[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章

1、定理1(切比雪夫定理) 設(shè)X1,X2,...,Xn,...是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列若存在常數(shù)C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),則對(duì)任意給定的ε>0,有,證明: 由于X1,X2,...,Xn相互獨(dú)立,故,再由切比雪夫不等式,可得,第五章 大 數(shù) 定 律 與 中 心 極 限 定 律,§ 5.1大 數(shù) 定 律,當(dāng)n→∞時(shí),取極限就得到(1)式,定理2(切比雪夫定理的特殊情況) 設(shè)X

2、1,X2,...,Xn,...是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,(i=1,2,...)則對(duì)于給定的ε>0,有,定理2可由定理1得到證明.這里我們說(shuō)明上述兩個(gè)定理都在概率意義下的極限結(jié)論,通常稱為依概率收斂. 一般,設(shè)X1,X2,..Xn是一個(gè)隨機(jī)變量序列,a是一個(gè)常數(shù),若對(duì)于任意給定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 則稱該序列依概率收斂于a.,

3、,定理2表明:當(dāng)n很大時(shí)隨機(jī)變量 的算術(shù)平X=Σ /n在概率意義下接近于數(shù)學(xué)期望E( )=μ.即表示在定理2的條件下,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值在n無(wú)限增大時(shí),幾乎變成一個(gè)常數(shù).它反映了大量測(cè)量值的算術(shù)平均值的穩(wěn)定性,這就從理論上肯定了用算術(shù)平均值代替理論均值的合理性.貝努里定理. 它的敘述如下:設(shè)是n次重復(fù)獨(dú)立 對(duì)于任意給定的ε>0,有,其中nA/n是頻率,p是概率,即次數(shù)多

4、,時(shí)事件發(fā)生的頻率收斂于概率.表示頻率的穩(wěn)定性.,定理3,即,定理3表明事件A發(fā)生的頻率nA/n依概率收斂于事件A的概率p.定理3以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性.因此在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)n很大時(shí),我們可用事件的頻率來(lái)代替概率.,例1 設(shè) X 是拋一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定X =1，2，實(shí)際計(jì)算 ，并驗(yàn)證切貝謝夫不等式成立。,分析：因?yàn)閄 的概率函數(shù),例2 在n重

5、貝努里試驗(yàn)中，若知道每次試驗(yàn)A出現(xiàn)的概率為0.75 試用切貝謝夫不等式求n.使A出現(xiàn)的頻率在0.74到0.76之間的概 率不少于0.9? 分析:設(shè)n重貝努里試驗(yàn)A出現(xiàn)的次數(shù)為 , 服從二項(xiàng)分布,n重貝努里試驗(yàn)A出現(xiàn)的頻率為,/n,,例4 設(shè)電站供電網(wǎng)有10000個(gè)電燈，夜晚每一盞燈開(kāi)燈的概率 是0.7.而假定開(kāi)關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立,估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著燈數(shù)在6800和7200之間的概率?

6、 分析:令 為夜晚同時(shí)開(kāi)著燈的數(shù)目.它服從參n=100000,p=0.7 的二項(xiàng)分布.用貝努里公式,用切貝謝夫不等式估計(jì),可見(jiàn)雖有10000盞燈,只要電力供應(yīng)7200盞燈即有相當(dāng)大的保 證率切貝謝夫不等式對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算有較大價(jià)值,但它的精度 不高.為此我們研究下面的內(nèi)容.,§ 5.2 中 心 極 限 定 理,在隨機(jī)變量的一切可能性的分布律中，正態(tài)分布占有特殊的地位事實(shí)上遇到

7、的大量隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布。自然會(huì)提出為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在，而且在概率論中占有重要地位。應(yīng)該如何解釋大量隨機(jī)現(xiàn)象中這一客觀規(guī)律性呢？ 李雅普夫證明：在某些非常一般的充分條件下，獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布，當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)無(wú)限增加時(shí)是趨向正態(tài)分布的。此后林德伯格又成功地找到獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布，當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)無(wú)限增加時(shí)趨向正態(tài)分布的更一般的充分條件。概率論中有關(guān)論證隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一般定理稱為中心極限定理

8、。,,,定理5(獨(dú)立同分布的中心極限定理) 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ...具有相同的分布,且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,E( )=μ,D( )=σ2≠0(k=1,2,..),則隨機(jī)變量,的分布函數(shù)Fn(y)滿足,,,,,,,,,,,,s,m,s,m,h,n,n,X,n,X,n,k,k,n,k,k,n,-,=,-,=,å,å,=,=,1,1,*,),(,X,k,X,k,定理6 設(shè)隨

9、機(jī)變量ηn(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布,則對(duì)于任意x,恒有,證明 由于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量ηn可看成n個(gè)相互獨(dú)立,服從同一個(gè)(0-1)分布的隨機(jī)變量X1,X2,...Xn之和,即ηn=∑Xi其中Xi(i=1,2,...,n)的分布律為 P{Xi=k}=Pk(1-P)1-k (k=0,1)而 E(Xi)=P, D(Xi)=P(1-P) (i=1,2,...,n),

10、根據(jù)定理5(獨(dú)立同分布定理),φ[(X-μ)/σ]~N(0,1)的概率密度函數(shù),,定理6表明,正態(tài)分布也是二項(xiàng)分布的極限分布(二項(xiàng)分布的另一極限分布是泊松分布).當(dāng)n充分大時(shí),我們可利用定理6來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.,,例1 對(duì)敵人某地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值為2，方差為1.69.求100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率? 分析:令第 I次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)

11、 .100次轟炸中命中目標(biāo)次數(shù) 應(yīng)用中心極限定理 服從正態(tài)分布期望值為200,方差為169,標(biāo)準(zhǔn)差為13,二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限,例2 10部機(jī)器獨(dú)立工作,每部停機(jī)的概率為0.2.求3部機(jī)器同時(shí)停機(jī)的概率? 分析:機(jī)器停機(jī)是獨(dú)立變量,且服從二項(xiàng)分布.,(1)直接計(jì)算,(2)用局部定理,如果n大于50,則誤差就不會(huì)產(chǎn)生.,在上二節(jié)中我們計(jì)算它的概率為0.95.現(xiàn)在利用局部定理,

12、設(shè)電站供電網(wǎng)有10000個(gè)電燈，夜晚每一盞燈開(kāi)燈的概率是0.7.而假定開(kāi)關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立,估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著燈數(shù)在6800和7200之間的概率?,例3,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn):它以隨機(jī)現(xiàn)象的觀察試驗(yàn)取得資料作為出發(fā)點(diǎn),以概率論為理論基礎(chǔ)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象.根據(jù)資料為隨機(jī)現(xiàn)象選擇數(shù)學(xué)模型,且利用數(shù)學(xué)資料來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型是否合適,在合適的基礎(chǔ)上再研究它的特點(diǎn),性質(zhì)和規(guī)律性. 例如燈泡廠生產(chǎn)燈泡,將某天的產(chǎn)品中抽出幾個(gè)進(jìn)行試驗(yàn).試驗(yàn)前不知道該天燈泡

13、的壽命有多長(zhǎng),概率和其分布情況.試驗(yàn)后得到這幾個(gè)燈泡的壽命作為資料,從中推測(cè)整批生產(chǎn)燈泡的使用壽命.合格率等.為了研究它的分布,利用概率論提供的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行指數(shù)分布,求出 值,再利用幾天的抽樣試驗(yàn)來(lái)確定指數(shù)分布的合適性.,由于燈泡使用壽命的試驗(yàn)是破壞性試驗(yàn).不能將所有的燈泡都進(jìn)行試驗(yàn).只能取部分的燈泡作試驗(yàn).這產(chǎn)生二個(gè)問(wèn)題.1是抽取的燈泡是否有代表性.因?yàn)闊襞菰囼?yàn)是一種隨機(jī)現(xiàn)象,代表性強(qiáng)的效果好.我們稱為抽樣方法.2是搜集到的數(shù)據(jù)

14、怎樣進(jìn)行正確的分析,是否能正確地推斷出整體情況.我們稱為統(tǒng)計(jì)推斷. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容是抽樣方法和統(tǒng)計(jì)推斷.學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)要注意1,抽樣的本身是隨機(jī)現(xiàn)象,它以概率論為基礎(chǔ)的.數(shù)學(xué)期望和方差都依靠概率論的結(jié)果.,因此要學(xué)好概率論.2,在學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)時(shí)需要用部分的資料來(lái)正確地推斷整體的情況,到底要多少資料才有把握,它們的精確度如何,希望同學(xué)在學(xué)習(xí)中注意. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法屬于歸納法,由大量的資料作依據(jù),而不是從根據(jù)某種事實(shí)進(jìn)行假設(shè)

15、,按一定的邏輯推理得到的.例如統(tǒng)計(jì)學(xué)家通過(guò)大量觀察資料得出吸煙和肺癌有關(guān),吸煙者得肺癌的人比不吸煙的多好幾倍.因此得到這個(gè)結(jié)論. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用范圍很廣泛.在政府部門(mén)要求有關(guān)的資料給政府制定政策提供參考.由局部推斷整體,學(xué)生的假期作的社會(huì)調(diào)查就是給政府提供資料,從中推測(cè)那種因素為主要,預(yù)測(cè)該政策執(zhí)行過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生多少后果,影響大的如何消除不利因素,防止社會(huì)動(dòng)亂.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在生產(chǎn)上,研究工作中具有廣泛的作用.例如化工產(chǎn)品的研究,它有