數(shù)學(xué)模型 第五章

1、動(dòng)態(tài)模型,描述對象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)對象特征的未來性態(tài),研究控制對象特征的手段,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),微分方程建模,根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè),按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程,5.1 傳染病模型,問題,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻,預(yù)防傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型,已感染人數(shù) (病人)

2、i(t),每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為?,模型1,假設(shè),若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加,建模,,,,?,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為,2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為?, 且使接觸的健康人致病,建模,,? ~ 日接觸率,SI 模型,模型2,tm~傳染病高潮到來時(shí)刻,? (日接觸率)? ? tm?,病人可以治愈！,?,t=tm, di/

3、dt 最大,模型3,傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染,增加假設(shè),SIS 模型,3）病人每天治愈的比例為?,? ~日治愈率,建模,? ~ 日接觸率,1/? ~感染期,? ~ 一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。,,模型3,接觸數(shù)? =1 ~ 閾值,感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移

4、出者,SIR模型,假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為,2）病人的日接觸率? , 日治愈率?, 接觸數(shù) ? = ? / ?,建模,需建立 的兩個(gè)方程,模型4,SIR模型,,模型4,SIR模型,相軌線 的定義域,在D內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析,模型4,SIR模型,相軌線 及其分析,

5、s(t)單調(diào)減?相軌線的方向,P1: s0>1/? ? i(t)先升后降至0,P2: s0<1/? ? i(t)單調(diào)降至0,1/?~閾值,模型4,SIR模型,預(yù)防傳染病蔓延的手段,? (日接觸率)? ? 衛(wèi)生水平?,?(日治愈率)? ? 醫(yī)療水平?,傳染病不蔓延的條件——s0<1/?,? 的估計(jì),,降低 s0,提高 r0,,提高閾值 1/?,模型4,SIR模型,被傳染人數(shù)的估計(jì),記被傳染人數(shù)比例,,? 小, s0 ?

6、 ?1,提高閾值1/??降低被傳染人數(shù)比例 x,s0 - 1/? = ?,5.2 經(jīng)濟(jì)增長模型,增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟(jì),增加投資,增加勞動(dòng)力,提高技術(shù),建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系,研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大,調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長,1. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),產(chǎn)值 Q(t),F為待定函數(shù),資金 K(t),勞動(dòng)力 L(t),技術(shù) f(t),= f0,,模型假設(shè),靜態(tài)模型,每

7、個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值,每個(gè)勞動(dòng)力的投資,z 隨著 y 的增加而增長，但增長速度遞減,1. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),含義？,,Douglas生產(chǎn)函數(shù),,QK ~ 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值,QL ~ 單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值,? ~ 資金在產(chǎn)值中的份額,1-? ~勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額,更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),1. Douglas生產(chǎn)函數(shù),,,,w ?, r ?, ? ? ? K/L ?,求資金與勞動(dòng)力的分配比例K/L(

8、每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金) ，使效益S最大,資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益,資金來自貸款，利率 r,勞動(dòng)力付工資 w,2）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）,,,3) 經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件 (動(dòng)態(tài)模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長, K(t), L(t)應(yīng)滿足的條件,模型假設(shè),投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn)),勞動(dòng)力相對增長率為常數(shù),,,,,,,Bernoulli方程,,,,產(chǎn)值Q(t)增長,3)

9、 經(jīng)濟(jì)增長的條件,勞動(dòng)力增長率小于初始投資增長率,每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長,3) 經(jīng)濟(jì)增長的條件,,5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn),戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭,只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱,兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加,戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān),建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例,第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型,一般模型,每

10、方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力,每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比,甲乙雙方的增援率為u(t), v(t),f, g 取決于戰(zhàn)爭類型,x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力,模型假設(shè),模型,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力,雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn),忽略非戰(zhàn)斗減員,假設(shè)沒有增援,,f(x, y)=?ay, a ~ 乙方每個(gè)士兵的殺傷率,a=ry py, ry ~射擊率， py ~命中率,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,為判斷戰(zhàn)

11、爭的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論 x 與 y 的關(guān)系,,,平方律 模型,,游擊戰(zhàn)爭模型,雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn),甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加,,f(x, y)=?cxy, c~ 乙方每個(gè)士兵的殺傷率,c = ry pyry~射擊率py ~命中率,游擊戰(zhàn)爭模型,,,線性律 模型,,混合戰(zhàn)爭模型,甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì),,,,,乙方必須10倍于甲方的兵力,設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, p

12、x=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除,藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量),血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì),藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 ——藥物動(dòng)力學(xué),建立房室模型——藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟,房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移,本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等),模型假設(shè),

13、中心室(1)和周邊室(2),容積不變,藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比,藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外,模型建立,線性常系數(shù)非齊次方程,對應(yīng)齊次方程通解,模型建立,幾種常見的給藥方式,1.快速靜脈注射,t=0 瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1,給藥速率 f0(t) 和初始條件,2.恒速靜脈滴注,t >T, c1(t)和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零,3.

14、口服或肌肉注射,相當(dāng)于藥物( 劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室,吸收室藥量x0(t),參數(shù)估計(jì),各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2,t=0快速靜脈注射D0 ,在ti(i=1,2,?n)測得c1(ti),由較大的 用最小二乘法定A,?,由較小的 用最小二乘法定B,?,,,,,參數(shù)估計(jì),過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系,人體吸入的毒物量

15、與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。,模型分析,分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。,設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。,問題,5.5 香煙過濾嘴的作用,模型假設(shè),定性分析,1）l1~煙草長， l2~過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1,2）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a´:a, a´

16、;+a=1,3）未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時(shí)間)吸收率分別是b和?,4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u， v >>u,Q ~ 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量,模型建立,t=0, x=0，點(diǎn)燃香煙,q(x,t) ~ 毒物流量,w(x,t) ~ 毒物密度,1) 求q(x,0)=q(x),t時(shí)刻，香煙燃至 x=ut,1) 求q(x,0)=q(x),2) 求q(l,t),3) 求w(ut,t),4)

17、計(jì)算 Q,結(jié)果分析,煙草為什么有作用?,1）Q與a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 處的吸入量,2) ~過濾嘴因素，?, l2 ~ 負(fù)指數(shù)作用,是毒物集中在x=l1 處的吸入量,3）?(r)~ 煙草的吸收作用,b, l1~ 線性作用,帶過濾嘴,不帶過濾嘴,結(jié)果分析,4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉,提高 ?-b 與加長l2，效果相同,5.6 人口預(yù)

18、測和控制,年齡分布對于人口預(yù)測的重要性,只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移,人口發(fā)展方程,人口發(fā)展方程,,,一階偏微分方程,,,人口發(fā)展方程,~已知函數(shù)（人口調(diào)查）,~生育率（控制人口手段）,,生育率的分解,?~總和生育率,h~生育模式,人口發(fā)展方程和生育率,~總和生育率——控制生育的多少,~生育模式——控制生育的早晚和疏密,正反饋系統(tǒng),滯后作用很大,人口指數(shù),1）人口總數(shù),2）平均年齡,3）平均壽命,t時(shí)刻出生的人，死亡率按 ?(r,t)

19、 計(jì)算的平均存活時(shí)間,4）老齡化指數(shù),控制生育率,控制 N(t)不過大,控制 ?(t)不過高,,5.7 煙霧的擴(kuò)散與消失,現(xiàn)象和問題,炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域。,不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。,建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時(shí)間與各因素的關(guān)系。,問題分析,無窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。,觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以

20、及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān)。,模型假設(shè),1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。,2）光線穿過煙霧時(shí)光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。,3）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。,模型建立,1）煙霧濃度 的變化規(guī)律,熱傳導(dǎo)定律：單位時(shí)間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比,曲面積分的奧氏公式,1）煙霧濃度

21、 的變化規(guī)律,初始條件,Q~炮彈釋放的煙霧總量,? ~單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù),對任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; R??C?,僅當(dāng) t??, 對任意點(diǎn)(x,y,z), C?0,1）煙霧濃度 的變化規(guī)律,2）穿過煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律,光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比,,3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限,煙霧濃度連續(xù)變化,煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化,設(shè)光源在z=-?, 儀

22、器在z=?,則觀測到的明暗界限為,~不透光區(qū)域邊界,4）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律,,,對任意t, 不透光區(qū)域邊界是圓周,不透光區(qū)域邊界半徑,結(jié)果分析,,觀測到不透光區(qū)域邊界達(dá)到最大的時(shí)刻t1，可以預(yù)報(bào)煙霧消失的時(shí)刻t2,5.8 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),背景,航海業(yè)發(fā)展,天文觀測精確,“地心說”動(dòng)搖,哥白尼：“日心說”,伽里略：落體運(yùn)動(dòng),開普勒：行星運(yùn)動(dòng)三定律,變速運(yùn)動(dòng)的計(jì)算方法,牛頓：一切運(yùn)動(dòng)有力學(xué)原因,牛頓運(yùn)動(dòng)三定律,牛頓：研究變速

23、運(yùn)動(dòng)，發(fā)明微積分（流數(shù)法）,開普勒三定律,牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律,萬有引力定律,《自然科學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》(1687),,,模型假設(shè),極坐標(biāo)系 (r,?),太陽 (0,0),1. 行星軌道,a~長半軸, b~短半軸, e~離心率,3. 行星運(yùn)行周期 T,行星位置：向徑,2. 單位時(shí)間 掃過面積為常數(shù) A,m ~ 行星質(zhì)量,? ~ 絕對常數(shù),4. 行星運(yùn)行受力,模型建立,向徑 的基向量,,,精品課件！,精品課件！,模型建立,萬有引力定律