第12章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計

1、<p><b>　　III、綜合部分</b></p><p>　　第四章 線性多變量系統(tǒng)的綜合與設(shè)計</p><p><b>　　4.1 引言</b></p><p>　　前面我們介紹的內(nèi)容都屬于系統(tǒng)的描述與分析。系統(tǒng)的描述主要解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學(xué)模型(時域、頻域、內(nèi)部、外部描述)之間的相互轉(zhuǎn)換等；系統(tǒng)的分

2、析，則主要研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律(如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運動分析等)和定性行為(如能控性、能觀測性、穩(wěn)定性等)。而綜合與設(shè)計問題則與此相反，即在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)的基礎(chǔ)上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。一般說來，這種控制規(guī)律常取反饋形式，因為無論是在抗干擾性或魯棒性能方面，反饋閉環(huán)系統(tǒng)的性能都遠優(yōu)于非反饋或開環(huán)系統(tǒng)。在本章中，我們將以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，仍然在時域中討論線性反饋控制規(guī)律的綜

3、合與設(shè)計方法。</p><p>　　4.1.1 問題的提法</p><p>　　給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述</p><p>　　若再給定系統(tǒng)的某個期望的性能指標，它既可以是時域或頻域的某種特征量(如超調(diào)量、過渡過程時間、極、零點)，也可以是使某個性能函數(shù)取極小或極大。此時，綜合問題就是尋求一個控制作用u，使得在該控制作用下系統(tǒng)滿足所給定的期望性能指標。</p>

4、;<p>　　對于線性狀態(tài)反饋控制律</p><p>　　對于線性輸出反饋控制律</p><p>　　其中為參考輸入向量。</p><p>　　由此構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)分別為</p><p><b>　　或</b></p><p>　　閉環(huán)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣分別為</p>

5、<p><b>　　即或。</b></p><p><b>　　閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣</b></p><p>　　我們在這里將著重指出，作為綜合問題，將必須考慮三個方面的因素，即1)抗外部干擾問題；2)抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動問題，即魯棒性(Robustness)問題；3)控制規(guī)律的工程實現(xiàn)問題。</p><p>　

6、　一般說來，綜合和設(shè)計是兩個有區(qū)別的概念。綜合將在考慮工程可實現(xiàn)或可行的前提下，來確定控制規(guī)律u；而對設(shè)計，則還必須考慮許多實際問題，如控制器物理實現(xiàn)中線路的選擇、元件的選用、參數(shù)的確定等。</p><p>　　4.1.2 性能指標的類型</p><p>　　總的說來，綜合問題中的性能指標可分為非優(yōu)化型和優(yōu)化型性能指標兩種類型。兩者的差別為：非優(yōu)化型指標是一類不等式型的指標，即只要性能值達

7、到或好于期望指標就算是實現(xiàn)了綜合目標，而優(yōu)化型指標則是一類極值型指標，綜合目標是使性能指標在所有可能的控制中使其取極小或極大值。</p><p>　　對于非優(yōu)化型性能指標，可以有多種提法，常用的提法有：</p><p>　　1、以漸近穩(wěn)定作為性能指標，相應(yīng)的綜合問題稱為鎮(zhèn)定問題；</p><p>　　2、以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點作為性能指標，相應(yīng)的綜合問題稱為極點配

8、置問題。從線性定常系統(tǒng)的運動分析中可知，如時域中的超調(diào)量、過渡過程時間及頻域中的增益穩(wěn)定裕度、相位穩(wěn)定裕度，都可以被認為等價于系統(tǒng)極點的位置，因此相應(yīng)的綜合問題都可視為極點配置問題；</p><p>　　3、以使一個多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)實現(xiàn)為“一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標，相應(yīng)的綜合問題稱為解耦問題。在工業(yè)過程控制中，解耦控制有著重要的應(yīng)用；</p><p>　　4、以使系

9、統(tǒng)的輸出y(t)無靜差地跟蹤一個外部信號作為性能指標，相應(yīng)的綜合問題稱為跟蹤問題。</p><p>　　對于優(yōu)化型性能指標，則通常取為相對于狀態(tài)x和控制u的二次型積分性能指標，即</p><p>　　其中加權(quán)陣或，且能觀測。綜合的任務(wù)就是確定，使相應(yīng)的性能指標極小。通常，將這樣的控制稱為最優(yōu)控制，確切地說是線性二次型最優(yōu)控制問題，即LQ調(diào)節(jié)器問題。</p><p>

10、　　4.1.3 研究綜合問題的主要內(nèi)容</p><p><b>　　主要有兩個方面：</b></p><p>　　1、可綜合條件 可綜合條件也就是控制規(guī)律的存在性問題?？删C合條件的建立，可避免綜合過程的盲目性。</p><p>　　2、控制規(guī)律的算法問題 這是問題的關(guān)鍵。作為一個算法，評價其優(yōu)劣的主要標準是數(shù)值穩(wěn)定性，即是否出現(xiàn)截斷或舍

11、入誤差在計算積累過程中放大的問題。一般地說，如果問題不是病態(tài)的，而所采用的算法又是數(shù)值穩(wěn)定的，則所得結(jié)果通常是好的。</p><p>　　4.1.4 工程實現(xiàn)中的一些理論問題</p><p>　　在綜合問題中，不僅要研究可綜合條件和算法問題，而且要研究工程實現(xiàn)中提出的一系列理論問題。主要有：</p><p>　　1、狀態(tài)重構(gòu)問題 由于許多綜合問題都具有狀態(tài)反饋形

12、式，而狀態(tài)變量為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，通常并不能完全直接量測或采用經(jīng)濟手段進行量測，解決這一矛盾的途徑是：利用可量測輸出y 和輸入u來構(gòu)造出不能量測的狀態(tài)x，相應(yīng)的理論問題稱為狀態(tài)重構(gòu)問題，即觀測器問題和Kalman濾波問題。</p><p>　　2、魯棒性(Robustness)問題 </p><p><b>　　3、抗外部干擾問題</b></p>&l

13、t;p>　　本章的組織結(jié)構(gòu)如下。本章將首先討論極點配置問題。將討論利用極點配置方法來設(shè)計控制系統(tǒng)。這里將設(shè)計一個受制于初始條件的倒立擺系統(tǒng)，使其在規(guī)定的時間內(nèi)，返回到垂直位置；其次還將討論狀態(tài)觀測器的設(shè)計；最后研究含積分器的伺服系統(tǒng)和不含積分器的伺服系統(tǒng)。我們將設(shè)計一個倒立擺系統(tǒng)，當我們施加于小車一個階躍輸入時，仍可使該系統(tǒng)穩(wěn)定（也就是說，擺不會倒下來）。</p><p>　　本章4.1節(jié)為引言。4.2節(jié)將

14、討論控制系統(tǒng)設(shè)計的極點配置方法，給出問題提法、可配置條件及極點配置的算法。4.3節(jié)將介紹利用MATLAB求解極點配置問題，并給出用于極點配置設(shè)計的MATLAB程序。4.4 節(jié)以倒立擺為例，給出用極點配置方法設(shè)計調(diào)節(jié)器型系統(tǒng)的一個例子，并分別介紹分析解法和MATLAB解法。</p><p>　　4.5節(jié)將介紹狀態(tài)觀測器。對于全維和最小階觀測器均將進行討論，將介紹3種確定觀測器增益矩陣Ke的方法，并引入控制器-觀測器

15、概念。4.6節(jié)討論利用MATLAB設(shè)計狀態(tài)觀測器。4.7節(jié)研究伺服系統(tǒng)的設(shè)計，將討論當含有積分器和不含積分器時I型伺服系統(tǒng)的設(shè)計。4.8節(jié)介紹用MATLAB設(shè)計控制系統(tǒng)的一個例子，將用MATLAB設(shè)計倒立擺控制系統(tǒng)。通過使用MATLAB，可得到所設(shè)計系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。</p><p>　　4.2 極點配置問題</p><p>　　本節(jié)介紹極點配置方法。首先假定期望閉環(huán)極點為s =μ1

16、，s =μ2,…，s =μn。我們將證明，如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，則可通過選取一個合適的狀態(tài)反饋增益矩陣K，利用狀態(tài)反饋方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任意的期望位置。</p><p>　　這里我們僅研究控制輸入為標量的情況。將證明在s平面上將一個系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置到任意位置的充要條件是該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。我們還將討論3種確定狀態(tài)反饋增益矩陣的方法。</p><p>　　應(yīng)當注意，當控制輸入

17、為向量時，極點配置方法的數(shù)學(xué)表達式十分復(fù)雜，本書將不討論這種情況。還應(yīng)注意，當控制輸入是向量時，狀態(tài)反饋增益矩陣并非唯一。可以比較自由地選擇多于n個參數(shù)，也就是說，除了適當?shù)嘏渲胣個閉環(huán)極點外，即使閉環(huán)系統(tǒng)還有其他需求，也可滿足其部分或全部要求。</p><p>　　4.2.1 問題的提法</p><p>　　前面我們已經(jīng)指出，在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，不管是頻率法還是根軌跡法，本質(zhì)上都

18、可視為極點配置問題。</p><p>　　給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng)</p><p><b>　　(4.1)</b></p><p><b>　　式中。</b></p><p>　　選取線性反饋控制律為</p><p><b>　　(4.2)</b>

19、;</p><p>　　這意味著控制輸入由系統(tǒng)的狀態(tài)反饋確定，因此將該方法稱為狀態(tài)反饋方法。其中1×n維矩陣K稱為狀態(tài)反饋增益矩陣或線性狀態(tài)反饋矩陣。在下面的分析中，假設(shè)u不受約束。</p><p>　　圖4.1（a）給出了由式（4.1）所定義的系統(tǒng)。因為沒有將狀態(tài)x反饋到控制輸入u中，所以這是一個開環(huán)控制系統(tǒng)。圖4.1（b）給出了具有狀態(tài)反饋的系統(tǒng)。因為將狀態(tài)x反饋到了控制輸入

20、u中，所以這是一個閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)。</p><p><b>　　（缺圖，見更新版）</b></p><p>　　圖4.1 (a) 開環(huán)控制系統(tǒng) (b) 具有的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)</p><p>　　將式（4.2）代入式（4.1），得到</p><p>　　該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為</p><p&

21、gt;<b>　　(4.3)</b></p><p>　　式中x(0)是外部干擾引起的初始狀態(tài)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性將由閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A-BK的特征值決定。如果矩陣K選取適當，則可使矩陣A-BK構(gòu)成一個漸近穩(wěn)定矩陣，此時對所有的x(0)≠0，當t ∞時，都可使x(t) 0。一般稱矩陣A-BK的特征值為調(diào)節(jié)器極點。如果這些調(diào)節(jié)器極點均位于s的左半平面內(nèi)，則當t ∞時，有x(t) 0。因此我

22、們將這種使閉環(huán)系統(tǒng)的極點任意配置到所期望位置的問題，稱之為極點配置問題。</p><p>　　下面討論其可配置條件。我們將證明，當且僅當給定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時，該系統(tǒng)的任意極點配置才是可能的。</p><p>　　4.2.2 可配置條件</p><p>　　考慮由式（4.1）定義的線性定常系統(tǒng)。假設(shè)控制輸入u的幅值是無約束的。如果選取控制規(guī)律為</p>

23、;<p>　　式中K為線性狀態(tài)反饋矩陣，由此構(gòu)成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，如圖4.1（b）所示。</p><p>　　現(xiàn)在考慮極點的可配置條件，即如下的極點配置定理。</p><p>　　定理4.1 (極點配置定理) 線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點的充要條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。</p><p>　　證明：由于對多變量系統(tǒng)

24、證明時，需要使用循環(huán)矩陣及其屬性等，因此這里只給出單輸入單輸出系統(tǒng)時的證明。但我們要著重指出的是，這一定理對多變量系統(tǒng)也是完全成立的。</p><p>　　必要性。即已知閉環(huán)系統(tǒng)可任意配置極點，則被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。</p><p>　　現(xiàn)利用反證法證明。先證明如下命題：如果系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則矩陣A-BK的特征值不可能由線性狀態(tài)反饋來控制。</p><p>

25、;　　假設(shè)式（4.1）的系統(tǒng)狀態(tài)不能控，則其能控性矩陣的秩小于n，即</p><p>　　這意味著，在能控性矩陣中存在q個線性無關(guān)的列向量。現(xiàn)定義q個線性無關(guān)列向量為，選擇n-q個附加的n維向量，使得</p><p>　　的秩為n 。因此，可證明</p><p>　　這些方程的推導(dǎo)可見例4.7?，F(xiàn)定義</p><p><b>　　則

26、有</b></p><p>　　式中，是一個q維的單位矩陣，是一個n-q維的單位矩陣。</p><p>　　注意到A22的特征值不依賴于K。因此，如果一個系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則矩陣的特征值就不能任意配置。所以，為了任意配置矩陣A-BK的特征值，此時系統(tǒng)必須是狀態(tài)完全能控的。</p><p>　　充分性。即已知被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控（這意味著由式（4.5

27、）給出的矩陣Q有逆），則矩陣A的所有特征值可任意配置。</p><p>　　在證明充分條件時，一種簡便的方法是將由式（4.1）給出的狀態(tài)方程變換為能控標準形。</p><p>　　定義非奇異線性變換矩陣P為</p><p>　　P = Q W（4.4）</p><p>　　其中Q為能控性矩陣，即</p><p>

28、;<b>　　(4.5)</b></p><p><b>　　(4.6)</b></p><p>　　式中為如下特征多項式的系數(shù)。</p><p>　　定義一個新的狀態(tài)向量，</p><p>　　如果能控性矩陣Q的秩為n（即系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的），則矩陣Q的逆存在，并且可將式（4.1）改寫為<

29、/p><p><b>　　(4.7)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　(4.8)</b></p><p><b>　　(4.9)</b></p><p>　　式（4.8）和（4.9）的推導(dǎo)見

30、例4.8和例4.9。式（4.7）為能控標準形。這樣，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，且利用由式（4.4）給出的變換矩陣P，使狀態(tài)向量x變換為狀態(tài)向量，則可將式(4.1）變換為能控標準形。</p><p>　　選取一組期望的特征值為μ1，μ2，…，μn，則期望的特征方程為</p><p><b>　　(4.10)</b></p><p><b&g

31、t;　　設(shè)</b></p><p><b>　　(4.11)</b></p><p>　　由于，從而由式(4.7)，此時該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為</p><p><b>　　相應(yīng)的特征方程為</b></p><p>　　事實上，當利用作為控制輸入時，相應(yīng)的特征方程與式（4.11）的特征方程相

32、同，即非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的特征值。這可簡單說明如下。由于</p><p><b>　　該系統(tǒng)的特征方程為</b></p><p>　　對于上述能控標準形的系統(tǒng)特征方程，由式（4.8）、(4.9)和（4.11），可得</p><p><b>　　(4.12)</b></p><p>　　這是具有

33、線性狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，它一定與式（4.10）的期望特征方程相等。通過使s的同次冪系數(shù)相等，可得</p><p>　　對δi求解上述方程組，并將其代入式（4.11），可得</p><p><b>　　(4.13)</b></p><p>　　因此，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則通過對應(yīng)于式（4.13）所選取的矩陣K，可任意配置所有的特征

34、值。</p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　4.2.3 極點配置的算法</p><p>　　現(xiàn)在考慮單輸入單輸出系統(tǒng)極點配置的算法。</p><p><b>　　給定線性定常系統(tǒng)</b></p><p><b>　　若線性反饋控制律為<

35、/b></p><p>　　則可由下列步驟確定使A-BK的特征值為μ1，μ2，…,μn（即閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點值）的線性反饋矩陣K（如果μi是一個復(fù)數(shù)特征值，則其共軛必定也是A-BK的特征值）。</p><p>　　第1步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。</p><p>　　第2步：利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項式</p&g

36、t;<p><b>　　確定出的值。</b></p><p>　　第3步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標準形的變換矩陣P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標準形，那么P = I。此時無需再寫出系統(tǒng)的能控標準形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣P可由式（4.4）給出，即</p><p>　　式中Q由式（4.5）定義，W由式（4.6）定義。</p><

37、p>　　第4步：利用給定的期望閉環(huán)極點，可寫出期望的特征多項式為</p><p><b>　　并確定出的值。</b></p><p>　　第5步：此時的狀態(tài)反饋增益矩陣K為</p><p><b>　　4.2.4 注釋</b></p><p>　　注意，如果是低階系統(tǒng)（n ≤3），則將線性反饋

38、增益矩陣K直接代入期望的特征多項式，可能更為簡便。例如，若n = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為</p><p>　　進而將該矩陣K代入期望的特征多項式，使其等于，即</p><p>　　由于該特征方程的兩端均為s的多項式，故可通過使其兩端的s同次冪系數(shù)相等，來確定k1，k2，k3的值。如果n = 2或者n = 3，這種方法非常簡便（對于n =4,5,6,…，這種方法可能非常繁瑣）。&l

39、t;/p><p>　　還有其他方法可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。下面介紹著名的愛克曼公式，可用來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　4.2.5 愛克曼公式(Ackermann’s Formula)</p><p>　　考慮由式（4.1）給出的系統(tǒng)，重寫為</p><p>　　假設(shè)該被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，又設(shè)期望閉環(huán)極點為。</p&

40、gt;<p>　　利用線性狀態(tài)反饋控制律</p><p>　　將系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫為</p><p><b>　　(4.14)</b></p><p><b>　　定義</b></p><p>　　則所期望的特征方程為：</p><p>　　由于凱萊-哈密爾頓定理

41、指出應(yīng)滿足其自身的特征方程，所以</p><p><b>　　(4.15）</b></p><p>　　我們用式（4.15）來推導(dǎo)愛克曼公式。為簡化推導(dǎo)，考慮n = 3的情況。對任意正整數(shù)，下面的推導(dǎo)可方便地加以推廣。</p><p><b>　　考慮下列恒等式</b></p><p>　　將上述方

42、程分別乘以，并相加，則可得</p><p><b>　?。?.16）</b></p><p>　　參照式（4.15）可得</p><p><b>　　也可得到</b></p><p>　　將上述最后兩式代入式（4.16），可得</p><p><b>　　由于，故&

43、lt;/b></p><p><b>　?。?.17）</b></p><p>　　由于系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，所以能控性矩陣</p><p>　　的逆存在。在式（4.17）的兩端均左乘能控性矩陣Q的逆，可得</p><p>　　上式兩端左乘[0 0 1]，可得</p><p><b&g

44、t;　　重寫為</b></p><p>　　從而給出了所需的狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　對任一正整數(shù)n，有(4.18)</p><p>　　式（4.18）稱為用于確定狀態(tài)反饋增益矩陣K的愛克曼方程。</p><p>　　--------------------------------------------

45、----------------------------------</p><p>　　[例4.1] 考慮如下線性定常系統(tǒng)</p><p><b>　　式中</b></p><p>　　利用狀態(tài)反饋控制，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點為s = -2±j4和s = -10。試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　

46、　首先需檢驗該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：</p><p>　　所以得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點。</p><p>　　下面，我們來求解這個問題，并用本章介紹的3種方法中的每一種求解。</p><p>　　方法1：第一種方法是利用式（4.13）。該系統(tǒng)的特征方程為：</p><

47、;p><b>　　因此</b></p><p><b>　　期望的特征方程為</b></p><p><b>　　因此</b></p><p>　　參照式（4.13），可得</p><p>　　方法2：設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為</p><p>　

48、　并使和期望的特征多項式相等，可得</p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　從中可得</b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　方法3：第三種方法是利用愛克曼公式。參見式（4.18），可得</p><p

49、><b>　　由于</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　可得</b></p><p>　　顯然，這3種方法所得到的反饋增益矩陣K是相同的。使用狀態(tài)反饋方法，正如所期望的那樣，可將閉環(huán)極點配置在s = -2±j4和s = -10處。</p&g

50、t;<p>　　------------------------------------------------------------------------------</p><p>　　應(yīng)當注意，如果系統(tǒng)的階次n等于或大于4，則推薦使用方法1和3，因為所有的矩陣計算都可由計算機實現(xiàn)。如果使用方法2，由于計算機不能處理含有未知參數(shù)的特征方程，因此必須進行手工計算。</p><

51、;p><b>　　4.2.6 注釋</b></p><p>　　對于一個給定的系統(tǒng)，矩陣K不是唯一的，而是依賴于選擇期望閉環(huán)極點的位置（這決定了響應(yīng)速度與阻尼），這一點很重要。注意，所期望的閉環(huán)極點或所期望狀態(tài)方程的選擇是在誤差向量的快速性和干擾以及測量噪聲的靈敏性之間的一種折衷。也就是說，如果加快誤差響應(yīng)速度，則干擾和測量噪聲的影響通常也隨之增大。如果系統(tǒng)是2階的，那么系統(tǒng)的動態(tài)特性

52、（響應(yīng)特性）正好與系統(tǒng)期望的閉環(huán)極點和零點的位置聯(lián)系起來。對于更高階的系統(tǒng)，。所期望的閉環(huán)極點位置不能和系統(tǒng)的動態(tài)特性（響應(yīng)特性）聯(lián)系起來。因此，在決定給定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K時，最好通過計算機仿真來檢驗系統(tǒng)在幾種不同矩陣（基于幾種不同的所期望的特征方程）下的響應(yīng)特性，并且選出使系統(tǒng)總體性能最好的矩陣K。</p><p>　　4.3 利用MATLAB求解極點配置問題</p><p>　

53、　用MATLAB易于解極點配置問題?，F(xiàn)在我們來解在例4.1中討論的同樣問題。系統(tǒng)方程為</p><p><b>　　式中，</b></p><p>　　采用狀態(tài)反饋控制，希望系統(tǒng)的閉環(huán)極點為s =μi(i=1,2,3)，其中</p><p>　　現(xiàn)求所需的狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　如果在設(shè)計狀態(tài)反饋控制矩

54、陣K時采用變換矩陣P，則必須求特征方程|sI-A|=0的系數(shù)、、和。這可通過給計算機輸入語句</p><p>　　P = poly(A)</p><p>　　來實現(xiàn)。在計算機屏幕上將顯示如下一組系數(shù)：</p><p><b>　　則。</b></p><p>　　為了得到變換矩陣P，首先將矩陣Q和W輸入計算機，其中<

55、;/p><p>　　然后可以很容易地采用MATLAB完成Q和W相乘。</p><p>　　其次，再求期望的特征方程?？啥x矩陣J，使得</p><p>　　從而可利用如下poly(J)命令來完成，即</p><p><b>　　因此，有</b></p><p><b>　　即對于，可采用。&

56、lt;/b></p><p>　　故狀態(tài)反饋增益矩陣K可由下式確定：</p><p><b>　　或</b></p><p>　　采用變換矩陣P求解該例題的MATLAB程序如MATLAB Program 4.1所示。</p><p>　　如果采用愛克曼公式來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，必須首先計算矩陣特征方程φ(A)。

57、 </p><p><b>　　對于該系統(tǒng)</b></p><p>　　在MATLAB中，利用Polyvalm可計算矩陣多項式φ(A)。對于給定的矩陣J，如前所示，poly(J)可計算特征多項式的系數(shù)。對于</p><p>　　利用MATLAB命令Polyvalm(Poly(J), A)，可計算下列φ(A)，即</p><p

58、><b>　　實際上，</b></p><p>　　利用愛克曼公式，MATLAB Program 4.2將求出狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　4.4 利用極點配置法設(shè)計調(diào)節(jié)器型系統(tǒng)</p><p>　　考慮如圖4.2所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運動的二維問題。 </p>

59、<p><b>　?。ㄈ眻D，見更新版）</b></p><p>　　圖4.2 倒立擺系統(tǒng)</p><p>　　希望在有干擾（如作用于質(zhì)量m上的陣風(fēng)施加于小車的這類外力）時，保持擺垂直。當以合適的控制力施加于小車時，可將該傾斜的擺返回到垂直位置，且在每一控制過程結(jié)束時，小車都將返回到參考位置x = 0。</p><p>　　設(shè)計一個控

60、制系統(tǒng)，使得當給定任意初始條件（由于擾引起）時，用合理的阻尼（如對主導(dǎo)閉環(huán)極點有ζ=0.5），可快速地（如調(diào)整時間約為2秒）使擺返回至垂直位置，并使小車返回至參考位置（x = 0）。假設(shè)M、m和l的值為</p><p>　　M = 2千克， m = 0.1千克， l = 0.5米</p><p>　　進一步設(shè)擺的質(zhì)量集中在桿的頂端，且桿是無質(zhì)量的。</p><p

61、>　　對于給定的角度θ和（/或）角速度的初始條件，設(shè)計一個使倒立擺保持在垂直位置的控制系統(tǒng)。此外，還要求控制系統(tǒng)在每一控制過程結(jié)束時，小車返回到參考位置。該系統(tǒng)何初始條件的干擾有效地做出響應(yīng)（所期望的角θd總為零，并且所期望的小車的位置總在參考位置上。因此，該系統(tǒng)是一個調(diào)節(jié)器系統(tǒng)）。</p><p>　　這里，我們采用極點配置的狀態(tài)反饋控制方法來設(shè)計控制器。如前所述，對任意極點配置的充要條件為系統(tǒng)狀態(tài)完全能

62、控。</p><p>　　設(shè)計的第一步是推導(dǎo)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　4.4.1 數(shù)學(xué)建模</p><p>　　參見3.6節(jié)，我們已推導(dǎo)了如圖3-16 (a)所示的倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。當角度θ不大時，描述系統(tǒng)動態(tài)特性的方程為式（3.55）和（3.56）。將其重寫如下為</p><p>　　式中，I是擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量

63、。由于該系統(tǒng)的質(zhì)量集中在桿的頂端，所以重心就是擺球的中心。在分析中，假設(shè)擺圍繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量為零，即I = 0。那么，其數(shù)學(xué)模型為</p><p><b>　　(4.19)</b></p><p><b>　　(4.20)</b></p><p>　　式（4.19）和(4.20)定義了如圖4.2所示的倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

64、（只要θ不大，線性化方程就是有效的）。</p><p>　　式（4.19）和（4.20）可改寫為</p><p><b>　　(4.21)</b></p><p><b>　　(4.22)</b></p><p>　　式（4.21）可由式（4.19）和(4.20)消去得到。 式（4.22）可由式（4

65、.19）和（4.20）消去得到。從式（4.21）可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為</p><p>　　代入給定的數(shù)值，且注意到g = 9.81米/秒2，可得</p><p>　　顯然，該倒立擺系統(tǒng)在負實軸上有一個極點（s = -4.539），另一個極點在正實軸上（s = 4.539），因此，該系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定的。</p><p><b>　　定義狀態(tài)變量為</b

66、></p><p>　　注意，θ表示擺桿圍繞點P的旋轉(zhuǎn)角，x表示小車的位置，將θ和x作為系統(tǒng)的輸出，即</p><p>　　又由于θ和x均是易于量測的量。由狀態(tài)變量的定義和式（4.21）和（4.22），可得</p><p>　　以向量-矩陣方程的形式表示，可得</p><p><b>　　(4.23)</b><

67、;/p><p><b>　　(4.24)</b></p><p>　　式（4.23）和（4.24）給出了該倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（注意，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式不是唯一的，存在無窮多個這樣的表達式）。</p><p>　　代入給定的M、m和l的值，可得</p><p>　　于是，式（4.23）和（4.24）可重寫為：<

68、;/p><p><b>　　式中</b></p><p>　　采用下列線性狀態(tài)反饋控制方案</p><p>　　為此首先檢驗該系統(tǒng)是否狀態(tài)完全能控。由于</p><p>　　的秩為4，所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。</p><p><b>　　系統(tǒng)的特征方程為</b></p&g

69、t;<p><b>　　因此</b></p><p>　　其次，選擇期望的閉環(huán)極點位置。由于要求系統(tǒng)具有相當短的調(diào)整時間（約2秒）和合適的阻尼（在標準的二階系統(tǒng)中等價于ξ= 0.5），所以我們選擇期望的閉環(huán)極點為(i =1,2,3,4），其中</p><p>　　在這種情況下，μ1，和μ2是一對具有ξ= 0.5和ωn = 4的主導(dǎo)閉環(huán)極點。剩余的兩個極點

70、μ3和μ4位于遠離主導(dǎo)閉環(huán)極點對的左邊。因此，μ3和μ4響應(yīng)的影響很小。所以，可滿足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程為</p><p><b>　　因此</b></p><p>　　現(xiàn)采用式（4.13）來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，即</p><p>　　式中P由式（4.4）得到，即</p><p>　　這里Q和W分別由式

71、（4.5）和(4.6)得出。于是</p><p><b>　　變換矩陣P成為</b></p><p><b>　　因此</b></p><p>　　故狀態(tài)反饋增益矩陣K為</p><p><b>　　反饋控制輸入為</b></p><p>　　注意，這是

72、一個調(diào)節(jié)器系統(tǒng)。期望的角θd總為零，且期望的小車的位置也總為零。因此，參考輸入為零（將在4.6節(jié)考慮有參考輸入時，對應(yīng)的小車的運動問題）。圖4.3為用于倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制結(jié)構(gòu)圖（因為該系統(tǒng)中的參考輸入總為零，所以在圖中沒有畫出）。</p><p><b>　?。ㄈ眻D，見更新版）</b></p><p>　　圖4.3 具有線性狀態(tài)反饋控制的倒立擺系統(tǒng)</p

73、><p>　　4.4.2 利用MATLAB確定狀態(tài)反饋增益矩陣K</p><p>　　MATLAB Program 4.3是一種能求出所需狀態(tài)反饋增益矩陣K的MATLAB程序。</p><p>　　4.4.3 所得系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)</p><p>　　當狀態(tài)反饋增益矩陣確定后，系統(tǒng)的性能就可由計算機仿真來檢驗。為了求得對任意初始條件的響應(yīng)，可

74、按下列步驟進行：</p><p>　　系統(tǒng)的基本方程為狀態(tài)方程</p><p><b>　　和線性反饋控制律</b></p><p>　　將上述控制輸入代入狀態(tài)方程，可得</p><p>　　將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式，即</p><p><b>　　(4.25)</b></p

75、><p>　　下面我們用MATLAB來求所設(shè)計的系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。</p><p>　　系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式（4.25）。假設(shè)初始條件為</p><p><b>　　(4.26)</b></p><p>　　將式（4.25）重寫為</p><p><b>　　式中</b><

76、;/p><p>　　將初始條件向量定義為，即</p><p>　　則系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)可通過求解下列方程得到（對初始條件的響應(yīng)可參見4.4節(jié)），即</p><p><b>　　式中</b></p><p>　　MATLAB Program 4.4 將求出由式（4.25）定義的系統(tǒng)對由式（4.26）指定的初始條件的響應(yīng)。注意

77、，在給出的MATLAB程序中，使用下了列符號：</p><p>　　圖4.4畫出了用MATLAB Program 4.4求得的響應(yīng)曲線。這些曲線表明，當給定倒立擺系統(tǒng)的初始條件θ(0) = 0.1孤度，，x (0) = 0和時，它是如何返回到參考位置（θ= 0，x = 0）的。不難看出，這些響應(yīng)曲線是令人滿意的（這里，我們用subplot命令同時畫出幾個獨立的曲線 ，并將它們畫在同一張紙上）。</p>

78、<p>　　注意，該響應(yīng)曲線依賴于所期望的特征方程（即所期望的閉環(huán)極點），這一點非常重要。對不同的期望特征方程，響應(yīng)曲線（對相同的初始條件）是不同的。</p><p>　　較快的響應(yīng)通常要求較大的控制信號。在設(shè)計這樣的控制系統(tǒng)時，最好檢驗幾組不同的期望閉環(huán)極點，并確定相應(yīng)的矩陣K。在完成系統(tǒng)的計算機仿真并檢驗了響應(yīng)曲線后，選擇系統(tǒng)總體性能最好的矩陣K。系統(tǒng)總體性能最好的標準取決于具體情況，包括應(yīng)考慮

79、的經(jīng)濟因素。</p><p><b>　?。ㄈ眻D，見更新版）</b></p><p>　　圖4.4 倒立擺系統(tǒng)在初始條件作用下的響應(yīng)</p><p><b>　　習(xí)題</b></p><p>　　4.1 給定線性定常系統(tǒng)</p><p><b>　　式中<

80、/b></p><p>　　試將該狀態(tài)方程化為能控標準形和能觀測標準形。</p><p>　　4.2 給定線性定常系統(tǒng)</p><p><b>　　式中</b></p><p>　　試將該狀態(tài)方程化為能觀測標準形。</p><p>　　4.3 給定線性定常系統(tǒng)</p>&l

81、t;p><b>　　式中</b></p><p>　　采用狀態(tài)反饋控制律，要求該系統(tǒng)的閉環(huán)極點為s = -2±j4，s = -10。試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　4.4 試用MATLAB求解習(xí)題4.3。</p><p>　　4.5 給定線性定常系統(tǒng)</p><p>　　試證明無論選擇

82、什么樣的矩陣K，該系統(tǒng)均不能通過狀態(tài)反饋控制來穩(wěn)定。</p><p>　　4.6 調(diào)節(jié)器系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為</p><p><b>　　定義狀態(tài)變量為</b></p><p>　　利用狀態(tài)反饋控制律，要求閉環(huán)極點為 (i=1,2,3)，其中</p><p>　　試確定必需的狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p>