第一講--數(shù)列的極限典型例題

1、1第一講數(shù)列的極限一、內(nèi)容提要1.數(shù)列極限的定義，有.NnNaxnn???????????0lim????axn注1的雙重性.一方面正數(shù)具有絕對的任意性這樣才能有??無限趨近于??nx)(Nnaxan?????另一方面正數(shù)又具有相對的固定性從而使不等式.還表明數(shù)列無限趨近????axn??nx于的漸近過程的不同程度進而能估算趨近于的近似程度.a??nxa注2若存在，則對于每一個正數(shù)，總存在一正整數(shù)與之對應，但這種不是nnx??lim?N

2、N唯一的，若滿足定義中的要求，則取，作為定義中的新的一個也必N?21??NNN須滿足極限定義中的要求，故若存在一個則必存在無窮多個正整數(shù)可作為定義中N的N注3的幾何意義是：對的預先給定的任意鄰域，在axn?)(??na??)(?aU中至多除去有限項，其余的無窮多項將全部進入??nx)(?aU注4，有.NnNaxnn???????????000lim?00???axn2.子列的定義在數(shù)列中，保持原來次序自左往右任意選取無窮多個項所得的數(shù)列

3、稱為的子列，??nx??nx記為，其中表示在原數(shù)列中的項數(shù)，表示它在子列中的項數(shù)??knxknknxk注1對每一個，有kknk?注2對任意兩個正整數(shù)，如果，則反之，若，則khkh?khnn?khnn?kh?注3，有.KkKaxknn???????????0lim????axkn注4的任一子列收斂于.????axnnlim??nx??knxa3.數(shù)列有界對數(shù)列，若，使得對，有，則稱數(shù)列為有界數(shù)列??nx0??MNn??Mxn???nx4.

4、無窮大量對數(shù)列，如果，，有，則稱為無窮大量，??nx0??GNnN?????Gxn???nx3，，（）也收斂，且有??nnyx???nnyx??????nnyx0lim???nny，??????nnnyxlim???nnxlimnny??lim，????nnnyxlim???nnxlimnny??lim（）???nnnyxlimnnnnyx????limlim0lim???nny7.迫斂性（夾逼定理）若，使得當時，有，且，???NNn?

5、nnnzxy??nny??limaznn????lim則axnn???lim8.單調(diào)有界定理單調(diào)遞增有上界數(shù)列必收斂，單調(diào)遞減有下界數(shù)列必收斂??nx??nx9.Cauchy收斂準則數(shù)列收斂的充要條件是：，有??nxNmnN???????0????mnxx注Cauchy收斂準則是判斷數(shù)列斂散性的重要理論依據(jù)盡管沒有提供計算極限的方法，但它的長處也在于此――在論證極限問題時不需要事先知道極限值10.BolzanoWeierstrass定理

6、有界數(shù)列必有收斂子列11.?7182818284.211lim???????????ennn12.幾個重要不等式(1)222abba??.1sin?x.sinxx?(2)算術－幾何－調(diào)和平均不等式：算術－幾何－調(diào)和平均不等式：對記21???Rnaaa?(算術平均值)1)(121???????niiniannaaaaM?(幾何平均值))(1121nniinniaaaaaG?????????????(調(diào)和平均值).1111111)(1121