}是隨機(jī)過(guò)程。例 2：在地

2、震預(yù)報(bào)中，若每半年統(tǒng)計(jì)一次發(fā)生在某區(qū)域的地震的最大震級(jí)。令 Xn 表示第 n次統(tǒng)計(jì)所得的值，則 Xn 是隨機(jī)變量。為了預(yù)測(cè)該區(qū)域未來(lái)地震的強(qiáng)度，我們就要研究隨機(jī)過(guò)程{Xn，n=1,2, ···}的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例 3：一個(gè)醉漢在路上行走，以概率 p 前進(jìn)一步，以概率 1-p 后退一步（假設(shè)步長(zhǎng)相同） 。以 X(t)記他 t 時(shí)刻在路上的位置，則{X(t), t 0}就是（直線上的）隨機(jī)游動(dòng)。 ?例 4：乘客

3、到火車站買票，當(dāng)所有售票窗口都在忙碌時(shí)，來(lái)到的乘客就要排隊(duì)等候。乘客的到來(lái)和每個(gè)乘客所需的服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)的，所以如果用 X(t)表示 t 時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)，用Y(t)表示 t 時(shí)刻到來(lái)的顧客所需等待的時(shí)間，則{X(t), t T}和{Y(t), t T}都是隨機(jī)過(guò)程。 ? ?定義 定義：設(shè)給定參數(shù)集合 T，若對(duì)每個(gè) t T, X(t)是概率空間 上的隨機(jī)變量，則稱 ? ) , , ( P ? ?{X(t), t T}為隨機(jī)過(guò)程，其中 T 為

4、指標(biāo)集或參數(shù)集。 ?，E 稱為狀態(tài)空間，即 X(t)的所有可能狀態(tài)構(gòu)成的集合。 E X t ? ? : ) (?例 1：E 為{0,1}例 2：E 為[0, 10]例 3：E 為 } , 2 , 2 , 1 , 1 , 0 { ? ? ?例 4：E 都為 ) , 0 [ ? ?注：（1）根據(jù)狀態(tài)空間 E 的不同，過(guò)程可分為連續(xù)狀態(tài)和離散狀態(tài)，例 1，例 3 為離散狀態(tài)，其他為連續(xù)狀態(tài)。（2）參數(shù)集 T 通常代表時(shí)間，當(dāng) T 取 R, R

5、+, [a,b]時(shí)，稱{X(t), t T}為連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過(guò) ?程；當(dāng) T 取 Z, Z+時(shí)，稱{X(t), t T}為離散參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程。 ?（3）例 1 為離散狀態(tài)離散參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程，例 2 為連續(xù)狀態(tài)離散參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程，例 3 為離散狀態(tài)連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程，例 4 為連續(xù)狀態(tài)連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程。二、有限維分布與 二、有限維分布與 Kolmogorov 定理 定理隨機(jī)過(guò)程的一維分布： 隨機(jī)過(guò)程的一維分布： } ) ( { ) ,

6、( x t X P x t F ? ?隨機(jī)過(guò)程的二維分布： 隨機(jī)過(guò)程的二維分布：T t t x t X x t X P x x F t t ? ? ? ? 2 1 2 2 1 1 2 1 , , }, ) ( , ) ( { ) , (2 1?3三、隨機(jī)過(guò)程的基本類型 三、隨機(jī)過(guò)程的基本類型獨(dú)立增量過(guò)程 獨(dú)立增量過(guò)程：如果對(duì)任意 隨機(jī)變量, , , , 2 1 T t t t n ? ? ? ? , 2 1 n t t t ? ? ?

7、? ? ? , ) ( ) ( 1 2 ?? ? ? t X t X是相互獨(dú)立的，則稱{X(t), t T}是獨(dú)立增量過(guò)程。 ) ( ) ( 1 ? ? n n t X t X ?平穩(wěn)增量過(guò)程 平穩(wěn)增量過(guò)程：如果對(duì)任意 ，有 X(t1+h)-X(t1)X(t2+h)-X(t2)，則稱{X(t), t T}是平 2 1, t t d ?穩(wěn)增量過(guò)程。平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程 平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程：兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過(guò)程稱為平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程，例如

8、Poisson過(guò)程和 Brownian motionPoisson 過(guò)程 過(guò)程2.1 Poisson 過(guò)程 過(guò)程1. 計(jì)數(shù)過(guò)程 計(jì)數(shù)過(guò)程定義：隨機(jī)過(guò)程 稱為計(jì)數(shù)過(guò)程，如果 表示從 0 到 t 時(shí)刻某一特定事件 } 0 ), ( { ? t t N ) (t NA 發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個(gè)特點(diǎn)：（1） 且取值為整數(shù)； 0 ) ( ? t N（2） 時(shí)， 且 表示 時(shí)間內(nèi)事件 A 發(fā)生的次數(shù)。 t s ? ) ( ) ( t N s N

9、 ? ) ( ) ( s N t N ? ] , ( t s2. Poisson 過(guò)程 過(guò)程定義 2.1.1：計(jì)數(shù)過(guò)程 稱為參數(shù)為 （ ）的 Poisson 過(guò)程，如果 } 0 ), ( { ? t t N ? 0 ? ?（1） ; 0 ) 0 ( ? N（2）過(guò)程具有獨(dú)立增量性；（3）在任一長(zhǎng)度為 t 的時(shí)間區(qū)間中事件發(fā)生的次數(shù)服從均值為 的 Poisson 分布，即對(duì)一 t ?切 ，有 0 , 0 ? ? t s ? ? ? ,