一極限部分

1、說明：請用說明：請用A4紙大小的本來做下面的題目（陰影部分要學(xué)完積分之后才能做）紙大小的本來做下面的題目（陰影部分要學(xué)完積分之后才能做）第一章第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限一、本章主要知識點概述1、本章重點是函數(shù)、極限和連續(xù)性概念；函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對象，而極限是高等數(shù)學(xué)研究問題、解決問題的主要工具和方法。高等數(shù)學(xué)中的一些的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限方法貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終。然而，

2、極限又是一個難學(xué)、難懂、難用的概念，究其原因在于，極限集現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大矛盾于一身。（1）、動與靜的矛盾：極限描述的是一個動態(tài)的過程，而人的認(rèn)識能力本質(zhì)上具有靜態(tài)的特征。（2）無窮與有窮的矛盾：極限是一個無窮運算，而人的運算能力本質(zhì)上具有有窮的特征。極限就是在這兩大矛盾的運動中產(chǎn)生，這也是極限難學(xué)、難懂、難用之所在。連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)研究對象的一個基本性質(zhì)，又往往作為討論函數(shù)問題的一個先決條件，且與函數(shù)的可導(dǎo)性、可積性存在著不可分割的邏輯關(guān)

3、系。2、從2001年第一屆天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽至今共八屆競賽試題分析，函數(shù)極限及其連續(xù)性在有的年份占了比較大的比重，連續(xù)性、極限與導(dǎo)數(shù)、積分等綜合的題目也要引起足夠的重視；從最近幾年的考題也可以看出，有個別題目是研究生入學(xué)考試題目的原題，如2004年競賽試題二為1997年研究生入學(xué)考試題目；2006年競賽試題一為2002年研究生入學(xué)考試試題；2005年競賽試題一為1997年研究生入學(xué)考試試題等，這也從側(cè)面反映了部分試題難度系數(shù)。二、證明極

4、限存在及求極限的常用方法1、用定義證明極限；2、利用極限的四則運算法則；3、利用數(shù)學(xué)公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）4、利用極限的夾逼準(zhǔn)則求極限；5、利用等價無窮小的代換求極限；6、利用變量代換與兩個重要極限求極限（也常結(jié)合冪指函數(shù)極限運算公式求極限）；（2）利用洛必達(dá)法則求極限；7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；8、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；9、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限；10、利用定積分的定義求某些和式的極限；11先證

5、明數(shù)列極限的存在（常用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則，再利用遞歸關(guān)系求極限）12、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限等。當(dāng)然，這些方法之間也不是孤立的，如在利用洛必達(dá)法則時經(jīng)常用到變量代換與等價無窮小的代換，這大大簡化計算。對于定積分的定義，要熟悉其定義形式，如；1()()lim()nbaniibabafxdxfann??????????。1(1)()()lim()nbaniibabafxdxfann???????????三、例題分析（一）函數(shù)及

6、其運算1、，求函數(shù)的定義域。2()ln2xfxx???2()()fxfx?2、設(shè)，，且，求極其定義域。2()xfxe???()1fxx???()0x??()x?3、（2001年研究生入學(xué)考試）設(shè)，求。11()01xfxx????????????()fffx4、（1997年）設(shè)，，求。20()20xxgxxx????????20()0xxfxxx?????????()gfx（二）極限的運算（五）無窮小的比較與無窮小的階的確定常用工具——洛

7、必達(dá)法則與泰勒公式。19、時，是的階無窮小。0x?3311x??x20、，。arcsin~xx?arctan~xx?（六）由極限值確定函數(shù)式中的參數(shù)求極限式中的常數(shù)，主要根據(jù)極限存在這一前提條件，利用初等數(shù)學(xué)變形、等價無窮小、必達(dá)法則、泰勒公式等來求解。21、若，則a=，b=.5)(cossinlim0????bxaexxx22、已知，求。33lim(1)0xxx??????????23、已知，求2lim(31)2xxaxbx?????

8、??ab24、確定常數(shù)，使，求。abc30sinlim(0)ln(1)xxbaxxcctdtt??????abc四、練習(xí)題1、=。11limlnxxxxx??2、求。??2limlnarctan(1)lnarctanxxxx?????3、求。2220coslim[ln(1)]xxxexxx?????4、求。332434lim(32)xxxxx??????5、求。??011limlncosxxxx???6、求。11032sinlim32x