結(jié)構(gòu)力學第三章習題解析

1、第三章 結(jié)構(gòu)地震反應分析 與抗震計算,3.1 概述3.2 單自由度體系的彈性地震反應分析3.3 單自由度體系的水平地震作用與反應譜3.4 多自由度彈性體系的地震反應分析3.5 多自由度彈性體系最大地震反應與水平地震作用3.6 豎向地震作用3.7 結(jié)構(gòu)平扭耦合地震反應與雙向水平地震影響3.8 結(jié)構(gòu)非彈性地震反應分析3.9 結(jié)構(gòu)抗震驗算,§3.1 概述,由地震動引起的結(jié)構(gòu)

2、內(nèi)力、變形、位移及結(jié)構(gòu)運動速度與加速度等,一、結(jié)構(gòu)地震反應,,：由地震動引起的結(jié)構(gòu)位移,地面運動,結(jié)構(gòu)動力特性：自振周期，振型和阻尼,,1.結(jié)構(gòu)地震反應,2.結(jié)構(gòu)地震位移反應,：,結(jié)構(gòu)地震反應 影響因素,結(jié)構(gòu)的地震作用效應就是指在地震作用下在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的彎矩、剪力、軸向力和位移等。,§3.1 概述,：能引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形等反應的各種因素,二、地震作用,,作用分類,——各種荷載：如重力、風載、土壓力等,,——各種非荷載作

3、用：如溫度、基礎(chǔ)沉降、地震等,等效地震荷載,：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用,作用,直接作用,間接作用,結(jié)構(gòu)的地震作用:地震時，由于地面運動使原來處于靜止的結(jié)構(gòu)受到動力作用，產(chǎn)生受迫振動，由于地面的強迫振動在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的慣性力,地震作用的確定：反應譜理論和動力理論,反應譜理論：將多個實測的地面振動波分別代入單自由度反應方程，計算出各自最大彈性地震反應（加速度、速度、位移），從而得出結(jié)構(gòu)最大地震反應與該結(jié)構(gòu)自振周期的關(guān)

4、系曲線，這個曲線就是反應譜，在工程中應用比較廣泛的是加速度反應譜。由于反應譜可計算出最大地震作用，然后按靜分析法計算地震反，所以仍屬于靜力法。但由于反應批理論較真實地考慮了結(jié)構(gòu)振動特點，計算簡單實用，因此目前是各國建筑抗震規(guī)范中給出的一種主要抗震分析方法。,動力理論是直接通過動力方程采取逐步積分法求解出地震反應與時間的關(guān)系曲線，這條曲線成為時程曲線，因此該方法又稱為時程分析法。時程分析法能更真實地反映結(jié)構(gòu)地震響應隨時間變化的

5、全過程，并可處理強震下結(jié)構(gòu)的彈塑性變形，因此已成為抗震分析的一種重要方法，但由于時程法只能使用特定的地震波，而且計算分析量大，因此目前我國規(guī)范仍主要采用反應譜法進行抗震分析。,隨著計算機技術(shù)和有限元理論的發(fā)展，利用大型有限元軟件如Ansys,MSC.Marc等對結(jié)構(gòu)進行地震發(fā)應分析和有限元仿真分析已開始等到廣泛的應用。,§3.1 概述,1. 連續(xù)化描述（分布質(zhì)量）,三、結(jié)構(gòu)動力計算簡圖及體系自由度,,描述結(jié)構(gòu)質(zhì)量的兩

6、種方法,采用集中質(zhì)量方法確定結(jié)構(gòu)計算簡圖 （步驟）：,2. 集中化描述（集中質(zhì)量）,工程上常用,定出結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中 位置（質(zhì)心）,將區(qū)域主要質(zhì)量集中在質(zhì)心；將次要質(zhì)量合并到相鄰主要質(zhì)量的質(zhì)點上去,,,集中化描述舉例,a、水塔建筑,,主要質(zhì)量：水箱部分次要質(zhì)量：塔柱部分,水箱全部質(zhì)量部分塔柱質(zhì)量,集中到水箱質(zhì)心,單質(zhì)點體系,,,b、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板）,,主要質(zhì)量：屋面部分,廠房各跨質(zhì)量,集中到各跨屋蓋標高處,,,集中

7、化描述舉例,c、多、高層建筑,,主要質(zhì)量：樓蓋部分,多質(zhì)點體系,,d、煙囪,,結(jié)構(gòu)無主要質(zhì)量部分,結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域,集中到各區(qū)域質(zhì)心,,,,多質(zhì)點體系,,§3.2 單自由度彈性體系的地震反應,一、運動方程,,,地面水平運動的位移,質(zhì)點相對地面的水平位移,質(zhì)點的絕對位移,相應的絕對加速度,,,,,慣性力I為質(zhì)點的質(zhì)量m與絕對加速度的乘積,彈性恢復力S是使質(zhì)點從振動位置恢復到平衡位置的一種力，它的大小與質(zhì)點離開平衡位置的位移成正

8、比,阻尼力D是一種使結(jié)構(gòu)振動不斷衰減的力，即結(jié)構(gòu)在振動過程中，由于材料的內(nèi)摩擦、構(gòu)件連接處的摩擦、地基土的內(nèi)摩擦以及周圍介質(zhì)對振動的阻力等，使得結(jié)構(gòu)的振動能量受到損耗而導致其振幅逐漸衰減的一種力。阻尼力有集中不同的理論，目前應用最廣泛的是所謂的粘滯阻溺理論，它假定阻尼力的大小與質(zhì)點的速度成正比,,,,根據(jù)達朗貝爾原理，物體在運動中的任意瞬時，作用在物體上的外力與慣性力互相平衡,,,,力的平衡條件：,,令,,二、運動方程的解,1

9、.方程的齊次解——自由振動,齊次方程：,自由振動：在沒有外界激勵的情況下結(jié)構(gòu)體系的運動,,為共軛復數(shù),，,（2）若,方程的解：,,特征方程,,特征根,,（4）若 ， 、 為負實數(shù),（3）若,，,、,物體從開始的最大位移處緩慢地逼近平衡位置，完全不可能再作往復振動——過阻尼狀態(tài),物體從開始的最大位移處快速逼近平衡位置——臨界阻尼狀態(tài),體系產(chǎn)生振動——欠阻尼狀態(tài),其中,圖 各種阻尼下單自由度體系的自由振動,當,

10、臨界阻尼系數(shù)：,臨界阻尼比（簡稱阻尼比）,（1）若,,,體系產(chǎn)生振動——無阻尼狀態(tài),,任何一個振動系統(tǒng)，當阻尼增加到一定程度時，物體的運動是非周期性的，物體振動連一次都不能完成，只是慢慢地回到平衡位置就停止了。當阻力使振動物體剛能不作周期性振動而又能最快地回到平衡位置的情況，稱為“臨界阻尼”，或中肯阻尼狀態(tài)。如果阻尼再增大，系統(tǒng)則需要很長時間才能達到平衡位置，這樣的運動叫過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)如果所受的阻尼力較小，則要振動很多次

11、，而振幅則在逐漸減小，最后才能達到平衡位置，這叫做“欠阻尼”狀態(tài)。,所謂“欠”阻尼，說明阻尼不夠大，因此這個阻尼并不足以阻止振動越過平衡位置。此時系統(tǒng)將做振幅逐漸減小的周期性阻尼振動。系統(tǒng)的運動被不斷阻礙，所以振幅減衰，并且振動周期也是越來越長。經(jīng)過較長時間后，振動停止。此時的振動方程是正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。振動曲線如圖所示。,,欠阻尼,,圖所,所謂“過”阻尼，說明阻尼太大，振動根本無法越過平衡位置，只能以非周期運動形式緩慢地

12、向平衡位置移動。為什么又要“緩慢地”？是因為阻尼過大，所以這阻礙了振動向平衡位置的移動，導致這種阻尼振動的停止也很緩慢。此時已經(jīng)沒有振幅、周期一說了。這種振動的方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。振動曲線如圖所示。,過阻尼,臨界阻尼,欠阻尼、過阻尼使振動回到平衡位置所需時間都較長，那怎樣使所需時間最短呢？當阻尼取一個特定的值的時候，振動會很快地靠近平衡位置，但又不越過平衡位置。這種振動的振動曲線似乎和過阻尼很像，但它們的振動方程完全不一樣

13、。過阻尼的振動方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積，而臨界阻尼的振動方程是正比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。三種阻尼振動中，以臨界阻尼回到平衡位置所需時間最短。其阻尼大小小于過阻尼，而大于欠阻尼。所以，在各種需要盡快停止振動的地方，都盡力地調(diào)節(jié)其振動的頻率、阻尼大小，使其達到臨界阻尼狀態(tài)，最大程度地消除振動的影響。,初始條件:,, 初始速度,則,體系自由振動位移時程,,初始位移,當 （無阻尼）,,——固有頻率，體系的圓頻率，質(zhì)點

14、在2π時間內(nèi)的振動次數(shù),——固有周期,無阻尼單自由度體系自由振動為簡諧振動,自振的振幅將不斷衰減，直至消失,有阻尼體系,,無阻尼體系自由振動時的振幅不變，而有阻尼體系自由振動的曲線則是一條逐漸衰減的波動曲線，即振幅隨時間的增加而減小，并且體系的阻尼越大，其振幅的衰減就越快。,嚴格地說，有阻尼單自由度體系的自由振動不具有周期性，因為體系在自由振動過程中其振幅不斷衰減。但由于體系的運動是往復的，指點每振動一個循環(huán)所需要的時間間隔是

15、相等的，因此就把這個時間間隔稱為有阻尼體系的周期,,,有阻尼時的自振頻率小于無阻尼時的自振頻率，這說明由于阻尼的存在，將使結(jié)構(gòu)的自振頻率減小，周期增大。,在實際結(jié)構(gòu)中，阻尼比的數(shù)值一般都很小，其值大約 在之間。因此有阻尼頻率與無阻尼頻率相差不大，在實際計算中可以近似地取,,,,例題3-1,已知一水塔結(jié)構(gòu)，可簡化為單自由度體系（見圖）。,，,求該結(jié)構(gòu)的自振周期。,解：直接由式,并采用國際單位可得:,3.方

16、程的特解II——瞬時沖量,,,沖量等于動量的增量,,,自由振動,,,,,,求解方法：,將地面運動分解為很多個脈沖運動,時刻的地面運動脈沖,,4.方程的特解III —— 一般強迫振動,,,引起的體系反應為：,,疊加：體系在t時刻的地震反應為：,方程通解（單自由度體系）：,體系地震反應（通解）=自由振動（齊次解）+強迫振動（特解）,初位移、初速度引起迅速衰減，可不考慮,地面運動引起,地面運動脈沖引起的單自由度體系反應,杜哈密積分,,,在實

17、際計算中可以近似地取,,,,通解,§3.3單自由度體系的水平地震作用與反應譜,,,,反應譜是指單自由度體系最大地震反應與體系自振周期的關(guān)系曲線，根據(jù)反應量的不同，又分為位移反應譜、速度反應譜和加速度反應譜。由于結(jié)構(gòu)所有的地震作用（即質(zhì)點上的慣性力）與質(zhì)點運動的加速度直接相關(guān)，因此工程抗震領(lǐng)域，常采用加速度反應譜計算結(jié)構(gòu)的地震作用。,一、水平地震作用的定義,地震作用就是地震時結(jié)構(gòu)上受到的慣性力,,,,在地震作用下，質(zhì)點在任

18、一時刻的相對位移將與該時刻的瞬時慣性力成正比。因此可以認為這一相對位移是在慣性力的作用下引起的，雖然慣性力并不是真實作用于質(zhì)點上的力，但慣性力對結(jié)構(gòu)的作用和地震對結(jié)構(gòu)的作用效果相當，所以可以認為是一種反映地震影響效果的等效力，利用它的最大值來對結(jié)構(gòu)進行抗震驗算，就可以使抗震設計這一動力計算問題轉(zhuǎn)化為相當于靜力荷載作用下的靜力計算問題。,,上式等號右邊的阻尼項 相對于彈性恢復力 來說是非常的小，可以忽略,

19、,,,,,質(zhì)點的絕對加速度,,,,,由于地面運動的加速度是隨時間而變化的，故為了求得結(jié)構(gòu)在地震持續(xù)過程中所經(jīng)受的最大地震作用，以便用一進行抗震設計，必須計算出質(zhì)點的最大絕對加速度，即,,由上式可知，質(zhì)點的絕對最大加速度取決于地震時的地面運動加速度，結(jié)構(gòu)的自振頻率或自振周期以及結(jié)構(gòu)的阻尼比。然而，由于地面水平運動的加速度極不規(guī)則，無法用簡單的解析式來計算，故在計算 時，一般采用數(shù)值積分法。,,,,,,二、地震反應譜,根據(jù)上式，

20、若給定地震時地面運動的加速度讀記錄和體系的阻尼比 ，則可以計算出質(zhì)點的最大加速度反應與自振周期的關(guān)系曲線，對于不同的阻尼比可以得到不同的 曲線。圖3-6是根據(jù)1940年埃爾森特羅(El-Centro)地震時地面加速度記錄繪制的加速度反應譜曲線。 （TAFT波和天津?qū)幒拥卣鸩?）,,,,圖3-6 1940年埃爾森特羅(El-Centro)地震波加速度反應譜曲線,,由圖埃爾森特羅(El-Centro)地震波加速度

21、反應譜曲線可知加速度反應譜曲線有下列特點：①加速度反應譜曲線為一多峰點曲線；②當阻尼比等于零時，加速度反應譜的譜值最大，峰點越突出，即便是不大的阻尼比也能使峰點下降很多，并且譜值隨阻尼比的增大而減??；③當結(jié)構(gòu)的周期較小時，隨著周期的增大其譜值急劇增大，但至峰點后，則隨著周期的增大其反應逐漸減小，而且逐漸平緩。,根據(jù)反應譜曲線，對于任何一個自由度彈性體系，如果已知其自振周期和結(jié)構(gòu)的阻尼比就可以從曲線中查得該體系在特定地震記錄下的

22、最大加速度Sa。Sa與質(zhì)點質(zhì)量的乘積即為水平地震作用下的絕對最大值，即,,,三、標準反應譜,為了便于應用，在上式中引入能反應地面運動強弱的地面運動最大加速度， 并將其改寫為下列形式,,,,（1）地震系數(shù),可知地震系數(shù)k為,,它表示地面運動的最大加速度與重力加速度之比。一般地，地面運動加速度越大，則地震烈度越大，所以地震系數(shù)與地震烈度之間存在著意定的對應關(guān)系。如表3-1所示。需要注意的是，地震烈度的大小取決

23、于地面運動最大加速度，而且還與地震的持續(xù)時間和地震波的頻譜特性等有關(guān)。,表3-1地震系數(shù)k與地震烈度的關(guān)系,（2）動力系數(shù) 同樣，由（3-31）可知動力系數(shù)為,,,它是單質(zhì)點最大絕對加速與地面加速度的比值，表示由于動力效應，質(zhì)點的最大絕對加速度比地面最大加速度放大多少倍。因為當 增大或減小時， 相應隨之增大或減小，因此值 與地震烈度無關(guān)，這就可以利用所有不同烈度的地震記錄進行統(tǒng)計

24、和計算。,,,,這樣就得到了 與 的關(guān)系曲線，稱為 譜曲線，它實際上就是相對于地面最大加速度的加速度反應譜，兩者形狀上完全一樣。,,,,根據(jù)不同的地面運動記錄的統(tǒng)計分析可以看出，場地土的特點、震級以及震中距等都對反應譜曲線有明顯的影響。①場地土特性的影響：對于土質(zhì)松軟的場地， 譜曲線的主要峰點偏于較長的周期，而地質(zhì)堅硬時則一般偏于較短的周期，同時，場地土越軟，并且該松軟土層越厚時， 譜曲線譜值越大，

25、見圖3-7（a）；②震中距的影響：當烈度相同時，震中距遠時加速度反應譜的峰點偏于較長的周期，近時則偏于較短的周期，3-7（b）。因此，在離大地震震中較遠的地方，高柔結(jié)構(gòu)因其周期較長所受到的地震破壞，將比在等烈度下較小或中等地震的震中地區(qū)所受的破壞嚴重，而剛性結(jié)構(gòu)的地震破壞情況則相反。,,圖3-7各種因素對反應譜的影響（a）場地條件對 譜曲線的影響；（b）同等烈度下震中距對加速度譜曲線的影響,四、設計反應譜,為了便于

26、計算，《建筑抗震設計規(guī)范》采用相對于重力加速度的單質(zhì)點絕對最大加速度，即 用 表示， 稱為地震影響系數(shù)。由式（3-31）知,,,,,,,,實際上就是作用于單質(zhì)點彈性體系上的水平地震力與結(jié)構(gòu)重力之比。,（1）地震影響系數(shù)的確定。建筑結(jié)構(gòu)地震影響系數(shù)曲線(圖3-8)的阻尼調(diào)整和形狀參數(shù)應符合下列要求：除有專門規(guī)定外，建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比應取0.05，地震影響系數(shù)曲線的阻尼調(diào)整系數(shù)應按1.0采用，形狀參數(shù)應符合下列規(guī)

27、定：,,,,,,,,,圖3-8地震影響系數(shù) 曲線,,——地震影響系數(shù)最大值,,——直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)；,,——曲線下降段的衰減指數(shù)；,——特征周期；,——阻尼調(diào)整系數(shù)；,——結(jié)構(gòu)自振周期,,,,,,,1直線上升段，周期小于0.1s的區(qū)段。2)水平段，自0.1s至特征周期區(qū)段，應取最大值。3)曲線下降段，自特征周期至5倍特征周期區(qū)段，衰減指數(shù)應取0.9。4)直線下降段，自5倍特征周期至6s區(qū)段，下降斜率調(diào)整系數(shù)

28、應取0.02。,當建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比按有關(guān)規(guī)定不等于0.05時，地震影響系數(shù)曲線的阻尼調(diào)整系數(shù)和形狀參數(shù)應符合下列規(guī)定：1）曲線下降段的衰減指數(shù)應按下式確定：,,式中,——曲線下降段的衰減指數(shù)；,——阻尼比。,2) 直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)應按下式確定：,,,——直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)，小于0時取0。,3) 阻尼調(diào)整系數(shù)應按下式確定：,,,——阻尼調(diào)整系數(shù)，當小于0.55時，應取0.55。,,,,,,,（2）特征周期Tg的確

29、定。在地震影響系數(shù)的變化曲線中，需要用到特征周期。它是對應于反應譜值區(qū)拐點處的周期，根據(jù)場地類別、地震震級和震中距確定?！督ㄖ拐鹪O計規(guī)范》按后兩影響將設計地震分成三組，特征周期可以根據(jù)場地類別和設計地震分組確定，如表3-2所示。但在計算8、9度漢語地震作用時，其特征周期應增加0.05s。,表3-2特征周期（s）,,,,,,,（3）水平地震影響系數(shù)的最大值 水平地震影響系數(shù)的最大值為,,,《建筑抗震設計規(guī)范》取動力系數(shù)的最大值

30、 ，相應的地震系數(shù)k對多遇地震取基本烈度時的0.35，對罕遇地震取基本烈度時的2倍左右，故 如表3-3所示。,,,表3-3水平地震影響系數(shù)最大值,,,,,,,,,,例題3-2,水塔結(jié)構(gòu)，同例3-1。,，,位于II類場地第二組，基本烈度為7度（地震加速度為0.10g),阻尼比,求該結(jié)構(gòu)多遇地震下的水平地震作用,解；查表3-3，,查表3-2，,,由圖3-12（地震影響系數(shù)譜曲線）,此時應考慮阻尼比

31、對地震影響系數(shù)形狀的調(diào)整。,,返回目錄,§3.4 多自由度彈性體系的水平地震反應的振型分解法,,一、計算簡圖,,,,對質(zhì)量比較集中的結(jié)構(gòu)，一般可將其視為單質(zhì)點體系，并按單質(zhì)點體系進行結(jié)構(gòu)的地震反應分析。然而對于質(zhì)量分布比較分散的結(jié)構(gòu)，為了能較真實地反映其動力性能，可將其簡化為多質(zhì)點體系，并按多質(zhì)點體系進行結(jié)構(gòu)的地震反應分析,圖3-11 多質(zhì)點體系,,二、運動方程,圖3-12兩自由度體系得瞬時動力平衡

32、 圖3-13剛度系數(shù),,質(zhì)點1作為隔離體,慣性力為：,彈性恢復力為,阻尼力,,,,,,,,質(zhì)點2作為隔離體，同理,,式中 k11為使質(zhì)點1產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點2不動時，在質(zhì)點1處所施加的水平力； k12為使質(zhì)點2產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點1不動時，在質(zhì)點1處所施加的水平力； c11為使質(zhì)點1產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點2不動時，在質(zhì)點1處所施加的阻尼力； c12為使質(zhì)點2產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點1不動

33、時，在質(zhì)點1處所施加的阻尼力；,kij反映了結(jié)構(gòu)剛度的大小，稱為剛度系數(shù),,,,運動方程寫成矩陣的形式,,,當為一般的多自由度體系時，式中的各項為,,,三、自由振動,1、自振頻率,,微分方程組的解為,,,,,有非零解，其系數(shù)行列式必須為零,,,,,,,對于一般的多自由度體系,,寫成矩陣形式,,,頻率方程,,---振型方程,---頻率方程,,2、主振型,對于,對于,,,,質(zhì)點的位移為,,,振動過程中兩質(zhì)點的位移比值為,,,由此可見，這一比

34、值不僅與時間無關(guān)，而且為常數(shù)。也就是說，在結(jié)構(gòu)振動過程中的任意時刻，這兩個質(zhì)點的位移比值始終保持不變。這種振動形式通常稱為主振型。當體系按 振動時稱為第一振型或基本振型，按 振動時稱為第二振型。因主振型只取決于質(zhì)點位移之間的相對值，所以通常將其中某一個質(zhì)點的位移值定為1。一般，體系有多少個自由度就有多少個頻率，相應就有多少個主振型，它們是體系的固有屬性。,,第1階模態(tài)位移云圖

35、 第2階模態(tài)位移云圖,,第3階模態(tài)位移云圖 第4階模態(tài)位移云圖,,在一般的初始條件下，體系得振動曲線將包含全部振型。這可由自由振動方程（3-79）的通解看出，該方程的特解見式（3-88）,其通解為這些特解的線性組合，即：,,,在一般初始條件下，任一質(zhì)點的振動都是由各主振型的簡諧振動疊加而成的復合振動，它不在時簡諧振動

36、，而且質(zhì)點之間位移的比值也不再是常數(shù)，其值將隨時間而發(fā)生變化。,3、主振型的正交性,,根據(jù)功的互等定理，即第一狀態(tài)的力在第二狀態(tài)的位移上所作的功，等于第二狀態(tài)的力在第一狀態(tài)的位移上所作的功，得：,,,,,,對于兩個以上的多自由度體系，任意兩個振型j和k之間也都有著上述的正交性，它們可以表示為,,,,用矩陣表達,,,表示多自由度體系任意兩個振型對質(zhì)量矩陣的正交性，事實上，多自由度任意兩個振型對剛度矩陣也有正交性,,,等式兩邊各前乘

37、,,,,,,,,,,例3-3:計算圖3.15（a）所示二層框架結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，并驗算其主振型的正交性。各層質(zhì)量為 。第一層側(cè)向剛度為 ，第一層側(cè)向剛度為,,,,解，求框架各層的層間剛度系數(shù)：,,,由式（3-82），可得頻率方程為,解上式得,,由式（3-89）可得振型為,第一振型,第二振型,,,驗算主振型的正交,對質(zhì)量矩陣,對剛度矩陣,,,,,,,,,,,

38、例題3-4,三層剪切型結(jié)構(gòu)如圖所示，求該結(jié)構(gòu)的自振圓頻率和振型,,,解：該結(jié)構(gòu)為3自由度體系， 質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為,先由特征值方程求自振圓頻率，令,,,得,或,由上式可解得,從而由,得,由自振周期與自振頻率的關(guān)系,，可得結(jié)構(gòu)的各階自振,周期分別為,,,,,,,,,,,,由,得,,代入,校核,,則第一階振型為,同樣可求得第二階和第三階振型為,為求第一階振型，將,代入,,,,,,,,,,,,將各階振型用圖形表示:,,第一階振

39、型,第二階振型,第三階振型,振型具有如下特征:,對于串聯(lián)多質(zhì)點多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖上就有幾個節(jié)點（振型曲線與體系平衡位置的交點 ),利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否,,4、振型分解法,在一般的初始條件下，體系的振型曲線將包含全部振型，如兩自由度體系。,,,如果用體系的振型作為基底，而用另一個函數(shù)q(t)作為坐標，就可以把聯(lián)立方程組變成幾個獨立的方程，每個方程只包含一個未知項。這樣可以分別獨立求解，

40、從而使計算簡化。這一方法稱為振型分解法，它是求解多自由度體系地震反應的重要方法。,,,為簡便起見，先考慮兩自由度體系，如圖3.16所示。將質(zhì)點m1和m2在地震作用下任一時刻的位移x1(t)和x2(t)用其兩個振型線性組合來表示，即,,這里用新坐標q1(t),q2(t)代替原有的兩個幾何坐標x1(t)、x2(t)。只要q1(t),q2(t)確定，x1(t)、x2(t)也就可以確定，而q1(t),q2(t)實際上代表質(zhì)點任一時刻的變位

41、中第一振型與第二振型所占的分量。由于x1(t)、x2(t)為時間的函數(shù)，所以q1(t),q2(t)也為時間函數(shù)，一般稱為廣義坐標。,當為多自由度體系時，上式可寫成：,也可以寫成下屬矩陣的形式,,,,,,體系的位移可以看成是由各振型乘以相應的組合系數(shù)疊加而成，即將位移按振型加以分解，故稱為振型分解法,q為時間函數(shù),,,,,＊阻尼矩陣的處理,振型關(guān)于下列矩陣正交：,剛度矩陣,阻尼矩陣,振型分解法的前提：,質(zhì)量矩陣,,,無條件滿足,采

42、用瑞雷阻尼矩陣,,,,,,,令,,可得,,,兩邊各項乘以,,,上式等號左邊的第一項,,根據(jù)振型對質(zhì)量的矩陣的正交性，上式除了 一項外，其余項均為零，故有,,,,同理，利用振型對剛度矩陣的正交性，（3-96）式左邊第三項也可寫成,,根據(jù)式（3-85），對于j振型有 ，故上式可以寫成,,,對于式（3-96）等式右邊的第二項，同理可寫成：,,綜合得,,

43、,,令,,則式（3-100）可寫成,,在式（3-103）中， 為對應于j振型的阻尼比，系數(shù) 通常根據(jù)第一、第二振型的頻率和阻尼比確定，即由式（3-103）得：,,,,,,可以看出，式（3-103）與單自由度體系在地震作用下的運動微分方程在形式上基本相同，只是方程式（3-103）的等號右邊多了一個系數(shù) ，所以方程（3-103）的解為：,,,或,,,,將式（3-106）代入（3-94），得,

44、,上式就是振型分解法分析時，多自由度彈性體系在地震作用下其中任一質(zhì)點mi位移的計算公式。,式（3-108）中 的表達式見式（3-101），稱 為體系在地震反應中第j振型的振型參與系數(shù)。實際上，就是當 質(zhì)點位移時的 值。證明如下：,,,,考慮兩質(zhì)點體系，令式（3-93）中的 ，得：,,,以

45、 和 分別代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得,,,,,將上述兩式相加，并利用振型的正交性，可得,,同理，將 和 分別代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得：,,,,故式（3-109）即可寫成：,,對于兩個以上的自由度體系，還可寫成一般關(guān)系式,,,§3.5自振頻率和振型的近似計算,在進行結(jié)構(gòu)的地震作用計算時，必須求出結(jié)構(gòu)的自振周期和振

46、型，在進行最簡單的計算（底部剪力法）時，也要計算結(jié)構(gòu)的基本周期。結(jié)構(gòu)自振周期的計算方法有：1、理論與近似的計算2、經(jīng)驗公式 3、試驗方法等,,一、矩陣迭代法（斯多都拉Stodola法）,體系按頻率 振動時，其上各質(zhì)點的位移幅值可分別表示為：,,,將上式寫成矩陣形式，即為：,,或,,實際上，有結(jié)構(gòu)動力學的知識知道，剛度矩陣和柔度矩陣互擬，式（3-113）也可以用剛度矩陣表示為：,,,為了求得結(jié)構(gòu)的頻率和振型，就需要對式

47、（3-113）進行迭代，其步驟如下：先假定一個振型并代入上式等號右邊，進行求解后可得到 和主振型的第一次近似值，再將第一次近似值代入上式進行計算，則可得到 和主振型的第二次近似值，如此下去，直至前后兩次計算結(jié)果接近為止。當一個振型求得后，則可以利用正交性求出較高次的頻率和振型。,,,例3.5圖3-17為三層框架結(jié)構(gòu)，假定其橫梁剛度無限大。各質(zhì)量為 ，各層剛度分別為。試用矩陣迭代

48、法求解結(jié)構(gòu)的頻率和振型。,,,,,圖3-17例3.2示意圖（a）結(jié)構(gòu)體系 （b）第一振型 （c）第二振型 （d）第三振型,,解：（1）柔度系數(shù)計算,,（2）第一振型：設第一振型的近似值為 ，代入式（3-113）得：,,,,則，第一振型的近似之為： ，再將此值代入（3-113）得：,,,將此值第三次代入（3-113）得：,,從（a）式可以看出，最后一次振型與上一次的振型已經(jīng)十分接近，

49、因此結(jié)構(gòu)的基本振型可以確定為， ，如圖3.17（b）所示。結(jié)構(gòu)的基本頻率 可以由（a）的任一式求得，例如根據(jù) 可得,,,,,,,（3）第二振型：對于第二振型，由式（3-112）得,,利用主振型的正交性，得,（b）,,,（c）,,將（c）代入（b）中的第一和第二式得：,,（d）,對（d）式進行迭代，先假定一個接近第二振型的位移，令 ，經(jīng)

50、兩輪迭代后得：,,,故，第二頻率為：,,再由式（c）得：,,這樣就可以求得第二主振型為,,,（4）第三振型：根據(jù)主振型的正交性，由上面得到的第一和第二主振型即可寫出,,,將上兩式展開得：,,解上述聯(lián)立方程組，得：,,,令,,則,,,求第三頻率，由式(3-112),得,,,不斷調(diào)整所假定的形狀,直到得到真實的振動,然后計算振型頻率,,二、能量法,在采用矩陣迭代法求解多自由體系的頻率和振型時，需要列出每一質(zhì)點的運動方程，并對方程組進行

51、運算。因此，這種方法當質(zhì)點較多時計算太繁。如果所求的結(jié)構(gòu)是基本頻率，則采用能量法，或稱為瑞雷法。能量法是根據(jù)體系在振動過程中的能量守恒原理推導出來的，即一個無阻尼的彈性體系在自由振動時，其任一時刻的動能與變形位能之和不變。當體系在振動過程中的位移達到最大時，其變形位能將達到最大值Umax，而此時體系得動能為零；在經(jīng)過平衡位置時，體系的動能有最大值Tmax，而變形位能則等于零，故有,,考慮一多質(zhì)點體系在自由振動時其任一質(zhì)點i的位

52、移為,則其速度為,動能為,最大動能為,,,,一般地，結(jié)構(gòu)的基本振型可近似取當重力荷載作用于質(zhì)點上的結(jié)構(gòu)的彈性曲線。因此，體系的最大變形位能為,,將式（3-115）、（3-116）代入（3-114）得,,而結(jié)構(gòu)的基本周期為,,,,例3.6圖3-18為三層框架結(jié)構(gòu)，假定其橫梁剛度無限大。各質(zhì)量為， ，各層剛度分別為。試用能量法求解結(jié)構(gòu)的頻率和振型。,,,,,圖3-18 例3.3示意圖,,解：結(jié)構(gòu)在重力荷載作

53、用下的彈性曲線如上圖（b）,結(jié)構(gòu)的層間位移為：,,各層位移為：,,則體系的基本頻率為：,,相應的基本陣型為：,,,,,例題3-7,采用能量法求結(jié)構(gòu)的基本周期,解：各樓層的重力荷載為,,,將各樓層的重力荷載當做水平力產(chǎn)生的樓層剪力:,,,,,,,,,,,,則將樓層重力荷載當做水平力所產(chǎn)生的樓層水平位移為：,,,基本周期：,,與精確解T1=0.433s的相對誤差為-2％,,,三、等效質(zhì)量法,在求多自由度體系的基本頻率時，為簡化計算，可根據(jù)頻

54、率相等的原則，將全部質(zhì)量集中在一點或幾個點上，該集中所得的質(zhì)量稱為等效質(zhì)量。 如圖3.19所示的懸臂體系，有兩單自由度體系頻率相等，則：,,圖3.19 等效質(zhì)量法,,,由上式可得等效質(zhì)量為：,,設體系原有n個集中質(zhì)量，則可將每個質(zhì)量都按上式所示的轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換到j點，j點的總的等效質(zhì)量之和，即：,,故體系的基本頻率為：,,,例3.8用等效質(zhì)量法計算圖3-20（a）所示單層廠房排架結(jié)構(gòu)的基本頻率。已知屋蓋質(zhì)量為M，兩邊吊

55、車質(zhì)量 ，作用于柱高4/5處，設柱為等截面柱，兩柱沿單位長度的質(zhì)量為 ，彎曲剛度為EI。,,,,圖3-20 例3.8示意圖,解（1）求吊車梁在柱頂?shù)牡刃з|(zhì)量：,,,則吊車量在柱頂?shù)牡刃з|(zhì)量為：,,（2）柱均布質(zhì)量在柱頂?shù)牡刃з|(zhì)量：,,（3）作用于柱頂?shù)目偟刃з|(zhì)量：,,（4）該結(jié)構(gòu)的基本頻率：,,,四、頂點法,頂點位移法是根據(jù)在重力荷載水平作用時算得的頂點位移來求解基本頻率的一種方法。,,圖3-21 結(jié)構(gòu)的頂點位

56、移,考慮一等質(zhì)量均勻的懸臂直桿圖3-21，若桿按彎曲振動，則基本周期可按下式計算,,,若桿按剪切振動，則：,,上述懸臂桿在均布荷載 作用下，由彎曲和剪切引起的頂點位移分別為：,,,得,,,若體系按彎剪振動，則基本周期按下式計算：,,,§3.6多自由度體系的水平地震反應,一、振型分解反應譜法,多自由度彈性體系在地震時質(zhì)點所受到的慣性力就是質(zhì)點的地震作用。若不考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)，質(zhì)點i上的地震作用為：,,,根據(jù)式,可以寫

57、成,,,又由式 得：,,,,,作用在第j振型第i質(zhì)點上的水平地震作用絕對最大標準值為,,令,,,上式可寫為,,,求出了j振型i質(zhì)點上的地震作用Fji后，就可以計算結(jié)構(gòu)的地震效應Sj，這里的Sj也是最大值，但任一時刻某一振型的地震作用達到最大值時，其他振型的地震作用和效應并不一定也達到最大值。則結(jié)構(gòu)的總地震作用效應近似采用“平方和開方”的方法確定

58、，即,,,,,,,,,,例題3-7,三層剪切型結(jié)構(gòu)如圖。,,,結(jié)構(gòu)處于8度區(qū)（地震加速度為0.20g），I類場地第一組，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05。試采用振型分解反應譜法，求結(jié)構(gòu)在多遇地震下的最大底部剪力和最大頂點位移。,已知,,,,,,,,,解：由,,,得,,,,,,,查 表3-2(特征周期值表) 、3-3（水平地震影響系數(shù)最大值表）得：,,,表3-2特征周期值 Tg(s),表3-3水平地震影響系數(shù)最大值,返回,,,,,,,,,,則（參

59、見圖3-12地震影響系數(shù)譜曲線）,,,,,由,得第一振型各質(zhì)點（或各樓面）水平地震作用為,,,,,圖3-12 地震影響系數(shù)譜曲線,返回,,,第二振型各質(zhì)點水平地震作用為,第三振型各質(zhì)點水平地震作用為,則由各振型水平地震作用產(chǎn)生的底部剪力為,,,,,,,,通過振型組合求結(jié)構(gòu)的最大底部剪力為,若僅取前兩階振型反應進行組合,,由各振型水平地震作用產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)頂點位移為,,,,,,,,通過振型組合求結(jié)構(gòu)的最大頂點位移,若僅取前兩階振型反應進行組

60、合,注意,振型分解反應譜法計算結(jié)構(gòu)最大地震反應易犯錯誤：先將各振型地震作用組合成總地震作用，然后用總地震作用計算結(jié)構(gòu)總地震反應,正確的計算次序： 先由振型地震作用計算振型地震反應，再由振型地震反應組合成總地震反應,,,,以本例底部剪力結(jié)果加以說明：,若先計算總地震作用，則各樓層處的總地震作用分別為,,,,按上面各樓層總地震作用所計算的結(jié)構(gòu)底部剪力為,,與前面正確計算次序的結(jié)果相比，值偏大,原因:,振型各質(zhì)點地震作用有方向性，負值作

61、用與正值作用方向相反，,而按平方和開方的方法計算各質(zhì)點總地震作用，沒有反映振型各質(zhì)點地震作用方向性的影響。,,,,,,,,,＊振型組合時振型反應數(shù)的確定,結(jié)構(gòu)的低階振型反應大于高階振型反應,振型反應的組合數(shù)可按如下規(guī)定確定,不需要取結(jié)構(gòu)全部振型反應進行組合,（1）一般情況下，可取結(jié)構(gòu)前2-3階振型反應進行組合，但不多于結(jié)構(gòu)自由度數(shù),（2）當結(jié)構(gòu)基本周期,時或建筑高寬比大于5時,可適當增加振型反應組合數(shù),結(jié)構(gòu)的總地震反應以低階振型反應為主

62、，而高階振型反應對結(jié)構(gòu)總地震反應的貢獻較小,振型階數(shù)越高，振型反應越小,由于地震影響系數(shù)在長周期段下降較快，對基本周期大于3.5s的結(jié)構(gòu)，根據(jù)上述振型分解反應譜法計算得到的水平地震作用下的結(jié)構(gòu)效應較小，特別是對長周期結(jié)構(gòu)，地震動態(tài)作用中的地面運動加速度和位移可能結(jié)構(gòu)的破壞具有更大影響，上述方法無法對此作出評估，《規(guī)范》出于結(jié)構(gòu)安全考慮規(guī)定：在進行結(jié)構(gòu)抗震驗算時，結(jié)構(gòu)任一樓層的水平地震剪力應符合下式要求,VEKi ---第i層對應與水平

63、地震作用標準值的樓層剪力；,Gj ---第j層的重力荷載代表值。,λ-----剪力系數(shù)，不應小于下表數(shù)值，對豎向不規(guī)則結(jié) 構(gòu)的薄弱層，尚應乘以1.15的增大系數(shù)；,表3-4 樓層最小地震剪力系數(shù)值,注：1基本周期介于3.5s和5s之間的結(jié)構(gòu)，可插入取值； 2括號內(nèi)數(shù)值分別用于設計基本地震加速度為0.15g和0.30g的地區(qū)。,,二、底部剪力法,用振型分解反應譜法計算比較復雜，能否采用簡單近似的方

64、法？前面的例題中發(fā)現(xiàn)，總的地震作用效應與第一振型的地震剪力分布相近，用第一振型的地震剪力作為結(jié)構(gòu)的地震剪力的方法稱為——底部剪力法。對于高度不超過40m，以剪切變形為主且質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻的結(jié)構(gòu)，以及近似于單質(zhì)點體系的結(jié)構(gòu)，可以采用底部剪力法。,1）結(jié)構(gòu)底部剪力 多質(zhì)點體系在水平地震作用下任一時刻的底部剪力為：,,在設計時取用其時程曲線的峰值，即：,,上式計算過于繁瑣，為了簡化，根據(jù)底部剪力相等的原則，把多

65、質(zhì)點體系用一個與其基本周期相等的單質(zhì)點體系代替。這樣底部剪力可以用單自由度體系的公式進行計算：,,,相應于結(jié)構(gòu)基本自振周期的水平地震影響系數(shù)，對于多層砌體房屋、底部框架底部框架砌體房屋，可取水平地震影響系數(shù)最大值； Geq為結(jié)構(gòu)等效總重力荷載：,,,《規(guī)范》規(guī)定對于單質(zhì)點體系，取,,對于多自由度體系,,2）質(zhì)點的地震作用 在求得結(jié)構(gòu)的總水平地震作用后，就可將它分配于各個質(zhì)點，以求得各質(zhì)點上的地震作用。對于重量和剛度沿

66、高度分布比較均勻、高度不大，并以剪切變形為主的結(jié)構(gòu)物，其地震反應以基本振型為主，而且基本振型接近于直線，呈倒三角形，如圖3.22所示。,,,圖3-22底部剪力法（a）底部剪力及質(zhì)點的水平地震作用（b）倒三角形基本振型（c）頂點附加水平地震作用,若按此假設將總水平地震作用進行分配，則根據(jù)式（3-133），質(zhì)點i的水平地震作用[3-22(a)]為,,,,當振型為倒三角形時,,,,,由此可得,,3）頂部附加地震作用計算,,公式（3-1

67、39）適用于基本周期 的結(jié)構(gòu)，Tg為特征周期。對于某些基本周期較長的建筑物，上部結(jié)構(gòu)震害較為嚴重。《規(guī)范》規(guī)定：對于結(jié)構(gòu)基本周期的建筑，取頂部水平地震作用以集中力的形式加在結(jié)構(gòu)的頂部加以修正為：,,,,,,采用底部剪力法計算時，各樓層可考慮一個自由度，則質(zhì)點i的水平地震作用標準值為：,,多層鋼筋混凝土和鋼結(jié)構(gòu)房屋,其他房屋可采用0.0,4）突出屋面附屬結(jié)構(gòu)地震內(nèi)力的調(diào)整,震害表明，突出屋面的屋頂間（電梯機房、

68、水箱間）、女兒墻、煙囪等，它們的震害比下面的主體結(jié)構(gòu)嚴重。,原因是由于突出屋面的這些結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度突然減小，地震反應隨之增大。---鞭端效應。,《抗震規(guī)范》規(guī)定：采用底部剪力法時，突出屋面的屋頂間、女兒墻、煙囪等的地震作用效應，宜乘以增大系數(shù)3。此增大部分不應向下傳遞，但與該突出部分相連的構(gòu)件應計入。,鞭端效應又叫鞭梢效應，是指高層建筑物末端形狀和剛度發(fā)生變化時，端部產(chǎn)生的力和變形突然增大，遠遠大于其按重力分配到得地震荷載，是高層建筑