第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、1,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型：描述控制系統(tǒng)輸入變量、輸出變量和內(nèi)部變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，稱為動(dòng)態(tài)模型。在靜態(tài)條件下(即變量的各階導(dǎo)數(shù)為零)，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程稱為靜態(tài)模型。,常用數(shù)學(xué)模型：常用解析形式的動(dòng)態(tài)模型有微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)；常用圖形形式的動(dòng)態(tài)模型有動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖、頻率特性。,建立數(shù)學(xué)模型的目的：用于分析控制系統(tǒng)的性能和設(shè)計(jì)滿足要求性能的控

2、制系統(tǒng)。不同的分析設(shè)計(jì)方法常采用不同的數(shù)學(xué)模型，同一系統(tǒng)可用不同的數(shù)學(xué)模型表示。,2,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.1 傳遞函數(shù)2.2 閉環(huán)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換2.4 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.6 信號(hào)流圖與梅遜公式,3,2.1 傳遞函數(shù),微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)分析較麻

3、煩。,傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。,用拉氏變化法求解微分方程時(shí)，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型－傳遞函數(shù)。,4,一、傳遞函數(shù),傳遞函數(shù):線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：,5,式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量， 和是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常

4、系數(shù)。,于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0時(shí)的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：,6,(動(dòng)態(tài))方框圖：,M(s) – 分子多項(xiàng)式,N(s) – 分母多項(xiàng)式，又稱特征多項(xiàng)式，它決定著系統(tǒng)響應(yīng)的基本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)。,(零極點(diǎn)形式、首一多項(xiàng)式形式、伊萬思形式),(時(shí)間常數(shù)形式、尾一多項(xiàng)式形式、伯德形式),7,z

5、i – 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，即M(s)=0的根。,pj – 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，即特征方程N(yùn)(s)=0的根，又稱特征根。,傳遞函數(shù)的階：特征多項(xiàng)式的階次n即為傳遞函數(shù)的階次，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。,靜態(tài)放大系數(shù)(靜態(tài)增益)：輸出量與輸入量靜態(tài)值之比。,根軌跡增益：,8,傳遞函數(shù)由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定，與輸入信號(hào)的形式與大小無關(guān)。,傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，所有的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)，且m≤n。,性質(zhì)1：,性質(zhì)2：,二、傳遞函數(shù)的特點(diǎn),如果傳

6、遞函數(shù)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。,性質(zhì)3：,傳遞函數(shù)與微分方程之間可以互相轉(zhuǎn)換。,性質(zhì)4：,傳遞函數(shù)的拉氏變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。,性質(zhì)5：,傳遞函數(shù)的局限性：傳遞函數(shù)只適用于描述線性定常單輸入、單輸出系統(tǒng)，只直接反映系統(tǒng)在零狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性。,9,三、傳遞函數(shù)的求法 1、根據(jù)系統(tǒng)的微分方程求傳遞函數(shù),求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幾個(gè)步驟：,選定系統(tǒng)或元件的輸入量、輸出量。,列寫原始方程。利用適當(dāng)?shù)奈锢矶?、化學(xué)定律

7、或其它學(xué)科的公式和定律—如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等）。,在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，消去中間變量，得到傳遞函數(shù)。,10,解： 根據(jù)克?；舴蚨?，列寫出方程,例2-1 試求圖2-3所示RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。輸入量為ur(t)，輸出量為uc (t) 。,在零初始條件下將以上兩式進(jìn)行拉氏變換后，得,消去中間變量I(s)后得,則求得傳遞函數(shù),11,m – 質(zhì)量塊的質(zhì)量,f – 阻尼器的阻尼系數(shù),k – 彈簧的彈性系數(shù),F

8、(t) – 外力,y(t) –質(zhì)量塊的位移,例2-2 設(shè)有一質(zhì)量-彈簧-阻尼器的機(jī)械平移系統(tǒng)，如圖2-4所示。外力F(t) 為輸入量， 質(zhì)量塊的位移y(t) 為輸出量，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。,解：彈簧的恢復(fù)力,阻尼器的阻力,根據(jù)牛頓第二定律，得到,傳遞函數(shù),12,RLC網(wǎng)絡(luò),機(jī)械平移系統(tǒng),則,則,T – 時(shí)間常數(shù)， ζ – 阻尼比， Ｋ – (靜態(tài))放大系數(shù)或增益。,13,(3) 模擬技術(shù)：有了相似系統(tǒng)的概念，可以利用對(duì)一種系統(tǒng)的

9、研究來代替對(duì)另一種系統(tǒng)的研究，這就是所謂的模擬技術(shù)。特別是用電子模擬裝置模擬機(jī)械系統(tǒng)及其它物理系統(tǒng)。,討論：(1) 兩個(gè)完全不同的系統(tǒng)可能具有相同的傳遞函數(shù)。(2) 相似系統(tǒng)：物理量不同的兩個(gè)系統(tǒng)具有相同形式的微分方程(數(shù)學(xué)模型)，這種系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。而在微分方程中占據(jù)相同位置的物理量稱為相似量。,RLC網(wǎng)絡(luò),機(jī)械平移系統(tǒng),14,2、用復(fù)阻抗概念求電路的傳遞函數(shù),例2-3無源網(wǎng)絡(luò) 試求圖2-5所示電路的傳遞函數(shù)。 ur和uc分別是電

10、路的輸入量和輸出量,傳遞函數(shù)：,解,15,例2-4 有源網(wǎng)絡(luò) 試求圖2-7所示PI(比例-積分)調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)。 ur和uc分別是有源網(wǎng)絡(luò)的輸入量和輸出量,傳遞函數(shù),解,比例-積分調(diào)節(jié)器,Kp=R2/R1 – 調(diào)節(jié)器的增益,Ti=R2C – 調(diào)節(jié)器的時(shí)間常數(shù),16,3、非線性微分方程的線性化,現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中的元部件幾乎都具有程度不同的非線性。解析法求解非線性微分方程非常困難。在工程上，將非線性微分方程簡化為線性微分方程具有很大的實(shí)際意義

11、。,非線性微分方程的線性化：在工程上，將非線性微分方程在一定條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程這一過程，稱為非線性微分方程的線性化。,小偏差法：將非線性特性在(平衡)工作點(diǎn)附近(微小鄰域)展開成泰勒級(jí)數(shù)，去掉高階項(xiàng)而取其線性部分。,17,例 非線性方程 y=f(x)，工作點(diǎn)(x0，y0)，求其小偏差線性化模型。,在工作點(diǎn)(x0，y0)處, 臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開式為,增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)而取一次近似式，則有,令,K為工作點(diǎn)處f(x)的一階導(dǎo)數(shù)值，即該

12、點(diǎn)的切線斜率。,一個(gè)增量方程，y、x均為對(duì)平衡工作點(diǎn)的增量)。,幾何意義：以工作點(diǎn)處的切線代替工作點(diǎn)鄰域的曲線。,18,例 流體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),Q1 – 輸入流量,Q2 – 輸出流量,h – 液位高度,則,那么,19,在工作點(diǎn)處的平衡關(guān)系,線性化方程式,可以省略Δ，簡寫成,那么，傳遞函數(shù),20,四、常見元部件的傳遞函數(shù),θmax – 電位器的最大轉(zhuǎn)角,E – 施加在電位器兩端的電壓,Ks=E/ θmax – 比例系數(shù),傳遞函數(shù),輸入量：,輸

13、出量：,θe (t),us(t),1、角度誤差檢測器,21,ω(t) --被測物體的轉(zhuǎn)速，輸入量；,u(t) – 發(fā)電機(jī)的輸出電壓，輸出量。,直流測速發(fā)電機(jī)與交流測速發(fā)電機(jī)的輸出電壓均正比于電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，即,2、測速發(fā)電機(jī)：,用來測量旋轉(zhuǎn)物體的轉(zhuǎn)速。,圖2-13 測速發(fā)電機(jī),22,3、機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)：,M – 轉(zhuǎn)矩，輸入量；,ω – 轉(zhuǎn)速，輸出量。,J – 旋轉(zhuǎn)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；,f – 阻尼器的粘性摩擦系數(shù)；,

14、力矩平衡方程,23,4、齒輪系：,用來減速或增大力矩。,電動(dòng)機(jī)軸的力矩平衡方程,Mm – 電磁力矩，輸入量；,θ1 – 電動(dòng)機(jī)軸的角位移，輸出量。,Z1、Z2 – 主、從動(dòng)輪的齒數(shù)；,i – 齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)比；,機(jī)械原理,負(fù)載軸的力矩平衡方程,24,消去M1、M2、θ2得,(折算到電動(dòng)機(jī)軸上的總等效粘性摩擦系數(shù)),25,5、電樞控制的他激直流電動(dòng)機(jī)：,廣泛用作執(zhí)行機(jī)構(gòu)。,Eb、Kb – 電動(dòng)機(jī)的反電勢與反電勢系數(shù)；,θm – 電動(dòng)機(jī)軸的

15、角位移，輸出量。,Mm、Cm – 電動(dòng)機(jī)的電磁力矩與力矩系數(shù)；,ua – 電樞電壓，輸入量；,26,電動(dòng)機(jī)的反電勢,電動(dòng)機(jī)的電磁力矩,電樞回路電壓平衡方程,電動(dòng)機(jī)軸上的力距平衡方程,27,消去Mm、Eb、ia得,令La=0、ML=0得,式中,或,傳遞函數(shù),(在位置控制系統(tǒng)中取轉(zhuǎn)角),(在速度控制系統(tǒng)中取轉(zhuǎn)速),(電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)),(電動(dòng)機(jī)的傳遞系數(shù)),28,ω(t) – 轉(zhuǎn)速，輸出量。,ua(t) – 控制電壓，輸入量；,6、兩相

16、伺服電動(dòng)機(jī)：,小功率交流執(zhí)行機(jī)構(gòu)。,圖2-17 兩相伺服電動(dòng)機(jī)及其特性曲線,M –輸出轉(zhuǎn)矩；,Cω=dM/dω – 阻尼系數(shù)；,Ms – 堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩(在一定控制電壓下)；,線性化后的轉(zhuǎn)矩—速度曲線方程,堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩與控制電壓的關(guān)系,CM – 比例系數(shù)，額定電壓下的堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩與額定控制電壓的比值。,29,轉(zhuǎn)矩平衡方程,消去Ms 、 M得,J、f – 折算到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦系數(shù)。,式中,(時(shí)間常數(shù)),(比例系數(shù)),或,傳遞函數(shù),3