同濟大學《自動控制原理》第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,系統(tǒng)的數(shù)學模型就是描述所研究物理控制系統(tǒng)的動力學表達式。建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的目的是要依據(jù)該數(shù)學描述對系統(tǒng)進行分析與綜合。,§2.1 控制系統(tǒng)微分方程及其線性化 以緒論中介紹的電子節(jié)氣門系統(tǒng)為例介紹如何建立一個自動控制系統(tǒng)的微分方程。 所謂系統(tǒng)的微分方程就是在時域描述系統(tǒng)輸出量（被控制量）與系統(tǒng)參考輸入量（給定量）間的動力學關系的微分方程式。具體的方法是：先求出系統(tǒng)單

2、個元件輸入輸出間的數(shù)學表達式，然后再跟據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或信號傳遞關系綜合求出整個系統(tǒng)的數(shù)學表達式。,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,建立電子節(jié)氣門角位移控制系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)輸出量是節(jié)氣門活瓣的角位移（節(jié)氣門開度） 。系統(tǒng)的給定量是與油門踏板位置成比例的節(jié)氣門開度給定信號 建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型即建立該系統(tǒng)節(jié)氣門開度 與所希望的節(jié)氣門開度給定信號 間的關系式,,,,,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,反饋元件,,,比較元

3、件,,放大元件,,——轉(zhuǎn)換系數(shù),,（伏/弧度）,,,——活瓣最大角位移,,——控制電源電壓,,——放大器增益,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,控制對象（兩級減速器+節(jié)氣門活瓣）,先討論一個有兩級機械減速的動力傳動系統(tǒng)，減速傳動的輸入轉(zhuǎn)矩為Tm , 輸出是阻轉(zhuǎn)矩為TL的慣性機械負載。,圖1 兩級機械減速的動力傳動系統(tǒng),第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,圖中所示的Zi為各齒輪齒數(shù)，J1，J2，J3和?1 ， ?2 ， ?3分別為各軸及相應齒輪的轉(zhuǎn)動

4、慣量和轉(zhuǎn)角。（其中 中包含負載的轉(zhuǎn)動慣量）,假設各軸均為絕對剛性，可得如下動力學方程組:,式中 —齒輪傳動中各軸及齒輪的粘性阻尼系數(shù)（其中 包含 負載的粘性摩擦） ； T1---齒輪Z1對Tm的反轉(zhuǎn)矩； T2---Z2對T1的反轉(zhuǎn)矩； T3---Z3對T2的反轉(zhuǎn)矩； T4---Z4對T3的反轉(zhuǎn)矩；

5、 TL---負載對T4的反轉(zhuǎn)矩，即負載轉(zhuǎn)矩。,(1),(2),(3),第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,由齒輪傳動的基本關系可知,于是由式(1)、（2）和（3）式，并代入以上的基本關系，可得：,（4）,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,令： 稱為等效轉(zhuǎn)動慣量;令： 稱為等效阻尼系數(shù)令： 稱為等效負載轉(zhuǎn)矩,第二章控

6、制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,因此（4）式可改寫改為,則圖1所示的傳動系統(tǒng)可簡化為圖2所示的等效齒輪轉(zhuǎn)動,?,圖2 從減速器輸入軸看進去的等效齒輪傳動,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,根據(jù)以上討論，本例中的控制對象（兩級減速器+節(jié)氣門活瓣）在數(shù)學處理上可以看作一個：輸入軸上轉(zhuǎn)動慣量為 ，粘性阻尼系數(shù)為 ，阻轉(zhuǎn)矩 為零（在活瓣上無外力作用時），負載輸出軸無轉(zhuǎn)動慣量、無粘性阻尼的假想變速傳動裝置。 該變速傳動裝置的變

7、比為：,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,執(zhí)行元件（電動機）,其中 為電動機電樞輸入電壓； 為電動機輸出轉(zhuǎn)角； Ra 為電樞繞組的電阻； La 為電樞繞組的電感； 為流過電樞繞組的電流 為電動機感應電動勢； T(t)為電動機轉(zhuǎn)矩；

8、 J為電動機及負載折合到電動機軸上的動慣量之和 ； f 為電動機及負載折合到電動機軸上的粘性阻尼系數(shù)之和 。,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,根據(jù)基爾霍夫第一定律，有：,根據(jù)載流線圈在磁場中要受到力的作用物理原理，可得到：,式中KT —電動機轉(zhuǎn)矩常數(shù)。,根據(jù)電磁感應定律，有,式中Ke —反電動勢常數(shù),（1）,（2）,（3）,第二章控制

9、及系統(tǒng)的數(shù)學模型,根據(jù)牛頓第二定律，有,將式（2）代入（4），得到：,將式（3），式（5）代入（1），得,（4）,（5）,（6）,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,由于本例中電動機與減速器同軸相連，故,整個系統(tǒng)數(shù)學模型建立,而系統(tǒng)角位移輸出 與電機角位移輸出 有以下關系,將以上關系帶入（6）式，便得到電機電樞電壓與節(jié)氣門活瓣角位移間的微分方程表達式,（*）,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,將反饋元件、比較元件和放大元件的輸

10、入輸出數(shù)學描述公式，,（反饋元件）,（比較元件）,（放大元件）,代入到電機電樞電壓和系統(tǒng)輸出角位移間的微分方程式（考慮到本例中電機電樞電壓用 表示）,可以得到用微分方程描述的本例電子節(jié)氣門角位移閉環(huán)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,上式說明本例電子節(jié)氣門角位移閉環(huán)控制系統(tǒng)是一個用三階常系數(shù)微分方程描述的線性定常系統(tǒng),任何用線性元件組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)都可以用一個線性微分方程描述。一個n階的系統(tǒng)，它的微分方程表

11、達式可寫成以下標準形式：,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,控制系統(tǒng)的線性化 嚴格意義上的線性系統(tǒng)是不存在的，當組成系統(tǒng)的某個元件具有非線性性質(zhì)時，在一定條件下，對其數(shù)學描述可進行線性化處理，即對系統(tǒng)進行線性化，以便可使用線性系統(tǒng)理論對系統(tǒng)進行分析與設計。,線性化處理的示例電子節(jié)氣門系統(tǒng)中的減速器實際上是一個具有間隙非線性的環(huán)節(jié)，如下圖所示：,由于間隙很小，可以用圖中的虛線（直線），代替實際減速器間隙（滯環(huán)）非線性特性。

12、當減速器間隙較大時，這種處理將導致較大的誤差。,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,一般的線性化處理方法 以下介紹的一般線性化方法適用于在工作點附近元件的輸入與輸出函數(shù)關系是單值的，且近似線性。 假定非線性元件的非線性函數(shù)表達式 ，如下圖表示：,,,,,,,若該元件的工作點位為坐標的原點。且實際工作中元件的輸入 變化范圍不超出圖中標出的范圍

13、 那末可用圖中的線性方程 （虛直線）代替原非線性函數(shù)即在原點鄰域內(nèi)對 進行泰勒展開，取常數(shù)和一次項，得到線性化方程。,,,第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型,建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟,將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)確定各環(huán)節(jié)的輸入/輸出信號根據(jù)物理定律或通過實驗等方法得出的物理規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當?shù)幕唽⒏鳝h(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量最后得出只包含系統(tǒng)輸入和輸出變量

14、，以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量的系統(tǒng)微分方程式,§2-1 拉氏變換,一、拉氏變換及其性質(zhì)（一）、拉氏變換的定義 時間函數(shù)f(t)，當t<0時，f(t)=0，當t≥0時，f(t)有定義，則 其中： 為函數(shù)f(t)的拉氏變換，F(xiàn)(s)也稱作f(t)的象函數(shù)。 通常工程上能產(chǎn)生的信號都有拉氏變換存在,例1. 指

15、數(shù)函數(shù)的拉氏變換 例2. 單位階躍函數(shù)的拉氏變換,§2-1 拉氏變換,例3. 單位脈沖函數(shù) 的拉氏變換 定義： 或 函數(shù)的面積為1，它的面積也稱為強度 有如下性質(zhì)由拉氏變換定義,例4. 單

16、位斜坡函數(shù)的拉氏變換采用分部積分 令,二、拉氏變換的運算法則 1、線性定理 拉氏變換是一個線性變換，若有常數(shù)k1， k2，函數(shù)f1(t)，f2(t)，則 2、延遲定理 設f(t)的拉氏變換為F(s)，則f(t)的延遲函數(shù) ，T為延遲時間，則 證明：令,3、位移定理

17、 設f(t)的拉氏變換為F(s)，對任意一常數(shù)a(可為實數(shù)或復數(shù))有,4、相似定理 設f(t)的拉氏變換為F(s)，則函數(shù)f(at),(a為任意常數(shù))有 5、微分定理 設 為 的n階導數(shù)，n=1,2,…n，若 的拉氏變換為F(s)，則有 ——

18、 時的 的值 —— 的第 階導數(shù)當 時的取值,6、積分定理 設f(t)的拉氏變換為F(s)，則 式中 證： 采用分步積分 設,因此 又因為 因此依次可以推到得到：如果各重積分的初值為零，則,7、初值

19、定理 f(t)及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，則 證：由微分定理知 令 ，對上式兩邊取極限 即,8、終值定理 f(t)及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，且 存在 ， 則 證：由微分定理 令 對上式兩邊取極限 上式左邊,由此得

20、即 注意：終值定理的適用條件是F(s)的所有極點都位于S平面的左半部。 所謂極點是使F(s)等于無窮大（不解析）所對應的復變量S的取值 例： 即 以上 ， 均是有一對共軛復數(shù)極點 ；

21、 這兩個極點都位于S平面的虛軸上，而不是左半平面。因此不能使用終值定理確定其終值。實際上周期函數(shù)沒有終值。,9.象函數(shù)的微分性質(zhì),設 f(t) 的拉氏變換為F(s),則 的拉氏變換為,10.象函數(shù)的積分性質(zhì),設 f(t) 的拉氏變換為F(s),則 的拉氏變換為,10、卷積定理 設 則

22、 式中 稱作函數(shù) 和 的卷積。 若令 ，則 上式說明：,證： 【原因：當 時， 。故當積分上限

23、 后，并不改變積分結(jié)果】,卷積定理證明：,可以證明若f(t)，g(t) 是可拉氏變換的，以上積分絕對可積，故可改變以上積分順序 再令 ，則 ，,§2-2 拉氏變換,二、拉氏反變換及其計算方法 1、拉氏反變換的定義 已知F(s)，求時間函數(shù)f(t)的拉氏反變換定義為

24、 其中r是大于F(s)所有奇異點實部的實常數(shù)。積分路線平行于虛軸，與虛軸的距離為r。 采用定義求拉氏反變換通常是非常困難的，在工程應用中一般不采用此方法。,2、拉氏反變換的計算方法 在控制理論中，F(xiàn)(s)都可以寫成s的有理分式 對于一個這樣的復雜的象函數(shù)F(s)，可采用以下介紹的部分分式法，先將F(s)表達為若干個簡單的標準象函數(shù)之和的形式，然后

25、通過查表求得這些簡單象函數(shù)的原函數(shù)，相加后得到F(s)的原函數(shù)。 如果設 為 分母多項式 的根，則,根據(jù)A(s)=0有無重根和共軛復根，可采用不同的部分分式計算方法求取F(s)的原函數(shù)f(t). 1) F(s)分母多項式A(s)=0只有互不相同的根 在這種情況下，F(xiàn)(s)可寫成以下的部分分式之和形式

26、 —待定參數(shù)， 只要能確定出 ，便可將 寫成n個部分分式之和。 的確定方法（一）： 證：,的確定方法（二）：

27、 — 關于s的一階導數(shù) 證：已知， 由于 ，則上式可寫成 求得系數(shù) 后,于是： 2） A

28、(s)=0有共軛復根 有兩種方法，一種是把一對共軛復根當作兩個不相同的根用上述方法分別確定各部分分式的系數(shù)，并分別求拉式反變換。在原函數(shù)中再把與兩個共軛復根對應的原函數(shù)合并。 另一種方法是按以下的部分分式形式確定系數(shù) 。 若 的n個根中， 、 為一對共軛復根 ， 、 、 為 n

29、-2個互不相同的實根。則F(s)可寫成以下形式的部分分式之和：,以上部分分式中 和 的值可借助下式求出 上式左邊等于 ，上式右邊等于 ，令*式兩邊實部，虛部分別相等，即 解該兩元一次方程組，求出 ， ，其余的系數(shù)由前面方法確定。 例：求以下象函數(shù)的原函數(shù),解：F(s)的

30、分母多項式 有三個根，其中 ； ； 將F(s)寫成部分分式形式 先確定 再確定 ， ， 按上述方法先計算*式左邊（用 ）,再計算*式右邊 從而有 對于上式兩邊進行整理，則得 令上式兩邊實虛部相等

31、解出,系數(shù) 確定后的F(s)部分分式可得到如下：對以下部分分式求取拉式反變換,3）A(s)=0有p重根 即 在這種情況下，F(xiàn)(s)可寫成以下的部分分式形式 ， 按無重根時的計算方法求取。 ， 按以下的方法求取,為了說明這個問題，只求證 求取方法的正確性