第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,本章主要內(nèi)容與重點控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型控制系統(tǒng)的復域數(shù)學模型控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,本章主要內(nèi)容,本章重點,本章介紹了建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型和簡化的相關(guān)知識。包括線性定常系統(tǒng)微分方程的建立、非線性系統(tǒng)的線性化方法、傳遞函數(shù)概念與應用、方框圖及其等效變換、梅遜公式的應用等。,通過本章學習，應著重了解控制系統(tǒng)數(shù)學模型的基本知識，熟練掌握建立線性定常系統(tǒng)微分方程的建立、傳遞函數(shù)的概念和應用知識、控制系統(tǒng)方框圖

2、的構(gòu)成和等效變換方法、典型閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的基本概念和梅遜公式的應用。,2-1 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型1、系統(tǒng)的數(shù)學模型描述物理系統(tǒng)的物理模型的數(shù)學方程式2、物理模型一個理想化的物理系統(tǒng),一、系統(tǒng)微分方程的方法,求質(zhì)量m在外力F的作用下，質(zhì)量m的位移x的運動。設(shè)系統(tǒng)已處于平衡狀態(tài)，相對于初始狀態(tài)位移、速度、加速度為零,彈簧-質(zhì)量-阻尼器（S-M-D）機械位移系統(tǒng),列寫元件微分方程的步驟：（1）一定條件下簡化系統(tǒng)為物

3、理模型（2）確定元件的輸入量、輸出量（3）由物理或化學規(guī)律，列寫微分方程；（4）消去中間變量，得到輸入、輸出之間關(guān)系的微分方程一般列寫數(shù)學模型有分析法和實驗法兩種方法分析法：分析系統(tǒng)內(nèi)部各部分運動機理，然后列寫相應 的方程，最后求取系統(tǒng)的數(shù)學模型實驗法：人為加入測試信號，記錄輸出用數(shù)學模型逼近。,控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：（1）由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)方框圖或直接確定系統(tǒng)中各個基本部件（元件）（2）列寫各方框圖或各元

4、件的輸入輸出之間的微分方程，要注意前后連接的兩個元件中，后級元件對前級元件的負載效應（齒輪系對電機的轉(zhuǎn)動慣量的影響）和信號傳遞的單向性。（3）消去中間變量得到輸入輸出的數(shù)學方程,速度控制系統(tǒng)的微分方程,,,,,,,運放2的數(shù)學模型,物理模型ua=ub=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,U1,,R1,R2,c,U2,,,R1,a,b,,,R2,,,c,,,,,,a,U1,U2,i1,i2,i3,,系統(tǒng)輸出 系統(tǒng)輸入?yún)⒖剂?

5、控制系統(tǒng)的主要部件（元件）：給定電位器、運放1、運放2、功率放大器、直流電動機、減速器、測速發(fā)電機,運放1,運放2,功放,直流電動機,減速器（齒輪系）i為傳動比,測速發(fā)電機,消去中間變量,控制系統(tǒng)數(shù)學模型（微分方程），令以下的參數(shù)為,*比較 R-L-C電路運動方程與 M-S-D機械系統(tǒng)運動方程,相似系統(tǒng)：揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。,線性系統(tǒng)的性質(zhì)：具有可疊加性、均勻性（齊次性）,兩個或多個外作用加于系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出等于各個外作用分

6、別作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出之和。例如,例題：機械系統(tǒng)如下,阻尼器系數(shù)及輸入輸出如圖列寫數(shù)學模型 輸入為xi輸出為x0初態(tài)為零,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,c1,c2,xi,x0,m,,,,b,a,fc1,fc2,二、非線性元件微分方程的線性化,實際的物理元件都存在一定的非線性，例如,彈簧系數(shù) 是位移的函數(shù)電阻、電容、電感與工作環(huán)境、工作電流有關(guān)電動本身的摩擦、死區(qū),小偏差線性化法 設(shè)

7、連續(xù)變化的非線性函數(shù),平衡狀態(tài)A為工作點,在平衡狀態(tài)點運用臺勞級數(shù)展開為,,,,,,A,f(x),x,,x0,,具有兩個自變量的非線性函數(shù)的線性化,增量線性方程,,缺點只能列寫平衡點方程,三、拉氏變換及應用,1、定義 如 為復變量存在稱為f(t)的拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）記作F(s)=或F(s)=L[f(t)]稱F(s)為f(t)的象函數(shù)，f(t)為F(s)的原函數(shù)。2、積分

8、限問題正常函數(shù)的積分下限為0但對于一些特殊函數(shù)的,的積分下限為 例如單位脈沖函數(shù),表達式如下積分限不同相應的積分值不同實際應用中 意味著外作用未作用于系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)可知一般為零,0+則外作用已加上系統(tǒng)狀態(tài)變化初態(tài)不確定,3、拉氏反變換定義如下拉氏變換的性質(zhì)(1)線性性質(zhì) 已知 a,b為常數(shù),則他們的組合為,2、微分性質(zhì),積分性質(zhì)（參見相關(guān)教材）,

9、初值定理如函數(shù)f(t)及一階導數(shù)是可以拉氏變換的終值定理（用于計算誤差）,位移定理,卷積定理拉氏反變換（部分分式展開法）,系數(shù)均為常數(shù)m<n，先因式分解成部分分式,我們考慮無重根情況查表即可求出f(t)有重根情況設(shè),分解如下,系數(shù)如下,其余系數(shù)同無重根計算一樣,查表結(jié)果為拉氏變換表如書中。例,方程兩端拉氏變換,帶入初狀態(tài)有,2-2 控制系統(tǒng)的復域數(shù)學模型復域數(shù)學模型 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)

10、是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念一、傳遞函數(shù)的定義與性質(zhì)定義設(shè)線性定常系統(tǒng)由n階線性定常微分方程描述：,,定義：線形定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)的輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。,例1RLC 串聯(lián)無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)(零狀態(tài)),由微分方程導出傳函系統(tǒng)如圖,先列寫微分方程 零狀態(tài)方程拉氏變換由上兩式看出一一對應關(guān)系,,,R,i,,,,,,,c,ui,uo,

11、,1/（1+RCs）,,ui,uo,（3）傳遞函數(shù)與微分方程可相互轉(zhuǎn)換。（4）傳遞函數(shù) 的Laplace反變換是系統(tǒng)的脈沖響應 。提供了求取傳函的一種方法利用輸入為單位脈沖函數(shù)測得輸出響應r(t),對其進行拉氏反變換，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,例：(as+b)c(s)=dr(s)得出時域模型,二、傳遞函數(shù)的零點與極點,p2,p3,p4,p1,零極點分布圖,Zj為分子多項式的零點為傳遞函的零點，

12、Pi為分母多項式的零點為傳遞函數(shù)的極點,稱為傳遞系數(shù)或根軌跡系數(shù),傳遞函數(shù)寫成因子連乘積的形式,稱為傳遞系數(shù)或增益或放大系數(shù),傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根或系統(tǒng)特征方程的根，極點決定了系統(tǒng)自由運動的模態(tài)，而且在強迫運動中也會包含這些自由運動的模態(tài)。,三、傳遞函數(shù)極點和零點對輸出的影響,極點作用:用2取代分子6(s+4)，輸入為階躍函數(shù),1、極點產(chǎn)生自由運動模態(tài),為系統(tǒng)固有，其系數(shù)的大小與輸入函數(shù)形式有關(guān)，傳函極點受輸入函數(shù)激發(fā)輸出

13、響應中形成自由運動模態(tài)。2、一般情況下離虛軸最近的極點對應的自由運動模態(tài)在系統(tǒng)的響應中占比重最大。,零點作用,傳遞函數(shù)的零點影響各模態(tài)在響應中所占的比重，例如,輸入信號 ，零狀態(tài)響應分別為,各個模態(tài)在兩個系統(tǒng)輸出響應中所占的比重不同，取決于零點相對于極點的距離。距離越近影響越大。例如：,四、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),傳函的通式應用不便所以數(shù)學上要進行分解,2P+Z+V=n,每個基本因

14、子為一個典型環(huán)節(jié),1、比例環(huán)節(jié)其數(shù)學模型為G(s)=K其特點為響應快。例如齒輪傳動，比例放大器、永磁測速發(fā)電機。,Xo(s),2、慣性環(huán)節(jié),其數(shù)學模型為G(s)=K/（Ts+1）T為時間常數(shù)階躍響應如圖輸出不能立刻響應輸入有滯后T越大滯后越大直流發(fā)電機視為慣性環(huán)節(jié),,t,X0(t),,T1,T2>T1,3、積分環(huán)節(jié),其數(shù)學模型為G(s)=１/TsK=1/T是積分常數(shù)響應特點如圖慣性延滯輸出線形增長快慢

15、由積分時間常數(shù)T決定。,,,,t2,X0(t),t,記憶功能t1和t2間輸入為零但輸出不變,例如旋轉(zhuǎn)機械軸近似為積分環(huán)節(jié)４、微分環(huán)節(jié)G(S)=τS其中τ為微分時間常數(shù)響應如圖該環(huán)節(jié)動態(tài)過程起作用輸出量反映輸入量的變化趨勢,,,,,t2,,,,,t1,t2,X0(t),物理系統(tǒng)中無純微分環(huán)節(jié)只能近似實現(xiàn),應用中一般結(jié)合比例環(huán)節(jié)使用5、振蕩環(huán)節(jié)當 時其階躍響應如圖,輸出量時間響應是衰減振蕩過程，稱

16、為,振蕩環(huán)節(jié)他勵直流電動機一定條件下近似為振蕩環(huán)節(jié),,,,t,Xi(t),,,,,X0(t),t,6、純滯后環(huán)節(jié),輸出滯后輸入時間 ，不失真反映輸入輸入環(huán)節(jié)。其數(shù)學模型如下 當 較小時,時滯環(huán)節(jié)近似為一個慣性環(huán)節(jié)。,階躍響應如圖帶式運輸機就是一個時滯環(huán)節(jié)復雜系統(tǒng)看作典型環(huán)節(jié)的組合。典型環(huán)節(jié)按數(shù)學共性建立不一定與實際元件一一對應。,,,Xi（t）,Xo(t),一個物理系統(tǒng)數(shù)學模型由若干個典型,環(huán)

17、節(jié)數(shù)學模型組合而成，掌握典型環(huán)節(jié)的特性為系統(tǒng)設(shè)計提供良好的基礎(chǔ)。典型環(huán)節(jié)的概念適用于線形定常系統(tǒng)。,2-3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：描述系統(tǒng)各元部件之間的信號傳遞關(guān)系的一種圖形化表示，特別對于復雜控制系統(tǒng)的信號傳遞過程給出了一種直觀的描述。,一、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成與繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖一般有四個基本單元組成：（1）信號線； （2）引出點（或測量點）；（3）比較點（或信號綜合點）表示對信號進行疊加；（4）方框（或環(huán)節(jié)）表示對信

18、號進行變換，方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。輸出等于輸入和傳函的乘積。,電壓測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,,無源網(wǎng)絡的方框結(jié)構(gòu)圖（結(jié)構(gòu)圖畫法實例）,,,結(jié)構(gòu)圖過程如下,，用信號線按信號流向把各結(jié)構(gòu)圖連接起來得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,,,,1/R1,,,R2,,,R1,,Cs,,,,,,(b),,Uo,,I1,Uo,I,Ui,I2,I1,I1,I2,I,(a),(c),(d),結(jié)構(gòu)圖的繪制方法,（1）列寫各元件的微分方程或傳遞函數(shù)用方塊圖表示（

19、2）根據(jù)各信號的流向用信號線依次連接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。實質(zhì)：系統(tǒng)原理圖和數(shù)學方程式的結(jié)合，利用結(jié)構(gòu)圖可以求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。注意：結(jié)構(gòu)圖不唯一，方框與元件可以不是一一對應的,二、結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化,任何復雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結(jié)構(gòu)圖的簡化是通過移動引出點、比較點，交換比較點，進行方框運算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。,等效變換的原則：變換前后的變量之間關(guān)系保持不變（1

20、）串聯(lián)等效,,（2）并聯(lián),（3）反饋,閉環(huán)傳遞函數(shù)：,前向通道傳遞函數(shù)：輸入端對應比較器輸出 E(s) 到輸出端輸出 C(s) 所有傳遞函數(shù)的乘積，記為 G(s) 反饋通道傳遞函數(shù)：輸出 C(s) 到 輸入端比較器的反饋信號 B(s) 之間的所有傳遞函數(shù)之乘積，記為 H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋引入點斷開時，輸入端對應比較器輸出 E(s) 到輸入端對應的比較器的反饋信號 B(s) 之間所有傳遞函數(shù)的乘積，記為GK(s), G

21、K(s)=G(s)H(s),（4）比較點和引出點的移動,移動前后保持信號的等效性,,,x1,,x0,,,G(s),,x2,比較點前移,，,,,x1,x2,x0,,G(s),,,,,1/G(s),,,x1,x2,x0,引出點前移,X1,x3=x1,x0,,G(s),,,,x0,x1,1/G(s),,X3,引出點前移,x1,,G(s),,,,x2,x3,G(s),,x3,x1,x2,實例求系統(tǒng)閉環(huán)傳函,簡化過程：（1）G3(s) 和G4(s

22、)之間的引出點后移，由G3(s) 、G4(s) 和H3(s)組成的內(nèi)反饋回路計算等效傳遞函數(shù)：,,,,G1,,,,G2,,,,G3,,G4,,,,,H2,,,,,H3,,,,,H1,,,,R(s),C(s),a,第一,，,,,,G1,,,,G2,,,,G3,G4,,,,,,,H3,,,,,H1,,,,H2/G4,,,,（2）將G2(s) 、G34(s) 和H2(s)*1/ G4(s)組成的內(nèi)反饋回路簡化，計算等效傳遞函數(shù),（3）將G

23、1(s) 、G23(s) 和H1(s)組成的主反饋回路簡化，計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù),第二,，,,,,G1,,,G2,,,,H1,,,,H2/G4,,,G3G4/（1+G3G4H3）,,,,,,試簡化圖示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳函。,過程圖示,化簡過程如圖,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,第二步,，,,,,,,,,G2/(1+G2),H1+(1+1/G2),,,,,兩個主反饋是并聯(lián)的,先化簡局部內(nèi)環(huán)然后

24、與G1串聯(lián)，最后,三、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),,輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù),擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù),輸入和擾動共同作用式，系統(tǒng)輸出響應為,閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù),，,則有,以 為輸出量時的傳遞函數(shù) 誤差傳遞函數(shù),若,并且,,,,G1G2H,,,,,,R(s),E(s),求取此系統(tǒng)的開環(huán)傳函,根究開環(huán)傳函的定義：有開環(huán)傳函為 Gk(s)=G1G2H上述各種閉環(huán)傳函分母形式一致均為

25、 =1+ 稱為系統(tǒng)的特征方程，或信號流圖的特征式系統(tǒng)的結(jié)論：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)不變系統(tǒng)的特征方程不變（可見開環(huán)傳函重要）,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)實例：,開環(huán)傳遞函數(shù)等效于主反饋斷開偏差作為輸入到主反饋輸出的傳遞函數(shù)（例）,,,,,G2,,,H1,,,,,G3,,,Xi,X0,,B（s）,E(s),斷開主反饋后如圖,偏差作為輸入量主反饋B(s)為輸出開環(huán)傳函為特征方程為,G2,H1,,B(s),E(

26、s),2-4系統(tǒng)的信號流圖,一、信號流圖的繪制：由結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖 典型的信號流圖如下與結(jié)構(gòu)圖類似由信號和結(jié)構(gòu)兩部分組成。,,,,,,,,,,,,x1,x2,x3,x4,x5,1,a,b,c,-1,,-1,節(jié)點代表信號，分為源節(jié)點(只有輸入)，匯(阱)（只有輸出）節(jié)點，,混合節(jié)點（既有輸入又有輸出）。支路帶箭頭的線段代表結(jié)構(gòu)，線段上表增益。例題,,,,,,,,G1,,,G2,,,G3,,,,,,,,,,,,,,,,,

27、,,,xi,xo,x1,x2,x3,x4,x5,x6,1、結(jié)構(gòu)圖上前向通道上的每個線段可以,認為是一個信號（節(jié)點）共8個，同一點的引出線用一個節(jié)點表示。2、按信號的傳遞關(guān)系用支路把節(jié)點連接好,標出相應的傳函。,,,,,,,,,,,,,,,,x2,x1,xi,x4,x3,x6,x5,x0,,,,,,,,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,,G1,1,G2,1,G3,二、MASON增益公式,從源點到阱點的傳遞函數(shù)（或總增益）從源點到

28、阱點的前向通路總數(shù)從源點到阱點的第k條前向通路總增益,流圖特征式,所有單獨回路之和(起點和終點是同一節(jié)點的回路)兩、兩不接觸回路增益的乘積之和三、三不接觸回路增益的乘積之和流圖余因子,1、前向通路數(shù)n=4,2、前向通路增益分別為3、四個獨立回路分別為,流圖特征式,單獨回路增益和為-(G1+G2+G3+G1G2),單獨回路中所有任意兩個不接觸單獨回路增益積之和。同理 所有任意3個不

29、接觸單獨回路中互不接觸單獨回路 增益乘積之和,第k條前向通道的特征式余因子,中去掉與 第K條前向通道相接觸各回路增益（可令相接觸各回路增益為0），剩余項。,結(jié)構(gòu)圖簡化系統(tǒng)實例,已知結(jié)構(gòu)圖圖下求取，開環(huán)傳函，系統(tǒng)傳函，誤差傳函，擾動傳函,,,,,,G2,,,,,,G3,,,G4,,,,,,,,,,G1,,,,E,B,R,C,N,對輸入的傳遞函數(shù),令N(s)=0,,,,,G2,,,,,,G4,,,,,,G1,,,,B,R,,G3,,

30、,,,,,,,,,,,R,G3,,,,比較器后移,，,,,,,,,R,,,G2+G4,G2G1,,,,,,,G3,,C,比較器前移,，,,,,,,(G2+G4)G3,G2G1/ (G2+G4),,,,,,,,r,c,擾動的傳函,另r(t)=0,G2+G4,,,,,,,,,G3,,,N,c,,G3,,,,N,,,G2+G4,,,,c,誤差傳函,N=0,,,,,,,R,,,G2+G4,G2G1,,,,,,,G3,,C,a,E,b,比較器前移

31、順反饋通道與a合并,，,G1G2G3,,,,,,,,,（G2+G4）G3,,,,,r,E,,開環(huán)傳函和特征方程為,開環(huán)傳函=（G2+G4）G3特征方程D（S）=1+ （G2+G4）G3=0 =1+開環(huán)傳函=0,本章小結(jié),一、四種數(shù)學模型微分方程、傳遞函數(shù)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖二、基本概念系統(tǒng)的物理模型、數(shù)學模型、線形化、傳遞函數(shù)、傳遞函數(shù)的零點、極點，典型環(huán)節(jié)、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖、