二 面 角

1、制作人：趙中興高一二面角二面角二面角問題因其需要充分運用立體幾何第一章的線線、線面、面面關(guān)系，具有綜合性強，靈活性大的特點，因此，一直成為高考、會考的熱點。求解二面角問題一般可分為直接法和間接法二大類。一、直接法直接法就是根據(jù)已知條件，首先作出二面角的平面角，再求平面角大小的方法。求作二面角平面角的方法主要有：①利用定義即在二面角l的棱l上任取一點，然后在兩??個半平面內(nèi)分別作棱的垂線ab，則這兩條垂線ab所成的角即為二面角的平面角。例

2、1、在三棱錐PABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角APBC的余弦值。???分析：所求二面角與底面ABC所在的位置無關(guān)，故不妨利用定義求解。略解：在二面角的棱PB上任取一點Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，則由定義??可得MQN即為二面角的平面角。設(shè)PM=a則在Rt??PQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由?23?PQNPQM得PN=a故在正三角形PMN中MN=a在??三角形MQN中由余弦定理得

3、cosMQN=，即二面角?31的余弦值為。31②利用三垂線定理。即從半平面內(nèi)的任一點A出發(fā)向另一個半平面??引一條直線AH，過H作棱l的垂線HG，垂足為G，連AG，則由三垂線定理可證lAG故AGH就是二面角l的平面角。三垂線定理是求解二面角問題的最常????用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線，即從第一個半平面內(nèi)的某一個點出發(fā)，且垂直于另一個半平面。l??abABCNMPQ??GAH制作人：趙中興高一二面角角就是二面角的平面角。例4、如

4、圖，在平面角為600的二面角l內(nèi)有一點P，P到、分別為????PC=2cmPD=3cm則（1）垂足的連線CD等于多少？（2）P到棱l的距離為多少？分析：對于本題很多同學可能會這么做：過C在平面內(nèi)作棱l的垂線，垂足為E，連DE，則CED即為??二面角的平面角。這么作輔助線看似簡單，實際上在證明CED為二?面角的平面角時會有一個很棘手的問題，就是要證明P、D、E、C四點共面。故不妨通過作垂面的方法來作二面角的平面角。略解：∵PC、PD是兩條

5、相交直線，∴PC、PD確定一個平面，設(shè)交棱l于E，連CE、DE?！逷C⊥，???∴PC⊥l又∵PD⊥，∴PD⊥l?！鄉(xiāng)⊥平面，則l⊥CE、DE，故CED即為二面角???的平面角，即CED=600?！郈PD=1200，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得??CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四點共圓，且PE為直徑，由19正弦定理得PE=2R===cm。CEDCD?sin060sin195732二、間接法所謂間接

6、法，就是不直接作出二面角的平面角，利用一個基本結(jié)論：即如圖，在一個半平面內(nèi)有一個平面圖形ACD另一個半平面??內(nèi)的平面圖形CDE為平圖形ACD在平面內(nèi)的射?影，設(shè)二面角大小為射影圖形的面積為S射，原來圖?形的面積為S，則可證明cos=（證明略）。?SS射例5、如圖，設(shè)E為正方體的邊CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。分析：圖中并沒有直接畫出平面AB1E和底面A1B1C1D1的交線，即二面角的棱不明確，若利用

7、直接法作出二面角的平面角，則必須先求作二個平面的交線，這給解題帶來一定的難度，所以不妨利用間接法求解。略解：顯然△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影為△A1B1C1，故這兩個平面所成二面角的余弦值為。321111???EABCBASS幾點說明：①三垂線定理是求解二面角的平面角的最主要的方法，要引起重視；②有些問題既可以用直接法求解，也可用間接法求解。如例3，可知△DEB1在右側(cè)面上的射影為△CEB1，故所求余弦值=。66464221