數(shù)學(xué)建模習(xí)題--第五章

1、習(xí) 題 1、對(duì)于 5.1 節(jié)傳染病的 SIR 模型證明； ①若 ? / 1 0 ? s ，則 ) (t i 先增加，在 ? / 1 ? s 處達(dá)到最大 ，然后減少并趨于零； ) (t s 單調(diào)減少至 ? s 。 ②若 ? / 1 0 ? s ，則 ) (t i 單調(diào)減少并趨于零， ) (t s 單調(diào)減少至 ? s 。 2、對(duì)于傳染病的 SIR 模型證明(20)~(22)式。 3、在 5.2 節(jié)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型中，為了適用于不同的對(duì)象可

2、將產(chǎn)量函數(shù) ) (t Q 折算成現(xiàn)金，仍用 ) (t Q 表示。考慮到物價(jià)上升因素我們記物價(jià)上升指數(shù)為 ) (t p (設(shè) 1 ) 0 ( ? p )。則產(chǎn)品的表面價(jià)值 ) (t y 、實(shí)際價(jià)值 ) (t Q 和物價(jià)指數(shù) ) (t p 之間滿足 ) (t y ? ) ( ) ( t P t Q 。 ①導(dǎo)出 ) (t y 、 ) (t Q 、 ) (t p 的相對(duì)增長(zhǎng)率之間的關(guān)系，并作解釋。 ②設(shè)雇傭工人數(shù)目為 ) (t L ，每個(gè)工人工

3、資為 ) (t W ，企業(yè)的利潤(rùn)簡(jiǎn)化為從產(chǎn)品的收入) (t y 中扣除工人的工資和固定的成本。利用 5.2 節(jié)的（5）式討論，企業(yè)應(yīng)雇傭多少工人能使利潤(rùn)最大。 4、在 5.4 節(jié)的房室模型中證明方程（3）對(duì)應(yīng)的齊次方程通解如（4） 、 （5）式所示，說(shuō)明方程的兩個(gè)特征根? 和 ? 一定是負(fù)實(shí)根。 5、模仿 5.4 節(jié)建立的二室模型建立一室模型（只有中心室） ，在快速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續(xù)時(shí)間為? ）和口服或肌肉注射 3 種給藥方式

4、下求解血藥濃度，并畫出濃度曲線 圖。 6、利用上題建立的一室模型，討論按固定時(shí)間間隔T 每次給予固定劑量 D 的多次重復(fù)給藥方式。為了維持藥品的療效和保證機(jī)體的安全，要求血藥濃度C 控制在（ 2 1,C C ）范圍內(nèi)。設(shè)中心室容積V 為已知。 ① 在快速靜脈注射的多次重復(fù)給藥方式下，寫出血藥濃度表達(dá)式并作圖，討論怎樣確定T 和 D 使血藥濃度的變化滿足上述要求。 ② 在恒速靜脈滴注和口服（或肌肉注射）的多次重復(fù)給藥方式下，給出血藥濃度變

5、化的簡(jiǎn)圖，并在這兩種方式選擇一種來(lái)討論確定T 和 D 的問(wèn)題。 7、在 5.5 節(jié)香煙過(guò)濾嘴模型中， ① 設(shè) 800 ? M 毫克， 80 1 ? l 毫米， 20 2 ? l 毫米， 02 . 0 ? b （1/秒） ， 08 . 0 ? ? （1/秒） ， 50 ? v 毫米/秒， 3 . 0 ? a ，求Q 和 2 1 /Q Q 。 ②若有一支不帶過(guò)濾嘴的香煙，參數(shù)同上。比較全部吸完和只吸到 1 l 處的情況下，進(jìn)入人體毒物量的區(qū)

6、別。 8、在 5.6 節(jié)水電站調(diào)壓塔模型中，設(shè)調(diào)壓塔出口水流速度在穩(wěn)定值 0 v 附近有一階躍變化，即 ? ? ???? ? 0 , 00 , 1 ) ( 1 tt t v利用方程（8）討論調(diào)壓塔水位 ) (t h 在穩(wěn)定值 0 h 附近的變化過(guò)程 ) ( 1 t h 。 9、在 5.7 節(jié)人口的預(yù)測(cè)和控制模型中，總和生育率 ) (t ? 和生育模式 ) , ( t r h 是兩種控制人口增長(zhǎng)的手段。試說(shuō)明我國(guó)目前的人口政策，如提倡一對(duì)

7、夫婦只生一個(gè)孩子，晚婚晚育， 及生第 2 胎的一些規(guī)定，怎樣通過(guò)這兩種控制手段加以實(shí)施。 10、 在 5.8 節(jié)連續(xù)交通流模型中， 考察在 ] , [ t t t ? ? 內(nèi)公路段 ] , [ x x x ? ? 的流量 ) , ( t x q 和密度 ) , ( t x ? 的變化，直接導(dǎo)出交通流方程（5） 。 11、在 5.8 節(jié)紅綠燈模型中，討論初始密度是擁擠流即 *0 ? ? ? 時(shí)密度函數(shù) ) , ( t x ? 的變化（類似

8、于圖 5-23 對(duì)于稀疏流 *0 ? ? ? 的分析，畫出分階段的 ) , ( t x ? 示意圖，求出“追上車隊(duì)”和“堵塞消失”的時(shí)刻，分析間斷點(diǎn)的變化規(guī)律等） 。 12、證明紅綠燈模型中左右間斷線 ) (t xsl 和 ) (t xsr 當(dāng)t 足夠大后以相同速度向前移動(dòng)。 ① 在極坐標(biāo)系中設(shè)時(shí)刻t 飛機(jī)在（ ? , r ） ，艇在（ ? ? d r ? , ） 。證明飛機(jī)為了與艇在) , ( ? ? d dr r ? ? 相遇， 航

9、線必是對(duì)數(shù)螺線 300 ? ? ?? e r r ， 其中 ) , ( 0 0 ? r 是滿足 0 0 21 AP OP ? 的某一點(diǎn) 0 p 的坐標(biāo)，例如 ) 0 , 2 ( 0 p 。即飛機(jī)先由 A 點(diǎn)沿直線飛到 0 p 點(diǎn)，再沿對(duì)數(shù)螺線飛行。畫出航線示意圖。說(shuō)明飛機(jī)最多沿螺線飛一周（ ? 360 ）總可發(fā)現(xiàn)潛艇。 ②證明；為了使整條航線是一條光滑曲線，飛機(jī)應(yīng)先飛到 ) 2 , 3 2 ( 1? p 點(diǎn)，再沿螺線飛行。 ③在所有可以

10、發(fā)現(xiàn)潛艇的航線中哪一條航線最短，長(zhǎng)度若干。光滑航線的長(zhǎng)度又若干] 28 [ 。 *21. 建立鉛球擲遠(yuǎn)模型。不考慮阻力，設(shè)鉛球初速為v ，出手高度為h ，出手角度為?（與地面夾角） ，建立投擲距離與v 、 h 、? 的關(guān)系式，并在v 、h 一定的條件下求最佳出手角度。 *22. 建立腫瘤生長(zhǎng)模型。通過(guò)大量醫(yī)療實(shí)踐發(fā)現(xiàn)腫瘤細(xì)胞的生長(zhǎng)有以下現(xiàn)象：i）當(dāng)腫瘤細(xì)胞數(shù)目超過(guò) 11 10 時(shí)是臨床可觀察的；ii）在腫瘤生長(zhǎng)初期幾乎每經(jīng)過(guò)一定時(shí)間腫瘤

11、細(xì)胞就增加一倍；iii)在腫瘤生長(zhǎng)后期由于各種生理?xiàng)l件限制腫瘤細(xì)胞數(shù)目趨向某個(gè)穩(wěn)定值。 ① 比較 Logistic 模型與 Gompertz 模型： Nn n dtdn ln ? ? ? ，其中 ) (t n 是細(xì)胞數(shù)， N 是極值，? 是參數(shù)。 ②說(shuō)明上述兩個(gè)模型是 Usher 模型： ? ???? ???? ?? ? ?? ? ????Nn ndtdn 1 的特例，解釋參數(shù)? 的意義] 19 [ 。 *23. 建立一個(gè)模型說(shuō)明要用三

12、級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星的道理。 ① 設(shè)衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，證明其速度為 rg R v ? ， R 為地球半徑， r 為衛(wèi)星與地心距離， g 為地球表面重力加速度。 v 也就是火箭的末速。問(wèn)要把衛(wèi)星送上離地面600 公里的軌道，火箭末速應(yīng)為多少。 ② 設(shè)火箭飛行中速度為 ) (t v ，質(zhì)量為 ) (t m ，初速為零，初始質(zhì)量 0 m ，火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為 u ，忽略重力和阻力對(duì)火箭的影響。用動(dòng)量守恒原理證明) ( ln