2015北大自主招生數(shù)學(xué)試題

1、2015北大自主招生數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)共5頁(yè)一.選擇題選擇題1.整數(shù)xyz滿足xyyzzx=1，則(1)(1)(1)可能取到的值為（）2x2y2zA16900B17900C18900D前三個(gè)答案都不對(duì)2.在不超過99的正整數(shù)中選出50個(gè)不同的正整數(shù)，已知這50個(gè)數(shù)中任兩個(gè)的和都不等于99，也不等于100這50個(gè)數(shù)的和可能等于（）A3524B3624C3724D前三個(gè)答案都不對(duì)3.已知x∈[0]，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)y=?2acosx1的最小值

2、記為g(a)，則當(dāng)a取遍所有實(shí)數(shù)2?2cosx時(shí)，g(a)的最大值為（）A1B2C3D前三個(gè)答案都不對(duì)4.已知?是的整數(shù)倍，則正整數(shù)n的最大值為（）20102022nA21B22C23D前三個(gè)答案都不對(duì)5.在凸四邊形ABCD中，BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四邊形ABCD的面積等于，則CD的長(zhǎng)（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）為（）2ABCDBCAD???A6.9B7.1C7.3D前三個(gè)答案都不對(duì)二.填空題填空題6.滿足等式的整數(shù)x

3、的個(gè)數(shù)是_______12015111)(1)2015xx???（7.已知abcd∈[24]，則的最大值與最小值的和為___________22222()()()abcdadbc???8.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈[15]|pxq|≤2不超過的最大整數(shù)是__________2x22pq?9.設(shè)x=y=z=且xyz=1，則的值為___2222bcabc??2222acbac??2222bacba??201520152015xyz??10.設(shè)都是9元

4、集合123…9的子集，已知||為奇數(shù)，1≤i≤n||為偶數(shù)，1≤i≠j12...nAAAiAijAA?≤n，則n的最大值為____________三解答題11.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且=5求的最小值na3412aaaa???56aa?12.已知f(x)為二次函數(shù)，且af(a)f(f(a))f(f(f(a)))成正項(xiàng)等比數(shù)列，求證：f(a)=a13.稱四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的正方形為此三角形的內(nèi)接正方形。若銳角△ABC的三邊滿足abc，

5、求證：這個(gè)三角形內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)的最小值為sinsinacBacB?14.從O出發(fā)的兩條射線，已知直線交于A、B兩點(diǎn)，且=c(c為定值)記AB的中點(diǎn)為12lll12llAOBS?X，求證：X的軌跡為雙曲線15.已知(i=123…10)滿足：=30，0則=()=na12aa?251q?56aa?12aa?4q4251qq?210qt???設(shè)=5(t2)≥5(2)=20，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)t=t=1q=故的最小值25(1)tt?1t12tt??