第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型習題答案

1、10第2章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2.12.1學習要點學習要點1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念、描述形式與相互轉(zhuǎn)換；2物理系統(tǒng)數(shù)學模型的編寫方法和步驟；3非線性系統(tǒng)線性化的意義、適用性和具體方法；4系統(tǒng)方框圖等效變換原則與應(yīng)用；5信號流圖等效變換與梅遜增益公式應(yīng)。2.22.2思考與習題祥解思考與習題祥解題2.12.1思考與總結(jié)下述問題。（1）我們學習的動態(tài)物理系統(tǒng)的數(shù)學模型有哪些形式？（2）非線性系統(tǒng)線性化的意義、適用性和具體方法。（3）傳遞函數(shù)

2、的意義、作用和性質(zhì)；與微分方程模型相比，這種模型有何優(yōu)點？答：答：（1）自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型指的是描述系統(tǒng)運動特性的數(shù)學描述。我們學習的動態(tài)物理系統(tǒng)的數(shù)學模型有微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性等表達式描述形式，還有方框圖和信號流圖等圖形化描述形式。（2）實際系統(tǒng)中變量之間的關(guān)系都或多或少地具有某種非線性特性。由于求解非線性微分方程比較困難，因此提出了線性化問題。如果控制系統(tǒng)的工作狀態(tài)是在工作點的一個小偏差范圍內(nèi)變化，就可以用一條過工作點的

3、切線代替工作曲線在這個小偏差范圍內(nèi)的變化關(guān)系，這樣，就把非線性特性線性化了。應(yīng)用線性化的數(shù)學模型就可以簡化系統(tǒng)分析和設(shè)計的過程，雖然這是一種近似的處理方法，但卻很有實際意義。只要這樣做所造成的誤差在允許范圍內(nèi)，不會對控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計造成本質(zhì)影響，就可以進行非線性系統(tǒng)線性化。具體方法是：對任意函數(shù)，在某一點（工作點）處對函數(shù)進行泰勒級數(shù)展開，忽略二階以上高次項，就可以得到線性化的函數(shù)關(guān)系。（3）系統(tǒng)輸入和輸出在零初始條件下拉氏變換的比

4、稱為系統(tǒng)的傳遞函)(sG數(shù)。傳遞函數(shù)表示了系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系，是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型，可以直接從微分方程導出。傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，與外部輸入無關(guān)，傳遞函數(shù)反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征和參數(shù)特性。由于傳遞函數(shù)是以復數(shù)s為變量，避免了許多求解微分方程的麻煩。因此，經(jīng)典控制論中更常用傳遞函數(shù)這種數(shù)學模型形式對控制系統(tǒng)進行分析和設(shè)計。題2.22.2試建立題2.2圖所示各系統(tǒng)的微分方程。其中外力，位移和)(tF)(tx電壓為輸入量；位移

5、和電壓為輸出量；（彈性系數(shù)），（阻)(tur)(ty)(tuckf尼系數(shù)），（電阻），（電容）和（質(zhì)量）均為常數(shù)。RCm12微分方程為:rrccuCRdtduuRCRRRdtdu121211????(d)由圖解2.2（d）可寫出（5）??CssIsIsIRsUcRRr1)()()()(???（6）)()(1)(sRIsRICssIcRc??（7）??CssIsIRsIsUcRcc1)()()()(???聯(lián)立式（5）、（6）、（7），消去

6、中間變量和，可得：)(sIC)(sIR1312)()(222222?????RCssCRRCssCRsUsUrc微分方程為rrrcccuRCdtduCRdtduuRCdtduCRdtdu222222221213?????題2.32.3試證明題2.3圖中所示的力學系統(tǒng)(a)和電路系統(tǒng)(b)是相似系統(tǒng)（即有相同形式的數(shù)學模型）。2k1k)(tx)(ty1f2f1C2C1R2R)(tur)(tuc)(a)(b題2.3圖ruRRCCRiciic