數(shù)學(xué)競賽教案講義（8）——平面向量

1、高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。1第八章第八章平面向量平面向量一、基礎(chǔ)知識一、基礎(chǔ)知識定義1既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時(shí)用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個(gè)大寫字母上面加箭頭，或一個(gè)小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。w.w.w.k.s.5.u.c.

2、o.m定義2方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律。定理1向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。定理2非零向量ab共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)??0，使得a=.b?f定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量ab不共線，則對同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對實(shí)數(shù)xy，使得c=xayb，其中ab稱為一組基底。定義3向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與

3、x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量ij作為基底，任取一個(gè)向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)xy，使得c=xiyi，則（xy）叫做c坐標(biāo)。定義4向量的數(shù)量積，若非零向量ab的夾角為?，則ab的數(shù)量積記作ab=|a||b|cos?=|a||b|cos，也稱內(nèi)積，其中|b|cos?叫做b在a上的投影（注：投影可能為負(fù)值）。定理4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1y1)b=(x2y2)，1ab=(x1x2y1y2)ab=(x1x2y1y2)，2λ

4、a=(λx1λy1)a(bc)=abac，3ab=x1x2y1y2cos(ab)=222221212121yxyxyyxx????(ab?0)4.ab?x1y2=x2y1a?b?x1x2y1y2=0.定義5若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1，p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使21PPPP??，λ叫P分21PP所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則?????121OPOPOP。由此可得若P1，P，P2的坐標(biāo)分別為(x1y1)(xy)(x2y2)，則

5、..1121212121yyyyxxxxyyyxxx????????????????????????定義6設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(hk)的方向，平移|a|=22kh?個(gè)單位得到圖形F，這一過程叫做平移。設(shè)p(xy)是F上任意一點(diǎn)，平移到F上對應(yīng)的點(diǎn)為)(yxp，則???????kyyhxx稱為平移公式。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。3例5給定非零向量ab.求證：|ab|=

6、|ab|的充要條件是a?b.例6已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E為△ACD重心。求證：OE?CD。4向量的坐標(biāo)運(yùn)算。例7已知四邊形ABCD是正方形，BEAC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F，求證：AF=AE。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且ab；②(ab)c=(ac)b；③若ab=ac，則b=c；④若ab不共線，則xayb=manb的充要條件

7、是x=my=n；⑤若bCDaAB??，且ab共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(81)在b=(34)上的投影為4。2已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：①ECCDBC??；②DCBC?2；③EDFE?；④FAED?2與AC，相等的有__________.3已知a=yxb=2xy|a|=|b|=1ab=0，則|x||y|=__________.4設(shè)st為非零實(shí)數(shù)，ab為單位向量，若|satb|=|tasb|，則a和b的夾角為____