中考二次函數(shù)壓軸題解題通法(2018.4)

1、第1頁共27頁中考二次函數(shù)壓軸題中考二次函數(shù)壓軸題———解題通法研究解題通法研究幾個自定義概念：1三角形基本模型：有一邊在X軸或Y上，或有一邊平行于X軸或Y軸的三角形稱為三角形基本模型。2動點（或不確定點）坐標(biāo)“一母示”：借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象的解析式，用一個字母把該點坐標(biāo)表示出來，簡稱“設(shè)橫表縱”。如：動點P在y=2x1上，就可設(shè)P（t2t1）.若動點Ｐ在ｙ＝，則可設(shè)為Ｐ（ｔ，）當(dāng)然若動點M在X軸上，則設(shè)為（t0）.若動點2

2、321xx??2321tt??M在Ｙ軸上，設(shè)為（０，ｔ）3動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運(yùn)動變化的?；蛑辽儆幸粋€頂點是運(yùn)動，變化的三角形稱為動三角形。4動線段：其長度是運(yùn)動，變化，不確定的線段稱為動線段。5定三角形：三邊的長度固定，或三個頂點固定的三角形稱為定三角形。6定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：ｙ＝３ｘ－６。7X標(biāo)，Y標(biāo)：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標(biāo)稱為x標(biāo)，縱坐標(biāo)稱為y標(biāo)。8直

3、接動點：相關(guān)平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動點稱為直接動點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標(biāo)“一母示”是針對直接動點坐標(biāo)而言的。1.求證“兩線段相等”的問題：求證“兩線段相等”的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動點坐標(biāo)用一個字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離，還是“點軸距離”，還是“點線距離”，再運(yùn)用兩點之間的距離公式或點到x軸（y軸）的距離公式或點到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，

4、分別把它們進(jìn)行化簡，即可證得兩線段相等。２、２、“平行于“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：軸的動線段長度的最大值”的問題：由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標(biāo)相等（常設(shè)為t），借助于兩個端點所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運(yùn)用平行于y軸的線段長度計算公式，把動線段的長度就表示成為一個自變量為t，且開口向下的二次函數(shù)解析yy下上式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動線段

5、長度的最大值及端點坐標(biāo)。3、求一個已知點關(guān)于一條已知直線的對稱點的坐標(biāo)問題：求一個已知點關(guān)于一條已知直線的對稱點的坐標(biāo)問題：先用點斜式（或稱K點法）求出過已知點，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點坐標(biāo)，最后用中點坐標(biāo)公式即可。4、“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題：“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題：（方法1）先求出定直線的斜率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式（注

6、意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率（k）相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關(guān)于x的的一元二次方程，由題有△=4ac=0（因為該直2b線與拋物線相切，只有一個交點，所以4ac=0）從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式2b與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點坐標(biāo)，然后再利用點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。第3頁共27頁，轉(zhuǎn)化為一個開口向下

7、的二次函數(shù)問題來求出最大1()x2Syy??動三角形上（動）下（動）右（定）左（定）（x）值。2“三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動”的問題）：先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設(shè)出動點在x軸或y軸上的點的坐標(biāo)，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為圖中最大的那一

8、個三角形）。利用相似三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比）可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問題也就輕松解決了。9.9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大的問題”：“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大的問題”：由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形（連結(jié)兩個定點，即可得到一個定三角形

9、）的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標(biāo)求法與7相同。1010、“定四邊形面積的求解”問題：“定四邊形面積的求解”問題：有兩種常見解決的方案：方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和；方案（二）：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點，向x軸（或y軸）作垂線，或者把該點與原點連結(jié)起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個基本模

10、型的三角形面積的和（差）11.11.“兩個三角形相似”的問題：“兩個三角形相似”的問題：兩個定三角形是否相似：（1）已知有一個角相等的情形：運(yùn)用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相似否則不相似。（2）不知道是否有一個角相等的情形：運(yùn)用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相似否則不相似。一個定三角形和動三角形相似：（1）已知有一個角相等的情形：先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把動點

11、坐標(biāo)表示出來（一母示），然后把兩個目標(biāo)三角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別計算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應(yīng)成比例（要注意是否有兩種情況），列出方程，解此方程即可求出動點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點。（2）不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂點坐標(biāo)求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角

12、尋找一個直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點坐標(biāo)“一母示”后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助于特殊角，為動點尋找一個直角三角形，求出動點坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動點坐標(biāo)符合題意，否則這樣的點不存在。簡稱“找特角，求（動）點標(biāo)，再驗證”。或稱為“一找角，二求標(biāo)，三驗證”。１2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點

13、，使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形”的問題：“某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形”的問題：首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。（若某邊底，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況）。先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標(biāo)（一母示），按分類的情況，分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點的橫坐標(biāo)，再借助動點所在圖象的