3第3章-控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及其轉(zhuǎn)換

1、第3章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及其轉(zhuǎn)換,一 連續(xù)和離散系統(tǒng),系統(tǒng)類型,根據(jù)系統(tǒng)變量是時(shí)間連續(xù)函數(shù)還是時(shí)間離散函數(shù)，系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。(1)連續(xù)系統(tǒng)—系統(tǒng)輸入、輸出都是連續(xù)時(shí)間信號。 (2)離散系統(tǒng)—系統(tǒng)輸入、輸出都是離散時(shí)間信號。 (3)混合系統(tǒng)—系統(tǒng)輸入、輸出包含連續(xù)信號和離散信號。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用微分方程描述。離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用差分方程描述。,二 線性和非線性系統(tǒng),根據(jù)輸入輸出關(guān)系是否同時(shí)滿足齊次性和疊加

2、性，系統(tǒng)分為線性和非線性。如果系統(tǒng)在輸入信號u1和u2或a1u1和a2u2作用下，有式中， 為任意實(shí)數(shù)， 為輸入輸出之間函數(shù)關(guān)系，那么，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則是非線性系統(tǒng)。,系統(tǒng)類型,系統(tǒng)類型,線性時(shí)變系統(tǒng)：,非線性定常系統(tǒng)：,線性定常系統(tǒng)：,根據(jù)模型參數(shù)是否隨時(shí)間變化，系統(tǒng)又可細(xì)分為定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)。參數(shù)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，稱為時(shí)不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變系統(tǒng)。,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,一 連續(xù)

3、系統(tǒng),式中，,分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量，n為系統(tǒng)的階次，,及各階導(dǎo)數(shù)的的初始值為,為參數(shù)，均為實(shí)常數(shù)。,已知輸出變量,1 微分方程一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可以表示成高階微分方程，即,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,稍加整理，并記,2 傳遞函數(shù)若系統(tǒng)的初始條件為零，那么對微分方程兩邊取拉普拉斯變換后可得,稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,=AX+BU 狀態(tài)方程Y=CX+DU 輸出方程,狀態(tài)空間表達(dá)式包括狀態(tài)方程和輸出方程。

4、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,3 狀態(tài)空間描述,r維輸入向量,n維狀態(tài)向量,m維輸出向量,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,維輸出矩陣,維直接傳遞矩陣,維系統(tǒng)矩陣,維輸入矩陣,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,對于線性時(shí)變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A，B，C，D，均與時(shí)間t有關(guān)，狀態(tài)空間描述為,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,1 差分方程設(shè)系統(tǒng)差分方程為,引進(jìn)后移算子,可得,二 離散系統(tǒng),控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,2 離散傳遞函數(shù)若系統(tǒng)的初始條件為零，,那么對差分方程兩邊取z變換后

5、可得,系統(tǒng)傳遞函數(shù),為,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,3 離散狀態(tài)空間描述多變量離散狀態(tài)空間表達(dá)式,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,三 MATLAB模型表示,MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供傳遞函數(shù)模型、零極點(diǎn)增益模型、狀態(tài)空間模型的生成函數(shù)。,線性模型生成函數(shù),控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,1 傳遞函數(shù)模型已知傳遞函數(shù)模型,sys = tf(num, den)；%用于生成連續(xù)傳遞函數(shù)；sys = tf(num, den, Ts)；%用于生成離散傳遞函數(shù)；

6、tfsys = tf(sys)；%用于將任意狀態(tài)空間模型SS或零極點(diǎn)增益模型ZPK對象sys轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式。,由分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)可以唯一確定傳遞函數(shù)。分子向量 num= 分母向量 den=,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,給定SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,,使用MATLAB表示該傳遞函數(shù)MATLAB命令：num=[2 1];den=[3 4 1];sys1=tf(num, den)運(yùn)行結(jié)果：Transfer function:

7、 2 s + 1------------------3 s^2 + 4 s + 1,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,若一采樣周期為0.2s的離散MIMO傳遞函數(shù)為,使用MATLAB表示該傳遞函數(shù)MATLAB命令：num={[1 1],[1 0];1,2}; %分子 den={[1 2 1],[1 0 2];[2 1],[1 1]}; %分母 sys4=tf(num,den,0.2),控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,Tra

8、nsfer function from input 1 to output... z + 1 #1: ------------- z^2 + 2 z + 1 1 #2: ------- 2 z + 1 Transfer function from input 2 to output... z #1: ------- z^2 +

9、2 2 #2: ----- z + 1 Sampling time: 0.2,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,2 零極點(diǎn)增益模型零極點(diǎn)模型是傳遞函數(shù)的一種特殊形式,離散系統(tǒng),連續(xù)系統(tǒng),sys = zpk(z, p, k)sys = zpk(z, p, k, Ts)zsys = zpk(sys),控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,給定一零極點(diǎn)增益模型,使用MATLAB表示該傳遞函數(shù)。MATLAB命令：z={0;-0

10、.5};p={0.3;[0.1-j,0.1+j]};k=[1;2];sys=zpk(z,p,k,[]),控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,Zero/pole/gain from input to output... z #1: ---------- (z-0.3) 2 (z+0.5) #2: ----------------------- (z^2

11、- 0.2z + 1.01) Sampling time: unspecified,控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,3 狀態(tài)空間模型線性定常狀態(tài)空間模型描述為,式中，,為狀態(tài)向量，,為輸入向量，,是輸出向量。,sys = ss(a，b，c，d)sys = ss(a，b，c，d，Ts)sys_ss = ss(sys)sys_ss = ss(sys，'minimal'); %最小階實(shí)現(xiàn),控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,狀態(tài)空間模型

12、,用MATLAB表示為A=[0 1 0; 0 0 1; -5 -20 -1];B=[0;0; 1];C=[1 0 0];D=0;sys=ss(A,B,C,D),控制系統(tǒng)常用數(shù)學(xué)模型,a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -5 -20 -1 b = u1 x1 0 x2 0 x3

13、 1 c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model。,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,MATLAB實(shí)現(xiàn)模型轉(zhuǎn)換有兩種不同的方式。方式1：簡單的模型轉(zhuǎn)換首先生成任一指定的模型對象(tf，ss，zpk)，然后將該模型對象類作為輸入，調(diào)用欲轉(zhuǎn)換的模型函數(shù)即可。例如：欲將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型sys=

14、tf(num，den)；[a，b，c，d]=ss(sys),利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,方式2：直接調(diào)用模型轉(zhuǎn)換函數(shù)連續(xù)模型之間三種形式的數(shù)學(xué)模型相互轉(zhuǎn)換函數(shù)類型包括tf2ss、ss2tf、zp2tf、tf2zp、ss2zp、zp2ss，共六個(gè)函數(shù)。,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,一 化傳遞函數(shù)為狀態(tài)空間模型,[A，B，C，D] = tf2ss(num，den);,將傳遞函數(shù),化成狀態(tài)空間表達(dá)式方式1：nu

15、m = {[0 2 3]; [1 2 1]};%分子多項(xiàng)式系數(shù)den = {[1 0.4 1]; [1 0.4 1]};% 分母多項(xiàng)式系數(shù)tfsys=tf(num,den); %生成傳遞函數(shù)sssys=ss(tfsys) ;%轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,a = x1 x2 x1 -0.4 -0.5 x2 2 0b = u1

16、 x1 2 x2 0c = x1 x2 y1 1 0.75 y2 0.8 0d = u1 y1 0 y2 1,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,方式2：num = [0 2 3; 1 2 1];den = [1 0.4 1];[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)運(yùn)行結(jié)果：A = -0.400

17、0 -1.0000 1.0000 0B = 1 0C = 2.0000 3.0000 1.6000 0D = 0 1,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,二 化傳遞函數(shù)為零極點(diǎn)增益模型,[z，p，k] = tf2zp(num，den),將傳遞函數(shù) 化為零極點(diǎn)增益模型。,方式1：zpk(t

18、f([2 1],[3 4 1])) Zero/pole/gain:0.66667 (s+0.5) ---------------- (s+1) (s+0.3333),方式2： [z,p,k]=tf2zp([2 1],[3 4 1])z = -0.5000p = -1.0000 -0.3333k = 0.6667,因此零極點(diǎn)增益模型為,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,三 化零極點(diǎn)增益模型為狀態(tài)空間模型,[

19、A，B，C，D] = zp2ss(z，p，k),零極點(diǎn)增益模型 化成狀態(tài)空間表達(dá)式,方式1：z=[-2];p=[-1 -3 -3];k=2;zpksys=zpk(z,p,k);sssys=ss(zpksys),方式2:z=[-2];p=[-1 -3 -3];k=2;[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k),利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

20、,四 化狀態(tài)空間模型為傳遞函數(shù),消去中間項(xiàng),后，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣,,對方程式兩端分別取拉普拉斯變換(設(shè)初始條件為零)，得,假設(shè)狀態(tài)空間表達(dá)式,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,將狀態(tài)空間方程化為傳遞函數(shù)的方法有：1 如果系統(tǒng)只有一個(gè)輸入，則可采用[num，den] = ss2tf (A，B，C，D)或[num，den] = ss2tf (A，B，C，D，1)2 對多輸入的系統(tǒng)，則可采用[num，den] = ss

21、2tf [A，B，C，D，iu]iu是輸入的標(biāo)號。,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,多入單出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,包括兩個(gè)傳遞函數(shù)：Y(s)/U1(s)、Y(s)/U2(s)(當(dāng)考慮輸入u1時(shí)，可設(shè)u2為零。反之亦然)，試將其化成傳遞函數(shù)形式。,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,MATLAB命令：A=[0 1 0; 01 1; -5.008 25.1026 -5.032471];B=[0 1; 2

22、5.04 2; 121.005 3];C=[1 0 0];D=[0 0];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);Sys1=tf(num,den),傳遞函數(shù)Y1(s)/U1(s)為Transfer function: -3.553e-015 s^2 + 25.04 s + 247------------------------------------------s^3 + 4.032 s^2

23、- 30.14 s + 5.008,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2);Sys2=tf(num,den)傳遞函數(shù)Y1(s)/U2(s)為Transfer function: s^2 + 6.032 s - 17.07-----------------------------------------s^3 + 4.032 s^2 - 30.14 s + 5.

24、008,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,,五 化連續(xù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程,設(shè)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為,假設(shè)輸入端加上虛擬采樣開關(guān)和虛擬信號重構(gòu)器，輸出端加一個(gè)虛擬采樣開關(guān)，虛擬采樣周期為T，兩者同步。,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,,1 采用零階保持器的離散狀態(tài)方程設(shè)kT及(k+1)T為兩個(gè)依次相連的采樣瞬時(shí)，保持器為零階保持器，u(t)在kT及(k+1)T之間保持不變,式(2)-式(1)乘以eAT，可得,(1),(

25、2),利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,離散的狀態(tài)空間表達(dá)式為,式中，,不變；,為采樣周期。,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,,2 采用一階保持器的離散狀態(tài)方程保持器使為斜坡函數(shù)(梯形近似)，則對,離散的狀態(tài)空間表達(dá)式為,式中，,不變。,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,3 連續(xù)系統(tǒng)離散化的MATLAB方法c2d( )可以將連續(xù)系統(tǒng)化成等價(jià)的離散化模型，格式如下：sysd = c2d(sys，Ts)sysd

26、= c2d(sys，Ts，method)其中，sys為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模型，Ts為采樣周期，單位為秒(s)。method定義離散化方法，method的取(1) ‘zoh’ ——采用零階保持器。(2) ‘foh’ ——采用一階保持器。,利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換,,,,,,,采用零階保持器，采樣周期為0.5s，離散化下列狀態(tài)方程,MATLAB命令：sys=ss([0 1;0 -2],[0 1]',[1 0],0)

27、; dss=c2d(sys,0.5,'zoh'),a = x1 x2 x1 1 0.3161 x2 0 0.3679b = u1 x1 0.09197 x2 0.3161c = x1 x2 y1 1 0d = u1 y1 0Sampling

28、 time: 0.5Discrete-time model.,模型實(shí)現(xiàn),并非任意的微分方程和傳遞函數(shù)都能求得其實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)存在的條件是,考慮單變量線性定常系統(tǒng),傳遞函數(shù)為,模型的實(shí)現(xiàn)就是根據(jù)微分方程或傳遞函數(shù)找出狀態(tài)空間表達(dá)式,模型實(shí)現(xiàn),一 能控標(biāo)準(zhǔn)型,設(shè)傳遞函數(shù)為,令,模型實(shí)現(xiàn),取狀態(tài),狀態(tài)方程為,輸出方程為,模型實(shí)現(xiàn),二 對角標(biāo)準(zhǔn)型,已知系統(tǒng)傳遞函數(shù),根據(jù)系統(tǒng)特征根情況，展開成部分分式，求得與之對應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。,模型實(shí)現(xiàn),式中

29、，,為分母多項(xiàng)式極點(diǎn)，即系統(tǒng)特征根。,將其展成部分分式,式中，,為待定系數(shù)，計(jì)算公式,所以,1 特征根互異情況,模型實(shí)現(xiàn),Step 1：選擇狀態(tài)變量,模型實(shí)現(xiàn),Step 2：化為狀態(tài)變量的一階方程組為,模型實(shí)現(xiàn),Step 3：寫成狀態(tài)空間方程向量形式為,模型實(shí)現(xiàn),2 特征根有重根情況,設(shè)有重的主根 ，其余 ， ， 是互異根。,部分分式為,待定系數(shù)計(jì)算公式,模型實(shí)現(xiàn),Step 1：選擇狀態(tài)變量,模型實(shí)現(xiàn),Ste

30、p 2：化為狀態(tài)變量的一階方程組為,模型實(shí)現(xiàn),Step 3：寫成狀態(tài)空間方程向量形式為,模型實(shí)現(xiàn),模型實(shí)現(xiàn),設(shè),，試求狀態(tài)空間表達(dá)式。,解：極點(diǎn)為,待定系數(shù),模型實(shí)現(xiàn),狀態(tài)空間模型為,模型實(shí)現(xiàn),設(shè),，試求狀態(tài)空間表達(dá)式。,解：系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn)，,，,待定系數(shù),模型實(shí)現(xiàn),狀態(tài)方程為,小結(jié),本章首先給出控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的分類，介紹控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型的描述形式，最后給出各種數(shù)學(xué)模型，如微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間等之間轉(zhuǎn)換和MATLAB實(shí)現(xiàn)