第二章數(shù)學(xué)模型與定解問題

1、第二章數(shù)學(xué)模型與定解問題2.1典型方程三類基本的二階偏微分方程是:(1)波動(dòng)方程0)(2????zzyyxxttuuuau(2)熱傳導(dǎo)方程0)(????zzyyxxtuuuku(3)拉普拉斯方程0???zzyyxxuuu許多數(shù)學(xué)物理問題都可歸結(jié)為解偏微分方程的問題特別是可歸結(jié)為解上面所列舉的三個(gè)偏微分方程的問題.我們將開始研究這些方程首先仔細(xì)考察表示這些物理問題的數(shù)學(xué)模型.2.2弦的振動(dòng)在數(shù)學(xué)物理中最重要的問題之一是拉緊的弦的振動(dòng)問題.

2、由于它較簡單且經(jīng)常出現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)物理的分支中所以在偏微分方程理論中把它作為一個(gè)典型的例子.讓我們考察一長為的兩端固定的拉緊的弦.我們的問題是要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程用它來描l述在給定初始擾動(dòng)后任一時(shí)刻t的弦的位移u(xt).為了能.得出一個(gè)較簡單的方程我們作下面的一些假設(shè):(1)弦是柔軟與有彈性的即它不能抵抗彎矩因此在任何時(shí)刻弦的張力總是沿著弦的切線方向(2)弦的每一段都不伸長因此根據(jù)胡克(Hooke)定律張力是常數(shù)(3)弦的重量與其張力相比

3、很小(4)弦的偏移與其長度相比很小(5)位移后的弦在任一點(diǎn)上的斜率與1相比很小(6)弦只有橫振動(dòng).我們考察弦上一微小元素.設(shè)T是如圖2.1所示的兩端點(diǎn)上的張力.作用在弦的這一微小元素上的垂直方向的力是:??sinsinTT?圖（Figure）2.1(4)膜的偏移與膜的最小直徑相比很小(5)位移后的膜在任一點(diǎn)上的斜率與1相比很小(6)膜只有橫振動(dòng).我們考察膜的一塊微小元素.因?yàn)槠坪托甭识己苄∵@塊元素的面積近似地等于.如果yx??T是每單

4、位長度上的張力則作用在這塊元素各邊上的力是和(見圖2.2).xT?yT?圖（Figure）2.2作用在膜的這塊元素上的垂直方向的力是????sinsinsinsinyTyTxTxT???????因?yàn)樾甭屎苄∷陨鲜鲞@些角的正弦都分別近似地等于它們的正切.于是合力變?yōu)?sin(sin)sin(sin?????????yTxT根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律合力等于質(zhì)量乘以加速度.因此(2:3.1)ttAuyTxT????????????)sin(si