[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章

1、第四章 隨機變量的數(shù)字特征,隨機變量的分布是對隨機變量的一種完整的描述，知道隨機變量的分布就全都知道隨機變量的所有特征。然后隨機變量的概率分布往往不容易求得的。 隨機變量的這些統(tǒng)計特征通常用數(shù)字表示的。這些用來描述隨機變量統(tǒng)計性的數(shù)字稱為隨機變量的數(shù)字特征。其中最重要的是數(shù)學期望（均值）和方差二種。 §4.1 數(shù)學期望與方差

2、一.數(shù)學期望,隨機變量x及它所取的數(shù)和相應頻率的乘積和,稱為x的平均數(shù)(屬于加權平均)也稱為隨機變量的數(shù)學期望或均值. (一)離散型隨機變量的數(shù)學期望定義1 離散型隨機變量X 有概率函數(shù) P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)若級數(shù) 絕對收斂,則稱這個級數(shù)為X 的數(shù)學期望,=,例1 甲在機床上生產(chǎn)某產(chǎn)品,若一等品能賺5元,二等品賺3元,次品虧2元.甲生產(chǎn)時

3、一等品、二等品及次品的概率為0.6,0.3,0.1.問生產(chǎn)每件產(chǎn)品平均能創(chuàng)造多少財富?分析: x -2 3 5 p 0.1 0.3 0.6,數(shù)學期望為3.7元.表示生產(chǎn)一件產(chǎn)品能創(chuàng)造3.7元,(二)連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 定義 設連續(xù)型隨機變量 有概率密度,若,絕對收斂,則

4、 稱為 的 數(shù)學期望,,隨機變量X的數(shù)學期望是隨機變量的平均數(shù).它是將隨機變量 x及它所取的數(shù)和相應頻率的乘積和.,=,(1),,例2 計算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機變量 的數(shù)學期望,可見均勻分布的數(shù)學期望為區(qū)間的中值.,2.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望定理1 設Y是隨機變量X的函數(shù),Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)

5、)(1)若X是離散型隨機變量,它的分布律為P{X=xk}=pk. K=1,2,..若,(2)若X是連續(xù)型隨機變量,它的概率密度為f(x).,定理1表示:求E(Y)時,不必知道Y的分布,而只要知道X的分布,,,,定理2 設Z是隨機變量X和Y的函數(shù),Z=g(X,Y)(g是連續(xù)函數(shù)),那么Z也是一個隨機變量,設(X,Y)的概率密度為f(x,y),則,這里假設上式右邊的積分絕對收斂. 若(X,Y)為離散型隨機變量,其

6、分布律為P{X= , Y= }= ,i,j=1,2,... 則,,例3 已知X在[-a,a]上服從均勻分布,試求Y=X3-kX和Y2=(X3-kX)2的數(shù)學期望 解:由(8)式,得到,3. 數(shù)學期望的性質(zhì),(1) E(C)=C. (2) E( +C)=E +C,證明：對離散型隨機變量,對連續(xù)型隨機變量,,,（3）,證明：若C=0，則 是一個

7、常數(shù)0，由性質(zhì)1可知它成立。,,（4）,（5）兩個隨機變量之和的數(shù)學期望等于這兩個隨機變量數(shù)學 期望的和。 證明：設 是離散型隨機變量,這個性質(zhì)可以推廣到有限多個,推理：,（6）兩個相互獨立的隨機變量乘積的數(shù)學期望等于它們數(shù)學 期 望的乘積。,證明：因為 相互獨立，,,連續(xù)型隨機變量,分析:,因為 不獨立,只能用(3-6)式進行計算.,9 10

8、 11p 0.3 0.5 0.2,6 7p 0.4 0.6,,,,,,,,,例7 儀器由二部分組成，其總長為二部分長度的和。,求,下面介紹幾個常用的公式,定義 如果隨機變量 的數(shù)學期望 存在,稱 為隨機 變量 的離差,顯然 不論正偏差大或是負偏差大,同樣是離散程度大,用

9、 來 衡量 和 的偏差,定義3-4 隨機變量離差平方的數(shù)學期望,稱為隨機變量的方差, 記 或 而 稱為 的標準差,,,(一) 方差的定義,若 是離散型隨機變量,且,若 是連續(xù)型隨機變量,有概率密度,隨機變量的方差是一個正數(shù), 當 的可能值在它的期望值 附近,方差小,反之則大.方差表示隨機變量

10、的離散程度.,例8 甲乙兩個射手，射擊點和目標的距離分別為 ，且分布律,80 85 90 95 100 85 87.5 90 92.5 95p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2,,,,,,,,,,,求,,甲,乙雙方的數(shù)

11、學期望相同,表示他們的準確度相同.由于乙的方差小,表示乙射手比甲射手好,,(二) 方差的性質(zhì)1、常數(shù)的方差等于0證明：,2、隨機變量和常數(shù)之和的方差就等于這個隨機變量的方差。證明：,3、常數(shù)和隨機變量乘積的方差等于這個常數(shù)的平方和隨機變量方差的乘積。證明：,,4. 兩個獨立的隨機變量之和的方差等于兩個隨機變量方差的 和 證明：,若,獨立,,,,進一步可得到：n個相互獨立的隨機變量算術平均數(shù)的方差等于

12、 其方差算術平均數(shù)的1/n倍。,5、任意隨機變量的方差等于這個隨機變量平方的期望和它期望的平方之差，即,證明：,這個公式用來簡化方差計算。且說明隨機變量平方的數(shù)學期望 大于期望的平方。,例9 計算在區(qū)間[a，b]上服從均勻分布的隨機變量 的方差,,對于二維隨機變量(X,Y),方差D(X,Y)=[D(X),D(Y)] (20) 當(X,Y)為離散型隨機變量時,有,當(X,Y)為連續(xù)型隨機

13、變量時,有,§4.2 幾個重要分布的數(shù)學期望及方差,（一）兩點分布,,,,,x 1 0,pk p 1-p,,（二）二項分布（具有獨立和‘是與否’二種結果的條件。 當n=1時，它為兩點分布。）,,利用二點分布 也可推出二項分布的期 望及方差。,（3）泊松分布 π(λ),泊松分布的數(shù)學期望和方差都等于參數(shù)

14、λ.,（4）指數(shù)分布,其他,,（4-6）,f(x)=,（6）,分布,,其他,（4-7）,令,,,,（7） 正態(tài)分布,（7） 正態(tài)分布,,,,兩點分布 p p（1-p）二項分布 np npq 超幾何分布

15、 nN1/N普哇松分布指數(shù)分布 分布正態(tài)分布,,,,,,,,,,,,,,幾種重要分布的數(shù)學期望和方差：,§4.3 其他數(shù)字特征介紹另外一些數(shù)字特征,包括矩,協(xié)方差與相關系數(shù).矩的概念(1). k階原點矩定義1 設X為隨機變量,如果αk=E(Xk),k=1,2,... (1)存在時,稱αk為X的k階原點

16、矩,簡稱k階矩. 由定義1可知,X的k階原點矩就是Xk的數(shù)學期望,所以求原點矩的問題,就是求隨機變量的函數(shù)Y=Xk的數(shù)學期望.特別地,X的數(shù)學期望就是一階原點矩.,(2) k階中心矩定義2 設X為隨機變量,如果E(X)存在,那么,當 = ,k=1,2... (2)存在時,稱 為X的k階中心矩. 顯然,

17、X的方差D(X)就是X的二階中心矩.(3) 混合矩定義3 設(X,Y)是二維隨機變量,如果 = ,k,L=1,2,... (3)存在,則稱 為二維隨機變量(X,Y)的k+L階混合(原點)矩.,(4) 混合中心矩定義4 設(X,Y)為二維隨機變量,如果μkl=E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]L}k,L=1,2,.... (4)存在,則稱μkL為二維隨機

18、變量(X,Y)的k+L階混合中心矩.協(xié)方差與相關系數(shù),定義5 設(X,Y)為二維隨機變量,稱1+1階混合中心矩E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}而 稱為X與Y的相關系數(shù) 由協(xié)方差的定義可得Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E{XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)=E(XY)-E(

19、X)E(Y),協(xié)方差具有以下的性質(zhì).(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y). a,b是常數(shù)(3)Cov( + ,Y)=Cov( ,Y)+Cov( , Y).,定理1 (1)若X與Y相互獨立,則ρxy=0; (2)| ρxy|≤1; (3)| ρxy|=1的充分必要條件是:存在常數(shù)a,

20、b使P{Y=aX+b}=1.即X與Y以概率為1線性相關.,證明:(1) X與Y相互獨立,我們有E(XY)=E(X)E(Y), 因為Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y- E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y) 所以Cov(X,Y)=0, 有ρxy的公式表示它為0.,(2)先證一個重要的不等式---柯西-許瓦茲不等式:若E(W2)及E(V2)存在,則[E(WV)]2≤E(W2)×E

21、(V2). (8)令g(t)=E[(tW-V)2]=t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2)顯然大于0的數(shù)學期望 必定大于0.因此對一切實數(shù)t,都有(tW-V)2≥0,所以g(t)≥0.這表示圖形在X軸上方.從而二次方程g(t)=0或者沒有實根,或者只有重根.,其判別式 △=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0 得到[E(WV)]2≤E(W2)

22、5;E(V2). →(8)式得到證明. 設W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么,,由(9)式知, |ρ xy|=1 等價于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W

23、)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11)由于數(shù)學期望為0,方差也為0,即(11)式成立的充分必要條件是 P{tW-V=0}=1,即(11)式成立的充分必要條件是 P{tW-V=0}=1這等價于 P{Y=aX+b}=1 其中a=t,b=E(Y)-tE(X)

24、W=X-E(X),V=Y-E(Y),tW-V=tX-tE(X)-Y+E(Y)=0 定理證畢. 定理1告訴我們,當X,Y相互獨立時,|ρxy|達到最小值0,當ρxy=0時稱X和Y不相關,當X和Y線性相關時,| ρxy|達到最大值1, 這說明ρxy在一定程度上表達了X和Y之間的線性相關程度,稱為相關系數(shù).,例2 設(X,Y)服從二維正態(tài)分布,其概率密度為,求X與Y的相關系數(shù). 解:我們已經(jīng)計算出(X,Y)的邊

25、緣概率密度,,所以E(X)=μ1,D(X)=σ12,E(Y)=μ2,D(Y)=σ22,而,令,切比雪夫不等式 設隨機變量X 具有數(shù)學期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 。則任給正 數(shù)ε, 有,不等式(14)和(15)稱為切比雪夫不等式,它反映了均值與方差的意義,|X-E(X)|≥ξ即X取值不在E(X)附近的概率不超過.當D(X)較小時, D(x)/ξ2就較小,X取值集中在E(X)附近故E(X)是X取值的集

26、中點.D(X)反映X在E(X)附近取值的個數(shù)是多還是少.,證明： X 是離散型隨機變量,證明完畢,,,切比雪夫不等式給出了在隨機變量X的分布未知的情況下,估計事件{|X-μ|<ε}的概率的方法. 例如取ε=3σ,得所謂“3σ規(guī)則”: P{|X-μ|<3σ}≥0.8889,即事件|X-μ|<3σ的概率大約為0.9.特別是若X是正態(tài)隨機變量,可算得到 P{μ-3σ<X<μ+3σ