人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第24章《 圓：24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系》

1、24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,我國(guó)射擊運(yùn)動(dòng)員在奧運(yùn)會(huì)上屢獲金牌，為祖國(guó)贏得榮譽(yù)，圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓（圓心相同、半徑不等的圓）構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績(jī)是如何計(jì)算的嗎？,解決這個(gè)問(wèn)題，需要研究點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.我們知道，圓上所有的點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑.如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓上，點(diǎn)C在圓外.容易看出：OA＜r,OB=r,OC＞r.反過(guò)來(lái)，如果OA＜r,OB=r,OC＞r，則可以得到點(diǎn)A

2、在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓上，點(diǎn)C在圓外.,歸 納,設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外 d＞r；點(diǎn)P在圓上 d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi) d＜r.,,符號(hào)“ ”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“ ”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端.,【例1】 已知⊙O的半徑r＝5 cm，圓心O到直線(xiàn)l的距離d＝OD＝3 cm，在直線(xiàn)l上有P，Q，R三點(diǎn)，且有PD＝4 cm，QD

3、＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三點(diǎn)與⊙O的位置關(guān)系各是怎樣的？,分析：要判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是要比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小，而半徑為已知量，即需求出相關(guān)點(diǎn)到圓心的距離．,解：如圖，連接OR，OP，OQ. ∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l， ∴點(diǎn)P在⊙O上； ∵QD＝5 cm， ∴點(diǎn)Q在⊙O外； ∵RD＝3 cm， ∴點(diǎn)R在⊙O內(nèi)．,總 結(jié),判斷

4、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是計(jì)算出點(diǎn)到圓心的距離，再與圓的半徑比較大小，由數(shù)量關(guān)系決定位置關(guān)系；構(gòu)造直角三角形并運(yùn)用勾股定理是求距離的常用輔助方法．,⊙O的半徑為5 cm，點(diǎn)A到圓心O的距離OA＝3 cm，則點(diǎn)A與圓O的位置關(guān)系為(　　)A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓內(nèi)C．點(diǎn)A在圓外 D．無(wú)法確定,B,我們知道，已知圓心和半徑，可以作一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)A能不能作圓，這樣的圓你能作出多少個(gè)？經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A，B

5、能不能作圓？如果能，圓心分布有什么特點(diǎn)？,思考： 經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C能不能作圓？如果能，如何確定所作圓的圓心？,總 結(jié),(1)經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓；圓心可以是這一 點(diǎn)之外任何點(diǎn)． (2) 經(jīng)過(guò)平面內(nèi)兩點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓；圓心在連接這兩 點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上． (3) 經(jīng)過(guò)平面內(nèi)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，可以作一個(gè)圓， 并且只能作一個(gè)圓；圓心為連接其中任意兩點(diǎn)的線(xiàn)

6、 段的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)．,【例2】如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)D在直線(xiàn)AB外， 過(guò)這4個(gè)點(diǎn)中的任意3個(gè)點(diǎn)，能畫(huà)圓的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 分析：在4個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，關(guān)鍵是 這3個(gè)點(diǎn)要不在同一直線(xiàn)上，因此本題 的實(shí)質(zhì)是在A，B，C中找2個(gè)點(diǎn)與點(diǎn) D確定圓．根據(jù)題意得出：點(diǎn)D，A，B；點(diǎn)D，A，C

7、；點(diǎn) D，B，C可以分別確定一個(gè)圓．故過(guò)這4個(gè)點(diǎn)中的任意3 個(gè)點(diǎn)，能畫(huà)圓的個(gè)數(shù)是3.故選C.,C,總 結(jié),確定一個(gè)圓的條件：(1)已知圓心、半徑，可以確定一個(gè)圓．(2)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．,1.下列關(guān)于確定一個(gè)圓的說(shuō)法中，正確的是(　　) A．三個(gè)點(diǎn)一定能確定一個(gè)圓 B．以已知線(xiàn)段為半徑能確定一個(gè)圓 C．以已知線(xiàn)段為直徑能確定一個(gè)圓 D．菱形的四個(gè)頂點(diǎn)能確定一個(gè)

8、圓,2.已知AB＝4 cm，則過(guò)點(diǎn)A，B且半徑為3 cm的圓有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè),C,B,三角形的外接圓,試一試：任意畫(huà)一個(gè)三角形，然后再畫(huà)出經(jīng)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)的圓.,經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心.,【例3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O

9、 的半徑．,分析：要求⊙O的半徑，已知弦AB的長(zhǎng)，需以AB為邊與⊙O的半徑(或直徑)構(gòu)成等腰直角三角形，因此有兩個(gè)切入點(diǎn)．,方法一：如圖1，連接OA，OB，利用圓周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用勾股定理求出半徑；,方法二：如圖2，作直徑AD，連接BD，利用同弧所對(duì)的圓周角相等，得∠D＝∠C＝45°，再利用勾股定理可求出半徑．,解：方法一：如圖1，連接OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，

10、 ∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°. ∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42. 解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合題意，舍去)． ∴⊙O的半徑為2 .,圖 1,方法二：如圖2，作直徑AD，連接BD，設(shè)⊙O的半徑為r.∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°.又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AB＝4.在

11、Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，即42＋42＝(2r)2，解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合題意，舍去)．∴⊙O的半徑為2 .,圖 2,總 結(jié),求三角形的外接圓半徑時(shí)，最常用的辦法是作出圓心與三角形頂點(diǎn)的連線(xiàn)(即半徑)，延長(zhǎng)使這條半徑變?yōu)橹睆?，將求半徑轉(zhuǎn)化為直角三角形中求邊的長(zhǎng)．,下列說(shuō)法中，正確的是(　　) A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形 C．三角形的外心到三角形三邊的

12、距離相等 D．三角形有且只有一個(gè)外接圓,D,反 證 法,思考：經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)能作出一個(gè)圓嗎？如圖，假設(shè)經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)l上的A,B,C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓.設(shè)這個(gè)圓的圓心為P，那么點(diǎn)P既在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l1上，又在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)l2上，即點(diǎn)P為l1與l2的交點(diǎn)，而l1⊥l，l2⊥l，這與我們以前學(xué)過(guò)的“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直”矛盾.所以，經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓.,歸 納,上面證

13、明“經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓”的方法與我們以前學(xué)過(guò)的證明不同，它不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)經(jīng)過(guò)同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓），由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.,,【例4】用反證法證明平行線(xiàn)的性質(zhì)“兩直線(xiàn)平行，同位角相等”. 證明：如圖，我們要證明：如果AB∥CD,那么∠1=∠2. 假設(shè)∠1≠∠2，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)A′B′，

14、 使∠EOB′=∠2.根據(jù) “同位角相等，兩直線(xiàn)平行”，可 得A′B′∥CD.這樣，過(guò)點(diǎn)O就有 兩條直線(xiàn)AB，A′B′都平行于CD，這與平行公理“過(guò) 直線(xiàn)外一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行”矛盾. 這說(shuō)明假設(shè)∠1≠∠2不正確，從而∠1=∠2.,總 結(jié),(1)反證法適用情形：①命題的結(jié)論的表述為“肯定”或“否定”， 且用直接法證較困難；②證明一