數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義（5）——數(shù)列

1、高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。1第五章第五章數(shù)列數(shù)列一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列兩種，數(shù)列an的一般形式通常記作a1a2a3…，an或a1a2a3…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。定理1若Sn表示an的前n項(xiàng)和，則S1=a1當(dāng)n1時(shí)，an=SnSn1.w.w.w.k.s.5.u.c

2、.o.m定義2等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an1an=d（常數(shù)），則an稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)abc成等差數(shù)列，即2b=ac，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d則a=bdc=bd.定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1(n1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=；3）anam=(nm)d，其中nm為正整數(shù)；4）若dnnnaaann2)1(2)(11????nm=pq，則anam=apaq；5）對(duì)任意正整數(shù)pq，恒有a

3、paq=(pq)(a2a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則an是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2Bn.定義3等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則an稱為等比數(shù)列，q叫做公qaann??1比。定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn1；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sn=；當(dāng)?qqan??1)1(1q=1時(shí)，Sn=na1；3）如果abc成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做ac的等比中項(xiàng)；?4）若mn=pq，則aman=apaq。

4、定義4極限，給定數(shù)列an和實(shí)數(shù)A，若對(duì)任意的0，存在M，對(duì)任意的nM(n∈N)都?有|anA|，則稱A為n→∞時(shí)數(shù)列an的極限，記作?.limAann???定義5無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列an的公比q滿足|q|1，則稱之為無(wú)窮遞增等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn的極限（即其所有項(xiàng)的和）為（由極限的定義可得）。qa?11定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k1成立，

5、則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。3數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n1或n1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。例4數(shù)列an滿足anpan1qan2=0n≥3，q0，求證：存在常數(shù)c，使?得an121???nnpaa.02??nncqqa例5已知a1=0an1=5an，求證：an都是整數(shù)，n∈N.1242?