長江大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理第四章第3節(jié)-標(biāo)志變異指標(biāo)

1、第四章　綜合指標(biāo),任課教師：湯來香tanglx2000@163.com,主要內(nèi)容：,§1　總量指標(biāo)§2　相對(duì)指標(biāo)§3　平均指標(biāo)§4　標(biāo)志變異指標(biāo)作業(yè)：習(xí)題四、五,第四節(jié)　標(biāo)志變異指標(biāo),標(biāo)志變異指標(biāo)概述標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算,一、標(biāo)志變異指標(biāo)概述,標(biāo)志變異指標(biāo)——是反映總體各單位標(biāo)志值變動(dòng)程度或差異程度、度量統(tǒng)計(jì)分布離中趨勢(shì)的綜合指標(biāo)。又稱為標(biāo)志變動(dòng)度或離散程度。,離中趨勢(shì)：指遠(yuǎn)離中心值的程

2、度。,變異指標(biāo)反映離中趨勢(shì)：,離散程度不同就意味著變量在平均數(shù)周圍分布的密集程度不同，從而同樣的平均數(shù)對(duì)于兩個(gè)總體具有不同的代表性?！纠?A組：65、68、72、75分 　 B組：34、51、95、100分 A組的總成績：280分，平均成績70分 B組的總成績：280分，平均成績70分,,,,平均指標(biāo)反映了各變量值向中心值聚集的程度，即集中趨勢(shì)；變異指標(biāo)反映了各變量值遠(yuǎn)離中心值的程度，即離中趨勢(shì)。,,,,圖示：

3、,X,f,=,0,標(biāo)志變異指標(biāo)的作用：,是衡量平均數(shù)代表性的尺度；　變異指標(biāo)越大，平均數(shù)的代表性越小， 　變異指標(biāo)越小，平均數(shù)的代表性越大?？梢杂脕碚f明現(xiàn)象變動(dòng)過程的　穩(wěn)定性和均衡性；有助于確定必要的抽樣數(shù)目。,種類：,全距四分位差平均差標(biāo)準(zhǔn)差離散系數(shù),二、標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算,（一）極差（二）平均差（三）標(biāo)準(zhǔn)差（四）變異系數(shù)（五）是非標(biāo)志分布的數(shù)值特征,（一）極差（全距、Ｒ）,全距的特點(diǎn)：,優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡便，含義清

4、晰，可以說明總體中標(biāo)志值變動(dòng)的范圍。還是編制組距數(shù)列確定組數(shù)、組距的重要依據(jù)。缺點(diǎn)：容易受兩極端值影響，帶有較大的偶然性，而對(duì)于兩個(gè)極端值之間標(biāo)志值的分散狀況沒有反映，因而不能準(zhǔn)確描述出數(shù)據(jù)的分散程度，只是測(cè)定標(biāo)志變異指標(biāo)的粗略方法，不能全面反映總體各單位標(biāo)志的變異程度。,補(bǔ)充：四分位差,把一個(gè)變量數(shù)列分成四等份，形成三個(gè)分割點(diǎn)Q1 、 Q2 、 Q3，這三個(gè)分割點(diǎn)的數(shù)值就稱為四分位數(shù)，Q2 也是中位數(shù)，四分位差為： Q.D.= Q3

5、 － Q1數(shù)四分位差Q.D.數(shù)值越大，說明中位數(shù)Me的代表性愈差，反之，則說明中位數(shù)Me的代表性愈好。,（二） 平均差（Ａ·Ｄ）,平均差：是總體中各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)之間絕對(duì)離差的算術(shù)平均數(shù)。它能綜合反映總體標(biāo)志值的變異程度。,【例】：,有兩個(gè)生產(chǎn)小組，每組都是5名工人，某天日產(chǎn)量的件數(shù)如下：　　甲組：50 60 70 80 90 乙組：68 69 70 71 72則：,,,,結(jié)果表明

6、：乙組工人日產(chǎn)零件平均數(shù)的代表性比甲組高。,【例】某班統(tǒng)計(jì)學(xué)考試分?jǐn)?shù)資料如下,,計(jì)算平均差如下：,注：,離差——總體單位的標(biāo)志值與其平均數(shù)之差即 。平均差使用絕對(duì)值是為了避免各變量值與平均數(shù)的離差之和等于零。,平均差的特點(diǎn)：,平均差是根據(jù)全部變量值與平均數(shù)離差計(jì)算出來的，能全面、客觀地反映標(biāo)志值的離散程度。平均差計(jì)算有絕對(duì)值符號(hào)，不適合代數(shù)方法的演算使其應(yīng)用受到了限制。,（三）、標(biāo)準(zhǔn)差和方差(σ與σ２),標(biāo)準(zhǔn)差

7、(σ)：是總體各單位的標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，又稱均方差。方差(σ2) ：是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。,標(biāo)準(zhǔn)差與平均差比較：,標(biāo)準(zhǔn)差是以離差的平方來消除正負(fù)號(hào)的影響，對(duì)離差平方求平均數(shù)得方差，然后再開方，就恢復(fù)了原來的計(jì)算單位。且加大離差，突出了標(biāo)志變異的程度。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算還應(yīng)用了最小平方原理，以算術(shù)平均數(shù)為中心，使標(biāo)準(zhǔn)差成為反映標(biāo)志變異程度的最理想的計(jì)算方法，是實(shí)際應(yīng)用最廣泛的離散程度測(cè)度值。,【例】,有兩個(gè)生產(chǎn)小組

8、，每組都是5名工人，某天日產(chǎn)量的件數(shù)如下：　　甲組：50 60 70 80 90 乙組：68 69 70 71 72則：,計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差如下：,結(jié)果表明：乙組工人日產(chǎn)零件平均數(shù)的代表性比甲組高。,某班統(tǒng)計(jì)學(xué)考試分?jǐn)?shù)資料如下,【例】,其標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算如下：,標(biāo)準(zhǔn)差的變形公式：,方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)：,具有“平移不變”的特性，即：　　σx+a２= σx２　　　 σX+a= σxσbx２= b2σx２

9、 σbx= |b|σx　 將這兩條性質(zhì)結(jié)合起來，就有：變量X的線性變換的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： σ bx+a２= b2σx２ σbx+a= |b|σx,如果兩個(gè)變量X和Y相互獨(dú)立，它們的代數(shù)和的方差就等于原來兩個(gè)變量的方差之和；它們的代數(shù)和的標(biāo)準(zhǔn)差則等于兩個(gè)變量方差之和的正平方根，即有：,【例】,已知某校一年級(jí)小學(xué)語文成績X的標(biāo)準(zhǔn)差為10分，數(shù)學(xué)成績Y的標(biāo)準(zhǔn)差為6分，則兩門功課總成績的方差與標(biāo)準(zhǔn)差就應(yīng)該是：,,總方差＝組

10、內(nèi)方差的平均數(shù)＋組間方差,其中：,方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)：,對(duì)于同變量分布，其標(biāo)準(zhǔn)差永遠(yuǎn)不會(huì)小于平均差。即：,,【例】某班組11個(gè)工人日產(chǎn)零件數(shù)如下：,15 17 19 20 22 22 23 23 25 26 30,如果分組如下：,,,,,,,16.18 ＝ 2.54 + 13.64,驗(yàn)證：,總方差＝平均組內(nèi)方差＋組間方差,即：,,,,,標(biāo)準(zhǔn)差與全距、平均差的關(guān)系:,σ與R的關(guān)系 經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)分布數(shù)列接近于正態(tài)分布

11、時(shí)，存在以下經(jīng)驗(yàn)公式：R為4至6個(gè)σ 當(dāng)標(biāo)志值項(xiàng)數(shù)較少時(shí)，R≈4σ 當(dāng)標(biāo)志值項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，R≈6σσ與A·D的關(guān)系 對(duì)同一資料，所求的平均差一般比標(biāo)準(zhǔn)差要小，即A·D≤σ,（四）變異系數(shù),【例】某車間某小組有6個(gè)工人，分別帶了1個(gè)徒工，其日產(chǎn)量(件)數(shù)列如下：甲組(工人組)： 62 65 70 73 80 82　乙組(徒工組)： 8 13 17 19 22 24,可以看出甲組標(biāo)志值變異程度較小，平均數(shù)

12、更具有代表性，但進(jìn)一步計(jì)算，,,,通過觀察：,計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：甲組標(biāo)準(zhǔn)差大于乙組標(biāo)準(zhǔn)差，似乎可得出甲組平均數(shù)比乙組平均數(shù)代表性差的結(jié)論，這與事實(shí)不符。究其原因，是因?yàn)閮蓴?shù)列原有標(biāo)志值水平不一樣，不能用來判斷平均數(shù)的代表性。那么，怎樣判斷兩個(gè)總體標(biāo)志值的離散程度，評(píng)價(jià)其平均數(shù)的代表性大小呢？應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算其標(biāo)志變異的相對(duì)程度——標(biāo)志變動(dòng)系數(shù)。,變異系數(shù)概念：,變異系數(shù)：又稱為離散系數(shù)，是將各種絕對(duì)數(shù)或平均數(shù)形式的標(biāo)志變異指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)對(duì)比

13、的結(jié)果，以反映總體各單位標(biāo)志值相對(duì)離散程度的指標(biāo)。,常見的變異系數(shù)有：,極差系數(shù)：平均差系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：,標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的特點(diǎn)：,不受計(jì)量單位和標(biāo)志值水平的影響，消除了不同總體之間在計(jì)算單位、平均水平方面的不可比性。,標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的作用：,比較性質(zhì)不同的變量數(shù)列標(biāo)志值的差異程度；比較計(jì)量單位不同的變量數(shù)列的平均數(shù)代表性大小。,根據(jù)前面的例子有：,（1）,計(jì)算結(jié)果表明：乙組工人日加工零件的平均數(shù)代表性高。,（2）,變異系數(shù)的計(jì)算例子

14、：,（3）根據(jù)某班統(tǒng)計(jì)學(xué)考試分?jǐn)?shù)計(jì)算的變異系數(shù)如下：,【例】,乙品種資料：平均畝產(chǎn)=412公斤，σ=80公斤。要求：計(jì)算有關(guān)指標(biāo)比較兩個(gè)品種水稻單產(chǎn)的穩(wěn)定性。,甲品種資料,甲、乙兩個(gè)品種的水稻產(chǎn)量資料如下：,甲品種的平均產(chǎn)量及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表,先計(jì)算平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差：,,再計(jì)算甲、乙兩個(gè)品種的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：,Ｖ甲<Ｖ乙 ，甲品種產(chǎn)量的穩(wěn)定性好。,從甲市任抽100戶，得其平均年收入是42000元，年收入的標(biāo)準(zhǔn)差是38060元；從乙市任抽

15、150戶，得其平均年收入是62000元，年收入的標(biāo)準(zhǔn)差是50980元。試計(jì)算適當(dāng)指標(biāo)比較兩個(gè)不同城市居民家庭收入的差異程度。,即問即答,由于V乙＜V甲，據(jù)上述抽樣資料可知，乙市家庭的收入差異程度低于甲市家庭的收入差異程度?！　∽⒁?，在這里不能用標(biāo)準(zhǔn)差作比較，否則會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論。,【解】,（五）是非標(biāo)志分布的數(shù)值特征,是非標(biāo)志：用“是”、“非”或“有”、“無”來表示的分組標(biāo)志，也稱為交替標(biāo)志成數(shù)：標(biāo)志表現(xiàn)為“是”、“非”的單位數(shù)分別占

16、全部總體單位數(shù)的比重。用P、Q表示。,成數(shù)指標(biāo)：P、Q,設(shè)總體單位數(shù)N=N1+N0 ，則： 所以Q=1-P　　成數(shù)反映了數(shù)列中單位數(shù)“是”與“非”的構(gòu)成，并且代表該種性質(zhì)或?qū)傩苑磸?fù)出現(xiàn)的程度，即頻率。,是非標(biāo)志平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,“1”表示具有某種性質(zhì)的單位標(biāo)志值，“0”表示不具有某種性質(zhì)的單位標(biāo)志值。,,,故：對(duì)于是非標(biāo)志,,,注：當(dāng)p=q=0.5時(shí)，是非

17、標(biāo)志的方差達(dá)到最大可能值，即0.25。,【例】,某班統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績及格人數(shù)有38人，不及格人數(shù)有2人，計(jì)算該班學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績及格率與其標(biāo)準(zhǔn)差。,解：及格率為　　P=38/40=95% 　　不及格率為　 Q=1-P=5%,即問即答（判斷題）,1．根據(jù)分組資料計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)各組單位數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)均相等時(shí)，按加權(quán)算數(shù)平均數(shù)計(jì)算的結(jié)果與按簡單算數(shù)平均數(shù)計(jì)算的結(jié)果相同。,即問即答（判斷題）,標(biāo)志變異指標(biāo)數(shù)值越大，說明總體中各單位標(biāo)志值

18、的變異程度越大，則平均指標(biāo)的代表性越小。中位數(shù)與眾數(shù)都是位置平均數(shù)，因此用這兩個(gè)指標(biāo)反映現(xiàn)象的一般水平缺乏代表性。,即問即答（判斷題）,如果甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)去年產(chǎn)量計(jì)劃完成程度分別為95%、100%和105%，那么這三個(gè)企業(yè)產(chǎn)量平均計(jì)劃完成程度為100%。,即問即答（判斷題）,兩個(gè)企業(yè)比較，若甲企業(yè)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都分別大于乙企業(yè)，則由此可以肯定乙企業(yè)生產(chǎn)的均衡性比甲企業(yè)好。,即問即答（單選題）,對(duì)于不同水平的總體不能直接用標(biāo)準(zhǔn)差來比

19、較其標(biāo)志變動(dòng)度，這時(shí)需分別計(jì)算各自的（ ）來比較。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)平均差全距均方差,(　)對(duì)總體平均數(shù)的影響大 。權(quán)數(shù)各組平均水平眾數(shù)次數(shù),即問即答（單選題）,即問即答（單選題）,如果分配數(shù)列把頻數(shù)換成頻率，那么方差（ 　 ）。不變 增大 減小 無法預(yù)期其變化,即問即答（單選題）,反映總體各單位變量分布的離中趨勢(shì)的指標(biāo)是（　）。平均指標(biāo)

20、 標(biāo)志變異指標(biāo) 相對(duì)指標(biāo) 總量指標(biāo),即問即答（單選題）,已知4個(gè)水果商店蘋果的單價(jià)和銷售額，要求計(jì)算4個(gè)商店蘋果的平均單價(jià)，應(yīng)該采用（?。?。簡單算術(shù)平均數(shù) 加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 幾何平均數(shù),即問即答（單選題）,用標(biāo)準(zhǔn)差比較分析兩個(gè)同類總體平均指標(biāo)的代表性的前提條件是（?。蓚€(gè)

21、總體的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)相等兩個(gè)總體的平均數(shù)應(yīng)相等兩個(gè)總體的離差之和應(yīng)相等兩個(gè)總體的單位數(shù)應(yīng)相等,工作比你更驕傲，你就去找工作；你比工作更驕傲，工作就會(huì)來找你。,課間休息,——高校畢業(yè)生　清醒的就業(yè)觀,統(tǒng)計(jì)局炫耀道：“溫度，我們無法控制，但是我們能控制溫度計(jì)！”,課間休息,喜鵲來，媽媽說：“這是喜鳥，是客?！毖嘧觼?，媽媽說：“這是益鳥，是客。”烏鴉來，孩子問：“你也是客人嗎？”烏鴉叫：“Yes，吾乃黑客。”,課間休息,一位父親跟他七歲的兒子

22、講睡懶覺的壞處。最后他做結(jié)論說：“記住，鳥兒只有起得早，才能捉到蟲子。”兒子不服氣：“那么，蟲子起得早不就太傻了嗎？”,課間休息,一只公雞撿到了一個(gè)足球。它把足球帶到雞窩旁邊，把所有的母雞都叫出來開了個(gè)會(huì)。它指著那個(gè)足球說：“我不想說你們什么，但是你們應(yīng)該看到別人都付出了怎樣的努力。你們或許也應(yīng)該朝著這個(gè)方向努力了。”,課間休息,三個(gè)蘋果改變了人類文明的歷程：夏娃的蘋果，牛頓的蘋果，喬布斯的蘋果。,課間休息,栽種思想，成就行為栽種行為

23、，成就習(xí)慣栽種習(xí)慣，成就性格栽種性格，成就人生                   ——李嘉誠,課間休息,課間休息,考試的后果　　小松問小明“如果你考試不及格，你的父母會(huì)怎么對(duì)待你”？“80”分以下是女子單打?！?0”分以下是男子單打。如果是“60”分

24、以下是男女混合雙打!,長度的單位 　　小學(xué)時(shí)有一次上公開課，老師問我們：“各位同學(xué)，有誰知道長度的單位是什么??？”這時(shí)候，班上最最乖巧的一個(gè)同學(xué)舉手要求回答，這是課前老師安排好的，當(dāng)然就是他回答啦。“老師，是米！”不錯(cuò)不錯(cuò)，請(qǐng)坐下?！薄翱墒?，有誰還知道有什么呢？”這時(shí)，平時(shí)學(xué)習(xí)最最落后的同學(xué)也舉手，老師有點(diǎn)激動(dòng)，雖然沒有事先安排他，可是老師覺得不應(yīng)該有歧視，決定給他一個(gè)機(jī)會(huì)。“老師，還有菜！”,課間休息,愛情，就像三國，合久必分，分久