中考二次函數(shù)壓軸題解題通法(重點(diǎn)中學(xué)整理)

1、第1頁共38頁中考二次函數(shù)壓軸題中考二次函數(shù)壓軸題———解題通法研究解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時(shí)在省級(jí)，國家級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識(shí)都與函數(shù)知識(shí)或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

2、所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過近６年的研究，思考和演算了上1000道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。幾個(gè)自定義概念：1三角形基本模型：有一邊在X軸或Y上，或有一邊平行于X軸或Y軸的三角形稱為三角形基本模型。2動(dòng)點(diǎn)（或不確定點(diǎn)）坐標(biāo)“一母示”：借助于動(dòng)點(diǎn)或不確定點(diǎn)所在函數(shù)圖象的解析式，用一個(gè)字母把該點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，簡(jiǎn)稱“設(shè)橫表縱”。如：動(dòng)點(diǎn)P在y=2x1上，就可設(shè)P（t2t1）

3、.若動(dòng)點(diǎn)Ｐ在ｙ＝，則可設(shè)為Ｐ（ｔ，）當(dāng)然2321xx??2321tt??若動(dòng)點(diǎn)M在X軸上，則設(shè)為（t0）.若動(dòng)點(diǎn)M在Ｙ軸上，設(shè)為（０，ｔ）3動(dòng)三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運(yùn)動(dòng)變化的?；蛑辽儆幸粋€(gè)頂點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)，變化的三角形稱為動(dòng)三角形。4動(dòng)線段：其長度是運(yùn)動(dòng)，變化，不確定的線段稱為動(dòng)線段。5定三角形：三邊的長度固定，或三個(gè)頂點(diǎn)固定的三角形稱為定三角形。6定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：ｙ＝３ｘ－６。7X

4、標(biāo)，Y標(biāo)：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標(biāo)稱為x標(biāo)，縱坐標(biāo)稱為y標(biāo)。8直接動(dòng)點(diǎn)：相關(guān)平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動(dòng)點(diǎn)稱為直接動(dòng)點(diǎn)，與之共線的問題中的點(diǎn)叫間接動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”是針對(duì)直接動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)而言的。1.求證“兩線段相等”的問題：求證“兩線段相等”的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點(diǎn)點(diǎn)”距離，還是“點(diǎn)軸距離”，還是“點(diǎn)線距離”，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公

5、式或點(diǎn)到x軸（y軸）的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可證得兩線段相等。２、２、“平行于“平行于y軸的動(dòng)線段長度的最大值”的問題：軸的動(dòng)線段長度的最大值”的問題：由于平行于y軸的線段上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等（常設(shè)為t），借助于兩個(gè)端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個(gè)端點(diǎn)第3頁共38頁6.6.“在定直線（常為拋物線的對(duì)稱軸，或“在定直線（常為拋

6、物線的對(duì)稱軸，或x軸或軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一軸或其它的定直線）上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題：點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題：先求出兩個(gè)定點(diǎn)中的任一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把該對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)定點(diǎn)連結(jié)得到一條線段，該線段的長度〈應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點(diǎn)就是符合距離之和最小的點(diǎn)，其坐標(biāo)很易求出（利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法）。7.三角形周長的“最

7、值三角形周長的“最值(最大值或最小值最大值或最小值)”問題：”問題：1“在定直線上是否存在一點(diǎn)，使之和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長最小”的問題（簡(jiǎn)稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問題）：由于有兩個(gè)定點(diǎn)，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算），只需另兩邊的和最小即可。2“在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的垂線，與y軸的平行線和定直線，這三線構(gòu)成的動(dòng)直角三角形的周長最大”的問題（簡(jiǎn)稱“三邊均動(dòng)的問題）：在圖中尋找一個(gè)和動(dòng)直角三角形相似的

8、定直角三角形，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，運(yùn)用，把動(dòng)三角形的周長轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的拋物線來破解。=CCAAAA動(dòng)動(dòng)定定斜邊斜邊8.8.三角形面積的最大值問題：三角形面積的最大值問題：1“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題（簡(jiǎn)稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問題”）：(方法1)先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面３的方法，求出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式12底高。即可求出該三

9、角形面積的最大值，同時(shí)在求解過程中，切點(diǎn)即為符合題意要求的點(diǎn)。（方法2）過動(dòng)點(diǎn)向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點(diǎn)，從而把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，進(jìn)一步可得到，轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)1()x2Syy??動(dòng)三角形上（動(dòng)）下（動(dòng)）右（定）左（定）（x）問題來求出最大值。2“三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形面積最大”的問題（簡(jiǎn)稱“三邊均動(dòng)”的問題）：先把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的

10、三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)在x軸或y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個(gè)三角形與圖中另一個(gè)三角形相似（常為圖中最大的那一個(gè)三角形）。利用相似三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比）可表示出分割后的一個(gè)三角形的高。從而可以表示出動(dòng)三角形的面積的一個(gè)開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問題也就輕松解決了。9.9.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三