考研概率論復(fù)習古典概型中幾種研究模型

1、古典概型中研究的幾類基本問題古典概型中研究的幾類基本問題:拋硬幣、擲骰(tu)子、摸球、取數(shù)等隨機試驗在概率問題的研究中有著十分重要的意義.一方面這些隨機試驗是人們從大量的隨機現(xiàn)象中篩選出來的理想化的概率模型.它們的內(nèi)容生動形象結(jié)構(gòu)清楚明確富有直觀性和典型性便于深入淺出地反映事物的本質(zhì)揭示事物的規(guī)律.另一方面這種模型化的處理方法思想活潑應(yīng)用廣泛具有極大的普遍性不少復(fù)雜問題的解決常常可以歸結(jié)為某種簡單的模型.因此有目的地考察并掌握若干常見

2、的概率模型有助于我們舉一反三觸類旁通豐富解題的技能和技巧從根本上提高解答概率題的能力.本部分主要討論古典概率中的四類基本問題(摸球問題、分球入盒問題、隨機取數(shù)問題和選票問題)給出它們的一般解法指出它們的典型意義介紹它們的常見應(yīng)用.一、摸球問題[例1]袋中有α個白球β個黑球：(1)從中任取出a＋b個(ab∈Nα≤ab≤β試求所取出的球恰有a個白球和b個黑球的概率；(2)從中陸續(xù)取出3個球(不返回)求3個球依次為“黑白黑”概率；(3)逐一把

3、球取出(不返回)直至留在袋中的球都是同一種顏色為止求最后是白球留在袋中的概率.思考方法思考方法這里的三個小題摸球的方式各不相同必須在各自的樣本空間中分別進行處理.(1)中的每一個樣本點對應(yīng)著從αβ個球中任取ab個球的一種取法無需考慮順序?qū)儆诮M合問題.(2)中的每一個樣本點對應(yīng)著從αβ個球中依次取出三個球的一種取法需要考慮先后次序?qū)儆谂帕袉栴}.(3)中事件的有利場合(摸剩白球)包含了α種不同情形：摸剩α個白球α1個白球…1個白球.因此必須

4、對各種情形分別加以考慮.[解](1)設(shè)A1表示事件“所取的ab個球中恰有a個白球和b個黑球”.從αβ個球中任意摸出ab個有種不同取法此即樣本空間所包含的樣本點總數(shù).而?????????????baCba????事件A1所包含的樣本點數(shù)相當于從α個白球中任取a個從β個黑球中任取b個的取法種數(shù)共種.所以?????????????????baCCba????P(A1)=?????????????????????????????babaCCCb

5、aba????????(2)設(shè)A2表示事件“取出的3個球依次為黑白黑”.從αβ個球中依次任取3個有種取法此即樣本點總數(shù).對于有利場合第一個和第三個黑球可在β個黑球中依次取3???A得有種取法第二個白球可在α個白球中任取有種取法.因此A2所包含的樣本點2?A1?A數(shù)為.于是21??AA?P(A2)=)2)(1)(()1(???????????????求損壞的是不同產(chǎn)品的概率.(答案:)211mnmnCCC??(5)一個班級有2n個男生和2

6、n個女生把全班學(xué)生任意地分成人數(shù)相等的兩組求每組中男女生人數(shù)相等的概率.(答案：)nnnnnCCC24222?(6)從數(shù)12…n中任取兩數(shù)求所取兩數(shù)之和和偶數(shù)的概率.(答案：當n為偶數(shù)時p=；當n為奇數(shù)時p=)2222nnCC222)1(22)1(nnnCCC???不難發(fā)現(xiàn)上述各個問題的解決都可以歸結(jié)為摸球問題(例1(1)).我們說摸球問題具有典型意義原因也正在于此.二、分球入盒問題二、分球入盒問題[例2]把n個球以同樣的概率分配到Ｎ(

7、n≤Ｎ)個盒子中的每一個中去試求下列各事件的概率：(1)Ａ：某指定n個盒子中各有一球；(2)Ｂ：恰有n個盒子其中各有一球(3)Ｃ：某指定盒子中恰有m(m≤n)個球.思考方法思考方法解答本題時要發(fā)掘“n個球以同樣的概率分配到Ｎ個盒子中的每一個中去”一語的含義.這句話意思是說每一個球被分配到任意一個盒子中去是等可能的；也就是說每一個球各有Ｎ種不同的去向.[解]因為n個球中的每一個球都以同樣的概率進入Ｎ個盒子中的任意一個所以樣本點總數(shù)為Nn.

8、(1)n個球分別分配到Ｎ個預(yù)先指定的盒子中去相當于n個球的全排列因此事件Ａ所包含的樣本點數(shù)為An于是P(A)=nnnNnNA!?(2)對于事件Ｂｎ個盒子可自Ｎ個盒子中任意選取有種選法因而事件Ｂ包含nNC個樣本點于是!nCnN?P(B)=.)!(!!nNNNNnCnnnN????(8)事件Ｃ中的ｍ個球可以從n個球中任意選取有種選法其余的nm個球可以任mnC意分配到另外Ｎ1個盒子中去有(N1)nm種分配法.因而事件Ｃ包含個樣本mnmnNC?