中考二次函數(shù)壓軸題解題通法(重點中學整理)

1、中考二次函數(shù)壓軸題 中考二次函數(shù)壓軸題———解題通法研究 解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學競賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學生在有限的時間內都不能很好完成。由于在高中和大學中很多數(shù)學知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關，學生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學得好否，直接關系到未來數(shù)學的學習。所以二次函

2、數(shù)綜合題自然就成了相關出題老師和專家的必選內容。我通過近６年的研究，思考和演算了上 1000 道二次函數(shù)大題，總結出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。幾個自定義概念：1 三角形基本模型：有一邊在 X 軸或 Y 上，或有一邊平行于 X 軸或 Y 軸的三角形稱為三角形基本模型。2 動點（或不確定點）坐標“一母示”：借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象的解析式，用一個字母把該點坐標表示出來，簡稱“設橫表縱” 。如：動點 P 在 y=2x+1

3、 上， 就可設 P（t, 2t+1）.若動點Ｐ在ｙ＝ ，則可設為Ｐ（ｔ， ）當然 2 3 2 1 x x ? ? 2 3 2 1 t t ? ?若動點 M 在 X 軸上，則設為（t, 0）.若動點 M 在Ｙ軸上，設為（０，ｔ） ．3 動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運動變化的。或至少有一個頂點是運動，變化的三角形稱為動三角形。4 動線段：其長度是運動，變化，不確定的線段稱為動線段。5 定三角形：三邊的長度固定，或三個

4、頂點固定的三角形稱為定三角形。6 定直線：其函數(shù)關系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：ｙ＝３ｘ－６。 7 X 標，Y 標：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標稱為 x 標，縱坐標稱為 y 標。 8 直接動點：相關平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動點稱為直接動點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標“一母示”是針對直接動點坐標而言的。1.求證“兩線段相等”的問題： 求證“兩線段

5、相等”的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動點坐標用一個字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離，還是“點軸距離” ，還是“點線距離” ，再運用兩點之間的距離公式或點到 x 軸（y 軸）的距離公式或點到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進行化簡，即可證得兩線段相等。２、 ２、 “平行于 “平行于 y 軸的動線段長度的最大值”的問題： 軸的動線段長度的最大值”的問題：由于平行于 y 軸的線段上各個點的橫

6、坐標相等（常設為 t） ，借助于兩個端點所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母 t 的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點6. 6.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或 “在定直線（常為拋物線的對稱軸，或 x 軸或 軸或 y 軸或其它的定直線）上是否存在一 軸或其它的定直線）上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題： 點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱

7、點和另一個定點連結得到一條線段，該線段的長度〈應用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點，其坐標很易求出（利用求交點坐標的方法） 。7.三角形周長的“最值 三角形周長的“最值(最大值或最小值 最大值或最小值)”問題： ”問題：1 “在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構成的三角形周長最小”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題）：由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩

8、點間距離公式計算） ，只需另兩邊的和最小即可。2 “在拋物線上是否存在一點，使之到定直線的垂線，與 y 軸的平行線和定直線，這三線構成的動直角三角形的周長最大”的問題（簡稱“三邊均動的問題）：在圖中尋找一個和動直角三角形相似的定直角三角形，在動點坐標一母示后，運用 ，把動三角形的周長轉化為一個開口向下的拋物線來破解。 = CC A AA A動動定定斜邊斜邊8. 8.三角形面積的最大值問題： 三角形面積的最大值問題：1 “拋物線上是否存在

9、一點，使之和一條定線段構成的三角形面積最大”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題” ）：(方法 1)先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面３的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式 12底·高。即可求出該三角形面積的最大值，同時在求解過程中，切點即為符合題意要求的點。（方法 2）過動點向 y 軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點，從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點

10、坐標一母示后，進一步可得到，轉化為一個開口向下的二次函數(shù)1 ( - ) -x2S y y ? ? 動三角形上（動）下（動）右（定）左（定） （x ）問題來求出最大值。2 “三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動”的問題）：先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在 x 軸或 y 軸上的三角形，或者有一邊平行于 x 軸或 y 軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設出動點在 x 軸或 y 軸上的點的坐標，而此類題型

11、，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為圖中最大的那一個三角形） 。利用相似三角形的性質（對應邊的比等于對應高的比）可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關系式，相應問題也就輕松解決了。9. 9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構成的四邊形面積最大的問 “一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構成的四邊形面積最大的問題”： 題”：由