《分數的初步認識》中的多元表征問題探討

1、《分數的初步認識》課例分析——兼談多元表征問題,曹新13970787517gnsycaoxin@126.com,案例分析：吳正憲老師的一個課例,吳正憲.《分數的初步認識》課堂實錄.教育的理論與實踐,2007,9,B,前言,分數是小學數學的核心概念，是代數學習的基礎。為了幫助學生更好地理解分數，課程標準及教科書將分數的學習分別安排在：第一學段——三年級（分數的初步認識），第二學段——五年級（分數的意義和性質）。,由于分數難學，多

2、次引起各方面的討論甚至爭論。爭論的焦點主要集中在五年級分數的意義，并將其作為一個重要的研究論題。 相對而言，由于分數的初步認識，多半從“切大餅”或“分蛋糕”開始的，即借助于直觀模型（面積模型、數線模型）初步理解分數刻畫的“部分—整體”之間的比率關系（作為“率”的分數），教學內容與教學方法沒有太大的異議。,對《分數的初步認識》學習的調查卻顯示：通過近距離的課堂觀察，發(fā)現——在理所當然且習以為常的操作活動中，學生并非按我們的預想在進行數

3、學思考。反思：在問題情境中，學生真正體會到學習分數的必要性了嗎？在順利的操作活動中，學生在進行數學本質的思考嗎？如果學生在情境、活動中沒有經歷真實的數學思維過程，那么理解又何以產生？,數學學習心理的研究表明，理解概念的關鍵在于將數學概念的抽象定義的含意轉換成易于學生理解和運用的適當的心理表象。轉換：是將抽象概念與學生已有知識經驗建立有層次的聯(lián)系：引導學生在概念的抽象定義、半抽象模型（或操作）、具體原型（或活動）之間進行尋找意義與

4、數學化的過程。,數學化與尋找意義-數學教學的基本活動 自左至右：數學化 自右至左：尋找意義,,換句話說，學習者需要通過內化概念的多種表達形式并與已有的內在表象發(fā)生相互作用，以此促進或影響學習者的數學理解。 理解概念涉及：概念的豐富表達形式——外在表征，概念的心理表達（表象）——內在表征，以及內外表征之間的轉換。,內容框架,§1 分數學習的難點與前概念§2 《分數初步認識》的教學流程

5、§3《分數的初步認識》課例分析,§1 分數學習的難點與前概念,義務教育數學課程標準（2011版）對《分數的初步認識》的要求是：能結合具體情境初步理解分數的意義，能讀、寫分數，能比較兩個同分母分數的大小；能運用分數表示日常生活中的一些事物，并進行交流。教材的目標定位：主要利用直觀的方式，使學生通過折一折、涂一涂等動手操作的方式，初步理解分數的意義，掌握分數的大小。實現上述目標，一要分析教學內容，以充分了解分數學習的

6、困難之處；二要分析學情，以找準教學的出發(fā)點：學生已有的知識經驗。,分數學習的難點,一直以來，在學生的心目中并不承認分數是個“數”，是個“結果”。 其一，分數并非“十進制”，這是與整數及其運算的最大差別。 其二，引入分數是為了表示“量”，但“幾分之一”表示的卻是部分與整體之間的“比率”。 其三，分數所能表示的“量”有更易于學生接受的替代物—小數，分數所能表示的“比率”也有更易于學生接受的替代物—百分數與比（這些

7、后續(xù)學習的內容在生活中卻先接觸）。,其四，分數反映了數學概念的二重性： 既表現為一種過程操作——先分，把一個對象平均分，分之后就確定了分母，就創(chuàng)造了一個分數單位。然后再取一份或幾份，即是數有多少個單位，也就是確定分子；又表現為對象、結構——a/b。 這種兼具算法與結果的特點,給學生帶來很大的認知負荷，影響著他們的認知加工。,學生已有的知識經驗,一是具備“平均分”的認識。缺乏的是進一步的認識——逆向思維，以及由此引出新數——

8、分數的意識。具有諸多與“分數學習”有關的操作體驗，學生缺乏的是探究操作活動中蘊含的數學知識——所取的份數與整體的“比率”關系。,§2 《分數初步認識》的教學流程,兩種設計思路都沒有探討以下問題：①課文呈現的分數外在表征之間有沒有層次性？若有，怎樣在教學中加以體現？②分數的外在表征有哪些類型？類型之內、類型之間有怎樣的關系？這些關系對教學設計有怎樣的要求？③分數的外在表征與內在表征有怎樣的關系？這種關系對于分數的學習設

9、計有怎樣的啟發(fā)？,§3《分數的初步認識》課例分析,這堂課的教學設計有什么特點？這堂課的師生對話有什么特點？對這堂課你想提哪些改進建議？,一、教學設計：為學生的發(fā)展而教,巧選素材，讓學生走進數學 ?西游記故事——“如何表示一半”？ ?怎樣分月餅——引入分數概念 ?讀圖識分數——加深對分數概念的理解創(chuàng)設機會，讓學生創(chuàng)造數學 ?折紙——表示分數、討論分數 ?辯論——揭示分數概念的核心 ?用分數說一句話——揭

10、示分數與生活的聯(lián)系,注重學法，讓學生學會學習 ?學會將新知與生活經驗、已有知識經驗相聯(lián)系 ?學會在在操作、實踐活動中認識、理解知識 ?學會傾聽、獨立思考、善于合作交流 ?學會用所學知識解釋生活中的現象,二、師生對話特點,以低層次（回憶、理解）提問為多、為輔，以高層次（應用、分析、評價、綜合）提問為少、為主；教學中的主問題6個設置為高層次問題；對主問題的探討注意了兩種層次的問題的結合；輔助性問題設置不多，學生在較高的認知水平

11、上開展學習。,三、對課例的幾點看法,1.教學目標敘寫的存在的問題2.情境的創(chuàng)設存在問題3.分數是“量”還是“數”？4.對分數有無限多個的探討5.為什么“1/2”比其他的表示更科學、簡便？6.“如何表示一半”？——為什么將學生過早、過多地限制于符號表征一種方式？,1.教學目標敘寫的存在的問題,沒有體現三維目標教學目標的主體混亂怎樣寫才能好一些？,? 知識與技能目標：會讀、寫分數，說出分數各部分的名稱，理解幾分之一的具體含

12、義。 ?過程與方法目標：經歷“一半”、“平均分”表示的探究、交流、合作的過程，體會分數的意義與不同的表示方法，增進數學的圖形語言、文字語言、符號語言相互轉換的能力，提升對分數的不同表征的水平，養(yǎng)成有條理地思考與表述問題的習慣。 ?情感態(tài)度與價值觀目標：經歷“一半”、“平均分”表示，以及用分數說一句話的數學化歷程，感受數學理性思維的魅力，加深對數學與生活聯(lián)系的理解，進而提高學習數學的興趣，并增強學好數學的自信心。,2.情境的創(chuàng)設存

13、在問題,從一個虛假的情境中引出了一個簡單問題 ?如何改進？ ?“指導探索”中的設問依然值得商榷。 ?對一些情境的思考,我們創(chuàng)設了怎樣的情境？,®金陽廣場是一個邊長為400米的正方形休閑廣場，廣場的4個角上建有A、B、C、D 4個生活小區(qū)。小區(qū)欲安裝煤氣管道，但煤氣公司只將煤氣主管道接到A區(qū)，另外3個小區(qū)的煤氣管道將由他們自行鋪設并與A區(qū)連通。請設計與A區(qū)相連的最短煤氣管道鋪設方案 。,®《比的

14、意義》（六年級?上） 師：再過幾天就是祖國53歲生日了，我們一起看一段短片（錄像：義勇軍進行曲）。53年前的10月1日，中國的五星紅旗第一次迎著燦爛的朝陽在天安門廣場上冉冉升起，毛主席在天安門城樓上莊嚴宣布：中華人民共和國成立了！中國人民從此站起來了！瞧，五星紅旗紅旗如此燦爛、美麗，讓無數中國人為之驕傲與自豪，其實在我們的國旗里還隱藏這很多有趣的數學問題呢！你想了解它嗎？老師告訴你們：它的長為3米，寬為2米。你能求什么呢？,®

15、;《分數的意義》 師：其實，在我們學過的成語中就隱含了分數，想一想，你能舉出這樣的例子嗎？生：十拿九穩(wěn)、九死一生、百里挑一、十全十美、百發(fā)百中…… ®《弧度制》 教師在黑板上畫了一個角，然后拿出一段繩子，問：同學們，如何度量這個角？,®《等腰三角形的性質》 教師創(chuàng)設了走進埃及看金字塔這樣一個生活情境，讓學生從神秘的金字塔模型中開始探索等腰三角形的特征。課后教師還布置一個實驗任務，使數學課堂得到進一步延伸：依

16、照比例復制一個小型的金字塔模型，再將食物放置入內，看幾周后食物是否完全脫水，有沒有腐敗現象？,3.分數是“量”還是“數”？,“指導探索” ①待同學們明確了“平均分”后，老師帶領同學們邊比劃邊說：把一個月餅平均分成兩份，每份就是這個月餅的二分之一。之后，讓小伙伴之間互相講述自己對“1/2”的理解。 ②你還能在這塊月餅中找到另一個二分之一嗎？一個同學很快地跑到前面，在月餅的另一半寫上了“1/2”。 ③同學們用不同的折法表現

17、“1/2”。,4.對分數有無限多個的探討,P37： 師：同學們請看，像“1/2、1/3、1/4、1/5、1/8”這樣的數都叫分數。你還能舉出分數的例子來嗎？ （同學們躍躍欲試，不由自主地站起來，舉著他們的“研究成果”給大家看） 師：這樣說下去，說到今天晚上能說得完嗎？ 生：（迫不及待）我知道了，分數有無限個。 師：對，分數的個數是無限的。 問題：上述對話能表明分數有無限多嗎？,5.為什么“

18、1/2”比其他的表示更科學、簡便？,①教師讓學生用自己喜歡的方式表示“半個”，并讓他們解釋每種表示方法的含義。 ②向學生介紹一種“更科學、更簡潔”的表示方法——“1/2” 。 問題：老師能向學生說明“1/2更簡潔、更科學”嗎？,生活數學≈學校數學？?生活數學對“一半”的表示?生活數學與學校數學之間的鴻溝?關注差異，重視溝通——數學化,6.過早、過快地將學生的分數表征限制于符號這一方式有什么問題？,課本中的多元外

19、在表征,實物操作——切西瓜、蘋果、月餅；模型操作——搭積木、折紙；喂養(yǎng)鴿子的盒子兼具實物與模型的特點；積木、地毯還隱含著線段圖、面積圖；周邊的樹木可以作為外在表征的實物。,師（指著黑板上學生寫的文字、畫的線段和圖畫）老師想和你們商量一下，這些圖、線段和文字都表示把一個物體平均分成兩份，表示其中的一份。如果你認為“1/2”這個分數，能表示你的意思，就可以擦掉你所寫的；如果你認為你的表現方法更好，也可以保留意見。 （很多

20、同學紛紛跑上去擦掉自己寫的文字、畫的圖與線段，只有一位同學堅持認為自己畫的圖更好，老師尊重了他的意見，并把這幅桃子圖框起來保留在黑板上）,教師對學生的要求,生5：我爸爸買了100個雞蛋，打碎了1個，打碎了的正好占這些雞蛋的1/100。 （師順手把1/100寫到了黑板上。并特意把堅持用畫圖的方法表示分數的哪位同學請上來） 師：1/100該怎樣用你喜歡的畫圖方法表示呢？請你試試看。 （只見這位同學認真地畫著，畫著畫著

21、他停了，揚起小臉對老師說，這種方法太麻煩了，還是用分數表示好。邊說邊把自己畫在黑板上的桃子圖擦掉。）,教師在課堂一直采用多元外在表征,表示“半個桃子”“分月餅”用圖形表示分數折分數用分數說一句話用線段圖表示分數,認知結構中的元素,1）數學知識的外部表征 2）數學思維的媒介—內在表征（心理表象） 3）心理表象與定義的關系,Janvier認為多元表征是指同一數學對象的不同表示形式： ?可以是心理的、主觀的

22、東西，這叫內在表征（Internal Representation）或心智表征（Mental Representation）,譬如個體在頭腦中建構數學對象的心像（Mental Images）等； ?表征也可以是外在于人腦的、客觀世界的東西，這叫外在表征（External Representation），譬如言語、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等．,Hiebert和Carpenter： ?外在表征是指以語言、文字、

23、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存在的表征。 ?內在表征是指存在于學習者頭腦里而無法直接觀察的心智表征或學習者擁有的心智結構。 學習者通過外在表征可以表達出自己的想法而達到溝通和交流的目的，通過內在表征可以進行想象、推理等思維活動。,Hiebert和Carpenter： ?外在表征是指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存在的表征。 ?內在表征是指存在于學習者頭腦里而

24、無法直接觀察的心智表征或學習者擁有的心智結構。 學習者通過外在表征可以表達出自己的想法而達到溝通和交流的目的，通過內在表征可以進行想象、推理等思維活動。,Goldin：?外在表征是從傳統(tǒng)的數學符號系統(tǒng)（如數軸、笛卡兒坐標系）到結構性的學習情境（如包含具體操作活動的數學學習情境、基于電腦的微觀學習環(huán)境）。?內在表征則指學習者對于數學對象的意義賦予與建構，包括學習者的言語語義、心像、視空間表征、計劃監(jiān)控策略及啟發(fā)法

25、、數學的情感表征系統(tǒng)等。,1）數學知識的外部表征,刻畫數學對象的每種表征具有各自的特點與功能： ?口語、書寫文本、數學公式和邏輯表示等表征可以任意表達，但與約定內容緊密相關，而且包含反映關系的各種符號。能描述和表達抽象的、邏輯的意義，這些表征既是人腦左半球的功能特點，也是左半球發(fā)展的外在促進。 ?實物模型、圖形、圖表、圖像等不含有反映關系的各種符號，但卻描繪了具體的、形象的、直覺的意義，便于人們較為快捷地“可視化” 數學的整體

26、結構和意義，這些表征既是人腦右半球的功能特點，也是右半球發(fā)展的外在促進。,?不同的表征在表示信息上可能是等效的，但在思維運演和交流等功能上并不等效：實物模型、圖形等表征適合于形象，直覺思維等非邏輯思維，有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)；文字、符號等表征適合于邏輯思維，有助于邏輯、理性思辨的培養(yǎng)。 ?很多數學對象的具體表征具有優(yōu)先性和典型性。如，表征“數”的概念，阿拉伯數字比較羅馬數字具有優(yōu)先性和典型性。但有時優(yōu)先性和典型性卻扮演負面的影響。如，

27、標準的幾何圖形或數學符號表達容易使學習者依賴典型。 總之，數學對象的多元表征的特征，在外在結構形式上如同冰山；在內容上，表征的豐富性以及相互聯(lián)系性構成知識的網絡結構；在方法上，表征間的轉換或轉譯體現了邏輯思維與非邏輯思維的互補。,?Keller和Hirsch：數學對象的多元外在表征能夠具體形象地凸顯一個數學對象的多元外在屬性；能強化數學對象復雜性的一面，同時也可能淡化其復雜的一面；能夠便于學習者對不同表征的認知聯(lián)接。

28、 ■Bruner:數學對象有三種表征，即活動性表征→圖象性表征→符號性表征。,■數學知識的外部表征(Lesh),?它們之間不一定存在先后的發(fā)展順序，主要應重視它們之間的轉換與相互影響，因為這種轉換與影響對于學生的概念形成和理解有重要的意義。?知識的外部表征及其轉換和聯(lián)系，將共同參與學生的思考活動，被他們選取、改造和適應，轉變?yōu)樾睦砩系谋碚鳌?■ 基于表征符號的本質差異，認知心理學家將外在表征分為：敘述性表征與描述性表征兩大類。

29、兩種表征具有各自的特點與功能： ?敘述性（言語化）表征，其本質為抽象符號，通過言語對被表征的對象進行抽象的描述。如，口語、書寫文本、數學公式、邏輯表示等。這一類表征與約定內容緊密相關，而且包含反映關系的各種符號，能夠描述和表達抽象的、邏輯的意義； ?描述性（視覺化）表征，其本質為直觀模式，通過圖式元素對被表征的對象進行形象的描繪。如，實物模型、圖形、圖表、圖像等。這一類表征描繪了具體的、形象的、直覺的意義，便于人們較為快捷地

30、“可視化”數學的整體結構和意義。 比較而言，敘述性表征適合于邏輯思維，有助于邏輯、理性思辨的培養(yǎng)；描述性表征適合于形象、直覺思維，有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。,多元表征學習模型,2）數學思維的媒介—心理表象 思維中信息的形態(tài),在定義和圖形兩者中，人們更傾向于利用一些圖形作為概念的代表，并用它們表示概念。記憶中存貯的信息的形式有三種既不排斥、也不包含的可能性：語言文字、命題；圖畫；既非詞句，也非圖畫。Krut

31、eskii：語言-邏輯方式與視覺-圖形方式，導致三類學生（分析型、幾何型、協(xié)調型）相應于“直觀”、“幾何型”思維方式的具體表現，心理學上有一個概念-表象。,心理表象的存在性-數學家的內省 ■Hadamard：數學領域中的發(fā)明心理學 ■Euler：解釋演繹的特性 ■Piaget：直觀對于發(fā)現必不可少 ■Hilbert：數學研究兩種趨勢：抽象與直觀 ■Griffiths：數學中最常見的思維媒介是數學結構的模型和實例 ■Bro

32、wn：學生常用的五種意象：具體意象、記憶意象、動覺意象、動態(tài)意象、模式意象。,■Descartes：意象本身不會產生科學，但在某些情況下，我們還是要求助于它。 ■Piaget：表象的三種類型 由內化的模仿活動形成的； 通過基本的思想實驗建立的； 思維運算的動態(tài)符號。,心理表象的特點——基本特征表象是相對形象、具體的表象具有綜合性、整體性表象具有不全面、不精確、不深刻的弱點表象有一個發(fā)展過程表象因人而異、因事

33、而異 ?思維表象如何在抽象與直覺之間維持一種平衡，既能比較直觀地表達對象，又盡可能不遺漏和不歪曲定義所規(guī)定的人工對象的性質，是學習中必須及時解決的問題。,3）心理表象與定義的關系 表象是最活躍的心理因素Vinner:內部信息更多地表示為與概念有關系的性質和心理圖像的組合。理解的要素:“建構理解就是建構表象”得益于表象的具體、形象的特點，思維將可以運轉得迅速靈活。形成好的概念表象，會對把握和理解概念有幫助。,定義：建構概念的腳手

34、架 — 工具 ■Vinner:獲得概念就是形成概念表象，用心學習定義不保證理解。 ■Freudenthal:概念形成主要參考的是經驗現象和事實。 ?數學教師創(chuàng)造理解：將數學概念的抽象定義的含義轉換成易于學生理解和運用的適當的心理表象，幫助學生靈活地掌握表象。,概念活動的過程分析■定義與表象是概念這枚硬幣的兩個面，它們各有側重，又互相補充，相輔相成，在幫助學生形成與運用概念方面共同發(fā)揮作用?！龆x以語言為途徑，對概念作逐字

35、逐句的界定，規(guī)定內涵，具有抽象性和嚴密性?！霰硐罄弥庇^形象為工具，象征性地代表概念，在回憶、加工時顯得簡潔明快，約束較小。,■定義和表象互相影響，互相促進。 ■理想的思考過程應當既借助于表象這個直觀思維的媒介，減輕思維的負擔，又參考定義，避免或糾正可能發(fā)生的錯誤。 ■在學校數學教學這樣一個特殊的“學術場合”中，合理地利用兩類工具，平衡表象與定義之間的關系，能使學習輕松、有效。,體現多元表征的教學建議,第一，從均分物體的視覺化表征

36、轉換為言語化表征時，注意體現言語化表征的發(fā)展層次：口頭通俗言語（如，把一個物體平均分成兩份，每一份是這個物體的“一半”，也就是平均分成的兩份中的一份）→書面精煉語言（二等分，取其一）→數學文字語言（二分之一）→數學符號語言（1/2）。,第二，結合情境，充分體現作為“量”的分數——帶單位（如，三分之一的圓）與作為“比率”的分數——不帶單位（如，三分之一）之間的轉換過程，并引導學生參與這個過程（當然不能直接提“量”的分數與“比率”的分數），

37、因為這是從視覺化表征轉向言語化表征的一個關鍵環(huán)節(jié)。,第三，關注操作活動后面的數學思考，促成學生在分數的視覺化表征與言語化表征之間的轉換與轉譯。因為，即使學生沒有接觸過分數，也能順利地完成“折一折”、“涂一涂”的操作活動。但是只有在操作活動與“幾等分，取其一”所表達的“幾分之一”之間建立了轉換與轉譯關系，學生才能從情境走向數學，把活動與思考數學結合起來。,第四，允許學生用不同的方式表征分數。盡管學習符號化的表達是一個的目標，但是達到這一目

38、標需要通過視覺化表征的轉換與轉譯才能實現。而且，表征之間的相互參照是兩種表征不斷發(fā)展——精致的需要，自然成為建立分數恰當圖式的必要條件。,數學多元表征學習要求同一數學學習對象必須具有敘述性和描述性兩類本質不同的表征，這也是對“數形結合”數學思想的本質刻畫?！皵敌谓Y合”反映的就是言語化表征與視覺化表征在概念理解與運用過程中的精致、轉換與轉譯，反映的就是視覺化表征的直覺啟示與言語化表征的邏輯抽象的整合。因此，從教學的角度看，我們更應深入