高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班一試講義

1、1高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班一試講義高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班一試講義第七講第七講復(fù)數(shù)與單位根復(fù)數(shù)與單位根班級(jí)班級(jí)姓名姓名一、知識(shí)要點(diǎn)：一、知識(shí)要點(diǎn)：1復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)模運(yùn)算符合乘除運(yùn)算，模的加減符合三角不等式121212zzzzzz?????模與共軛的聯(lián)系2zzz?2復(fù)數(shù)的幾何（向量）意義在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也對(duì)應(yīng)著向量zxyi??()ZxyOZ????復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，軌跡表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的線(xiàn)段的中垂線(xiàn)zzazb???abAB復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，軌跡表示以為圓心，為半徑的

2、圓z0zzr??0zr復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，軌跡表示圓（阿波羅尼斯圓）z1zazbR?????????3復(fù)數(shù)的三角形式，(cossin)0zrir?????是復(fù)數(shù)的輻角，時(shí)稱(chēng)為復(fù)數(shù)的輻角主值?[02)???運(yùn)算法則：，11111(cossin)0zrir?????22222(cossin)0zrir?????乘法121212121(cos()sin())0zzrrir?????????除法111212122(cos()sin())0zrirzr??

3、???????乘方(cossin)0nnzrninr?????開(kāi)方，(cossin)0zrir?????有個(gè)次方根：znn22(cossin)012...1nkkkzriknnn??????????4單位根：?jiǎn)挝桓河洠渲袨樘摂?shù)單位，多項(xiàng)式有個(gè)互222cossinineinn???????i1nx?n不相等的根，它們稱(chēng)為次單位根單位根。易于看到，在復(fù)平面上，個(gè)次2(1)n???????nnn單位根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰是單位圓的內(nèi)接正邊形的頂點(diǎn)。

4、n5次單位根的性質(zhì)：n（1）設(shè)和是整數(shù)，則的充分必要條件是klkl???(mod)kln?（2）任意兩個(gè)次單位根的乘積仍是一個(gè)次單位根；任意一個(gè)次單位根的倒數(shù)也是nnn一個(gè)次單位根。n（3）設(shè)是整數(shù)，，則恰給出全體次單位根。k()1kn?()(12)klln?????n證明：因?yàn)椋允悄５囊粋€(gè)完系()1kn?2kknk???n6因是的個(gè)不同的根，故有2(1)n???????1nx?n11(1)()()nnxxxx???????????

5、，又，所以)1)(1(1221?????????????xxxxxxnnn（1）)())((112221??????????????????nnnxxxxxxx???（2）0112?????????n???3例6設(shè)是正整數(shù)，證明：n（1）036901(22cos)33nnnnnnSCCCC???????????（2）1471011(2)(22cos)33nnnnnnSCCCC????????????（3）2581121(4)(22cos

6、)33nnnnnnSCCCC????????????例7(2011年清華金秋營(yíng)年清華金秋營(yíng))求sinsinsin的值。n??n?2nn?)1(?三、精選習(xí)題三、精選習(xí)題1（13華約5）若復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，是復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則點(diǎn)的軌11ww??Z11w???Zxy跡是（）(A)一條直線(xiàn)(B)一條線(xiàn)段(C)一個(gè)圓(D)一段圓弧2關(guān)于的一元二次方程有一根模長(zhǎng)為1，則=___________()xxC?210xxm????m3若虛數(shù)滿(mǎn)足，則，其