工程力學(xué)第三章

1、第3章 空間力系的合成與平衡,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影3.2 力對軸之矩3.3 空間任意力系的平衡方程3.4 重 心小 結(jié),第3章 空間力系的合成與平衡,若力系中各力的作用線不在同一平面內(nèi)，該力系就稱為空間力系?？臻g力系按各力作用線的相對位置，又可分為空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系。 本章將討論空間力系問題的理論基礎(chǔ)，即力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影及力對軸之矩的概念與運(yùn)算。對空間任意力系問題

2、的平衡計算，物體重心的概念及重心位置的求解方法。,下一頁,返回,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,力在空間坐標(biāo)軸上投影的概念與力在平面坐標(biāo)軸上投影的概念相同，由于力所對應(yīng)的參考系不同，故計算方法有所不同。力在空間坐標(biāo)軸上的投影有兩種方法，即直接投影法和二次投影法。,下一頁,返回,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,3.1.1 直接投影法當(dāng)力F在空間的方位直接采用F與x、y、z坐標(biāo)軸之夾角α、β、γ表示時（圖3-1），則力F在直

3、角坐標(biāo)軸上的投影可表示為 (3.1)各軸的投影方向與所對應(yīng)軸的正向一致時取正號，反之取負(fù)號。,下一頁,上一頁,返回,,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,3.1.2 二次投影法若力在空間的方位采用力與任一坐標(biāo)軸（如z軸）的夾角γ及力在垂直于此軸（z軸）的坐標(biāo)平面（xy面）上的投影與另一軸的夾角φ表示，如圖3-2所示。則可先求出力F在xy平

4、面上的投影Fxy，然后，再將Fxy分別投影到x、y軸上，求出力F在坐標(biāo)軸上的投影。此法稱為二次投影法。,下一頁,上一頁,返回,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,應(yīng)用二次投影法的過程可作如下歸納：,下一頁,上一頁,返回,,,3.1.3 合力投影定理設(shè)有一空間匯交力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，利用力的平行四邊形法則，可將其逐步合成為一個合力矢FR，且有

5、 (3.2)因此有 (3.3)空間匯交力系的合力在某一軸上的投影，等于力系中各力在同一軸上投影的代數(shù)和，式(3.3)稱為空間力系的合力投影定理。,上一頁,返回,,,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,3.2 力對軸之矩,3.2.1 力對軸之矩力使剛體繞一軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量稱為力對該軸之矩，簡稱力對軸之矩。它等于此力在垂直于該軸平面上的投

6、影對該軸與此平面的交點(diǎn)之矩（圖3-3）。記作，下標(biāo)z表示取矩的軸，力對軸之矩的單位為N·m或kN·m。力對軸之矩的符號可用右手定則來判定：用右手握住z軸，使四指指向力矩的轉(zhuǎn)向，若此時大拇指指向z軸的正向，則力矩為正；反之為負(fù)。,下一頁,返回,3.2 力對軸之矩,3.2.2 合力矩定理在平面力系中，推證過的合力矩定理，在空間力系中也仍然適用，即力F對某軸（例如z軸）的力矩，為力F在x、y、z三個坐標(biāo)方向的分力F

7、x、Fy、Fz對同軸（z軸）力矩的代數(shù)和。 (3.5)因分力Fz平行于z軸，故，于是 (3.6a),下一頁,上一頁,返回,,,,,,同理可得

8、 應(yīng)用上式時，投影Fx、Fy、Fz及坐標(biāo)xA、yA、zA均應(yīng)考慮本身的正負(fù)號。所得力矩的正負(fù)號亦將表明力矩繞軸的轉(zhuǎn)向。,下一頁,上一頁,返回,,,,(3.6b),(3.6c),3.2 力對軸之矩,3.3 空間任意力系的平衡方程,空間任意力系的平衡條件也是通過力系的簡化得出的。和平面任意力系相仿，空間任意力系也可簡化為主矢和

9、主矩，當(dāng)主矢和主矩都等于零時力系平衡。由此而導(dǎo)出的空間任意力系的平衡方程為 (3.7)式(3.7)表明空間任意力系平衡的必要與充分條件是：各力在三個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和以及各力對此三軸之矩的代數(shù)和都等于零。,下一頁,返回,,,式(3.7)有六個獨(dú)立的平衡方程，可以解六個未知量，它是解決空間力系平衡問題的基本方程。由式(3.7)可得出空間

10、任意力系的特殊情況下的平衡方程式如表3-1 。求解空間力系的平衡問題基本方法與步驟同平面力系問題相同。即(1) 確定研究對象，取分離體，畫受力圖。(2) 確定力系類型，列出平衡方程。(3) 代入已知條件，求解未知量。,上一頁,返回,,,3.3 空間任意力系的平衡方程,3.4 重 心,無論物體怎樣放置，其重力總是通過物體內(nèi)的一個確定點(diǎn)——平行力系的中心，這個確定的點(diǎn)稱為物體的重心。3.4.1 重心及形心的坐標(biāo)公式若將圖

11、3-4中的物體分成許多微小部分，每一微小部分的重力分別為G1，G2，…，Gn，組成空間平行力系，各部分重心坐標(biāo)為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…（xn，yn，zn）。由于物體重力G是各部分重力G1，G2，…，Gn的合力。有,下一頁,返回,,3.4 重 心,這個平行力系合力作用點(diǎn)即為物體的重心C，設(shè)C點(diǎn)的位置坐標(biāo)為。這些坐標(biāo)的值可由合力矩定理求得，即由,下一頁,上一頁,返回,,,得

12、 (3.10a),,,下一頁,上一頁,返回,同理,有 (3.10b),,,(3.10c),式(3.10)即為物體重心坐標(biāo)公式。均質(zhì)物體的重心位置完全決定于物體的幾何形狀，而與物體重量無關(guān)，因此均質(zhì)物體的重心也稱為形心，對于均質(zhì)物體來說，形心和重心是重合的。,3.4 重 心,3.4 重 心,式(3.12)稱為平面圖形形心坐標(biāo)

13、公式。其中，A、Ai分別為物體平面圖形總面積和各微元的面積。,下一頁,上一頁,返回,,(3.12),3.4 重 心,3.4.2 確定重心位置的方法重心位置的確定方法有很多種，這里著重介紹如下幾種。1. 對稱法對于均質(zhì)物體，如幾何體上具有對稱平面、對稱軸及對稱中心，則此物體的重心必在此對稱平面、對稱軸及對稱中心上。2. 平衡法如物體的形狀不是由基本形體組成，或過于復(fù)雜，或質(zhì)量分布不勻，其重心常用平衡法來確定。（1）懸

14、掛法。（2）稱量法。,下一頁,上一頁,返回,3.4 重 心,3. 解析法（1）積分法。求規(guī)則形體的形心時，可將形體分割成無限多塊微小形體，在此極限情況下，可將式3.11寫成定積分形式如下：,下一頁,上一頁,返回,,(3.13),3.4 重 心,式(3.13)中dV為體元，x、y、z則為體元的位置坐標(biāo)。物體的重心、面積形心坐標(biāo)積分公式可同理寫出。此法稱為積分法，也稱為無限分割法。（2）組合法。若一個復(fù)雜形體是由幾個簡單基本

15、形體組合而成，而每個基本形體的形心位置又是已知的，則可將此復(fù)雜形體分割成幾個基本形體，應(yīng)用公式3.12通過有限項(xiàng)的合成求出它的形心。這種將一個復(fù)雜形體分割為有限個基本形體的和或差，應(yīng)用形心坐標(biāo)公式求出復(fù)雜形體形心的方法稱為組合法或有限分割法。這是工程中求物體形心位置常用的方法。,上一頁,返回,小 結(jié),(1) 力在空間直角坐標(biāo)系上的投影計算與力對軸之矩的計算是解空間力系平衡問題的兩項(xiàng)基本運(yùn)算。力的投影計算有直接法與二次法。直接

16、法計算力在平面與坐標(biāo)軸上的投影為力和力與平面或坐標(biāo)軸之間夾角余弦的乘積。二次法是先將力向坐標(biāo)平面上投影，再向坐標(biāo)軸投影。其中每一次投影的作法都與直接法相同。力對軸之矩是力使物體繞該軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度，力若與軸共面，則力對軸之矩為零。,下一頁,返回,小 結(jié),力若與軸空間交錯，則空間力對軸之矩即為力在垂直于軸的平面上的投影對軸與投影平面交點(diǎn)之矩。力對軸之矩的另一種計算則是將空間力沿x、y、z三軸方向分解得Fx、Fy、Fz三個分力。三

17、個分力對軸力矩的代數(shù)和就等于力F 對該軸的力矩。(2) 空間力系平衡問題的解法亦有兩種，一種是直接利用空間力系的六個平衡方程式進(jìn)行計算。另一種則是將物體連同物體上的作用力一起向坐標(biāo)面作投影，將一個空間力系問題轉(zhuǎn)化成三個平面力系問題來考慮，這就是空間問題的平面解法。,下一頁,上一頁,返回,小 結(jié),(3) 物體的重心即為地球?qū)ξ矬w中每一微小部分引力的合力作用點(diǎn)，在地球表面附近，可將一般的物體中各微部的引力看作為空間平行力系。(4)