第四章統(tǒng)計(jì)描述

1、第四章 統(tǒng)計(jì)描述,第一節(jié) 總量指標(biāo)第二節(jié) 相對指標(biāo)第三節(jié) 平均指標(biāo)第四節(jié) 變異指標(biāo),教學(xué)目的 理解總量指標(biāo)、相對指標(biāo)、平均指標(biāo)、變異指標(biāo)的概念、作用和種類，掌握各種指標(biāo)的計(jì)算和應(yīng)用。能夠運(yùn)用本章所述的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對客觀現(xiàn)象的規(guī)模、水平和各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行科學(xué)描述。重點(diǎn)難點(diǎn) 總量指標(biāo)、相對指標(biāo)、平均指標(biāo)和變異指標(biāo)的計(jì)算和應(yīng)用，標(biāo)準(zhǔn)差和特殊情況下加權(quán)算術(shù)平均數(shù)權(quán)數(shù)的選擇。,用統(tǒng)計(jì)指

2、標(biāo)去概括和分析現(xiàn)象總體的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系的方法，稱為綜合指標(biāo)法，簡稱綜合指標(biāo)。 綜合指標(biāo)從它的作用和方法特點(diǎn)的角度可概括為三類：,總量指標(biāo)相對指標(biāo)平均指標(biāo),第一節(jié) 總量指標(biāo),一、總量指標(biāo)的概念和作用,總量指標(biāo)是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象一定時(shí)間、地點(diǎn)、條件下的總規(guī)模、總水平或工作總量的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。 總量指標(biāo)表現(xiàn)形式是絕對數(shù)，不是抽象的絕對數(shù)，計(jì)量單位是有名數(shù)。 總量指標(biāo)也可表現(xiàn)為總量之間的絕對差數(shù)，如增加量、減少量等。,例如

3、：2012年我國財(cái)政收入117209.8億元。,例如：2012年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值比上年增加46218.1億元。,總量指標(biāo)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中的作用 :,總量指標(biāo)能反映一個(gè)國家的基本國情和國力，反映某部門或單位等人、財(cái)、物的基本數(shù)據(jù) ?？偭恐笜?biāo)是制定政策、編制計(jì)劃、實(shí)行社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理的重要依據(jù) 。 總量指標(biāo)是計(jì)算相對指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)。,（一）按其反映現(xiàn)象總體內(nèi)容的不同分為：,二、 總量指標(biāo)的種類,總體單位總量指標(biāo)——說明總體的單位總數(shù)。

4、,例：企業(yè)數(shù)、學(xué)校數(shù)、職工人數(shù)、學(xué)生人數(shù)。,總體標(biāo)志總量指標(biāo)——說明總體中某種標(biāo)志值總和。,例：總產(chǎn)量、總產(chǎn)值、工資總額、稅金總額。,（二）按其反映的時(shí)間狀況不同分為：,時(shí)期指標(biāo) —— 反映現(xiàn)象總體在某一時(shí)期內(nèi)發(fā)展過程的總數(shù)量，即流量。(可連續(xù)計(jì)數(shù)，與時(shí)間長短有關(guān)，是累計(jì)結(jié)果),時(shí)點(diǎn)指標(biāo) —— 反映現(xiàn)象總體在某一時(shí)刻（瞬間）上的規(guī)?；蛩剑创媪?。 (間斷計(jì)數(shù)，與時(shí)間間隔無關(guān)，不能累計(jì)),實(shí)物指標(biāo)是根據(jù)事物的自然屬性或物理性能，采

5、用自然單位或度量衡單位計(jì)算的總量指標(biāo)。,自然單位：輛、雙、頭、根、個(gè)…… 度量衡單位：噸、米、克、立方米…… 雙重單位：公里/小時(shí)、人/平方公里……復(fù)合單位：噸公里、千瓦小時(shí)…… 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物單位：按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)折算,對有些性質(zhì)相同但規(guī)格或含量不同的產(chǎn)品總量的計(jì)算，要按折合標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物量的方法計(jì)算。,例如，能源統(tǒng)計(jì)以標(biāo)準(zhǔn)燃料每千克發(fā)熱量7000Kcal為標(biāo)準(zhǔn)單位。,（三）按其計(jì)量單位不同分為：,貨幣單位使不能直接相加的產(chǎn)品產(chǎn)量過渡到能夠加總

6、，用于綜合說明具有不同使用價(jià)值的產(chǎn)品生產(chǎn)總量或商品銷售量等的總規(guī)模、總水平。,價(jià)值指標(biāo)是以貨幣為單位計(jì)算的總量指標(biāo)。,勞動(dòng)量指標(biāo)是以勞動(dòng)時(shí)間為單位計(jì)算的總量指標(biāo)。,工時(shí) —— 工人數(shù)和勞動(dòng)時(shí)數(shù)的乘積工日 —— 工人數(shù)和勞動(dòng)日數(shù)的乘積臺(tái)時(shí) —— 設(shè)備臺(tái)數(shù)和開動(dòng)時(shí)數(shù)的乘積,由于具體條件不同，不同企業(yè)的勞動(dòng)量指標(biāo)不具有可比性，因此，勞動(dòng)量指標(biāo)只限于企業(yè)內(nèi)部使用。,三、 總量指標(biāo)的計(jì)算原則,（一）科學(xué)性 以科學(xué)的理論確定

7、總量指標(biāo)的含義、范圍和計(jì)算方法。（二）可比性 注意歷史條件變化對指標(biāo)內(nèi)容和范圍的影響。（三）統(tǒng)一性 指標(biāo)的計(jì)算口徑，即計(jì)算的范圍、計(jì)算方法、計(jì)量單位要統(tǒng)一。,第二節(jié) 相對指標(biāo),又稱相對數(shù)，是兩個(gè)有聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值之比，用以反映現(xiàn)象的發(fā)展速度、強(qiáng)度、結(jié)構(gòu)或數(shù)量聯(lián)系程度。,一、相對指標(biāo)的概念和作用,相對指標(biāo)的主要作用:,相對指標(biāo)能具體表明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的比例關(guān)系。相對指標(biāo)能使一些不能直接對比

8、的事物找出共同比較的基礎(chǔ)。 相對指標(biāo)便于記憶、易于保密。,從上表中看來，好象甲廠比乙廠勞動(dòng)生產(chǎn)率高（∵ 600>400）；而將其換算成相對指標(biāo)，實(shí)際發(fā)展速度是乙廠大于甲廠。由此可看出相對指標(biāo)可以彌補(bǔ)總量指標(biāo)的不足。,- 人口密度：人/平方公里 - 平均每人分?jǐn)偟募Z食產(chǎn)量：千克/人,系數(shù)或倍數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1； 成數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為10；百分?jǐn)?shù)：是將比的基數(shù)抽象化為100； 千分?jǐn)?shù)：是將比的基數(shù)抽象化為100

9、0。,相對指標(biāo)的數(shù)值有兩種表現(xiàn)形式：,無名數(shù)（抽象化的數(shù)），分以下幾種:,有名數(shù),(一) 計(jì)劃完成程度相對指標(biāo),用來檢查、監(jiān)督計(jì)劃執(zhí)行情況的相對指標(biāo)，通常以%表示。,二、相對指標(biāo)的種類及其計(jì)算,計(jì)劃完成相對數(shù)的作用,說明各計(jì)劃指標(biāo)的完成程度 反映計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度 反映經(jīng)濟(jì)計(jì)劃執(zhí)行中的薄弱環(huán)節(jié),(1) 根據(jù)總量指標(biāo)計(jì)算計(jì)劃完成相對數(shù),計(jì)算結(jié)果表明該廠超額10%完成總產(chǎn)值計(jì)劃。,計(jì)劃完成程度相對指標(biāo)的計(jì)算,設(shè)某工廠某年計(jì)劃工業(yè)總產(chǎn)值為200

10、萬元，實(shí)際完成220萬元，則：,(2) 根據(jù)平均指標(biāo)來計(jì)算計(jì)劃完成程度相對數(shù),某企業(yè)某月生產(chǎn)某產(chǎn)品，計(jì)劃每人每日平均產(chǎn)量50件，實(shí)際每人每日平均產(chǎn)量為60件，則：,計(jì)算結(jié)果表明該企業(yè)實(shí)際勞動(dòng)生產(chǎn)率超過20%完成了計(jì)劃任務(wù)。,(3)根據(jù)相對指標(biāo)計(jì)算計(jì)劃完成程度相對數(shù),某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品，上年度實(shí)際成本為420元/噸，本年度計(jì)劃單位成本降低6%，實(shí)際降低7.6%，則：,∴ 比計(jì)劃多完成1.71%,,本題也可換算成絕對數(shù)計(jì)算：,∴,計(jì)劃 -6%

11、 ～ 394.8元/噸 [(1-6%) × 420]實(shí)際 –7.6% ～ 388.08元/噸 [(1-7.6%) × 420],某企業(yè)計(jì)劃規(guī)定勞動(dòng)生產(chǎn)率比上年提高10%，實(shí)際比上年提高15%，則：,∴ 該企業(yè)勞動(dòng)生產(chǎn)率超額4.5%完成計(jì)劃任務(wù)。,按降低率規(guī)定計(jì)劃任務(wù)，其計(jì)劃完成相對數(shù)為：,按提高率規(guī)定計(jì)劃任務(wù)，其計(jì)劃完成相對數(shù)為：,計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度的考核,逐日、逐月、逐季地檢查計(jì)劃執(zhí)行的進(jìn)度情況，采用計(jì)劃

12、期中某一段時(shí)期的累計(jì)實(shí)際完成數(shù)與全期計(jì)劃任務(wù)數(shù)之比來表示。,計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度：,時(shí)間進(jìn)度：,某企業(yè)某年工業(yè)總產(chǎn)值年度計(jì)劃為1200萬元，一、二、三月份實(shí)際完成量分別為100萬元、90萬元、120萬元，則計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度如何？,計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度：,時(shí)間進(jìn)度：,長期計(jì)劃的檢查,（1）累計(jì)法計(jì)劃任務(wù)數(shù)是規(guī)定在整個(gè)計(jì)劃期間應(yīng)完成的累計(jì)數(shù),（2）水平法計(jì)劃任務(wù)數(shù)是規(guī)定末期應(yīng)達(dá)到的水平,某煤礦計(jì)劃在“十五”期間，為國家生產(chǎn)400萬噸原煤，或達(dá)到年產(chǎn)量100

13、萬噸原煤。實(shí)際統(tǒng)計(jì)資料如下：2001年產(chǎn)量68萬噸，2002年產(chǎn)量72萬噸，2003年產(chǎn)量77萬噸，2004年產(chǎn)量86.6萬噸。計(jì)算該礦“十五”期間原煤產(chǎn)量計(jì)劃完成情況。,水平法。從2004年5月～2005年4月共完成101.2萬噸，提前8個(gè)月零3天。,解：累計(jì)法。期末共完成425.9萬噸，超額6.5%完成任務(wù)，超出25.9萬噸，提前2個(gè)月零11天。,(二) 結(jié)構(gòu)相對指標(biāo),結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)是在總體分組的基礎(chǔ)上，將總體的某部分?jǐn)?shù)值與總體全部數(shù)

14、值對比而得出的比重或比率，它可以反映總體的構(gòu)成情況。,上海“十五”期間GDP構(gòu)成（%）,結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)的作用：,(三) 比例相對指標(biāo),比例相對指標(biāo)是同一總體內(nèi)不同組成部分的指標(biāo)數(shù)值對比的結(jié)果，用來表明總體內(nèi)部的比例關(guān)系。,2. 首先將總體全部數(shù)值抽象化為100，求得各部分?jǐn)?shù)值在總體中所占百分?jǐn)?shù)，然后將各部分的百分?jǐn)?shù)連比得比例相對數(shù)。,1. 將作為比較基礎(chǔ)的數(shù)值抽象化為1、10、100或1000，看被比較的數(shù)值是多少。,常用的比例形式有兩種

15、：,(四) 比較相對指標(biāo)(類比相對指標(biāo)),比較相對指標(biāo)是反映同類現(xiàn)象在不同空間條件下數(shù)量對比關(guān)系的綜合指標(biāo)，用以說明某一種現(xiàn)象同一時(shí)間在不同地區(qū)（或單位）發(fā)展的差異程度。,某年有甲、乙兩企業(yè)同時(shí)生產(chǎn)一種性能相同的產(chǎn)品，甲企業(yè)工人勞動(dòng)生產(chǎn)率為19 307元，乙企業(yè)勞動(dòng)生產(chǎn)率為27 994元。,說明甲企業(yè)勞動(dòng)生產(chǎn)率比乙企業(yè)低31% 。,計(jì)算比較相對數(shù)時(shí)，作為比較基數(shù)的分母可取不同的對象，一般有兩種情況：,① 比較標(biāo)準(zhǔn)是一般對象,這時(shí)，分子與

16、分母的位置可以互換。,② 比較標(biāo)準(zhǔn)(基數(shù))典型化,把企業(yè)的各項(xiàng)技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)都和國家規(guī)定的質(zhì)量水平比較，和同類企業(yè)的先進(jìn)水平比較，和國外先進(jìn)水平比較等，這時(shí)，分子與分母的位置不能互換。,(五) 強(qiáng)度相對指標(biāo),強(qiáng)度相對指標(biāo)是兩個(gè)性質(zhì)不同但有聯(lián)系的總量指標(biāo)之比，用來表明某一現(xiàn)象在另一現(xiàn)象中發(fā)展的強(qiáng)度、密度或普遍程度。,用百分?jǐn)?shù)表示,,說明平均每百元銷售額負(fù)擔(dān)多少流通費(fèi)。產(chǎn)值利潤率、資金利潤率一般用千分?jǐn)?shù)表示。,強(qiáng)度相對數(shù)的數(shù)值表示有兩種方

17、法：,① 一般用復(fù)名單位表示,② 也有少數(shù)用百分?jǐn)?shù)或千分?jǐn)?shù)表示,某城市人口100萬人，有零售商業(yè)機(jī)構(gòu)5000個(gè)，則：,有些強(qiáng)度相對數(shù)有正、逆兩種計(jì)算方法：,強(qiáng)度相對指標(biāo)可以顛倒分子分母計(jì)算，故有正逆指標(biāo)之分。區(qū)分正逆指標(biāo)時(shí)，主要看其數(shù)值大小與反映事物的強(qiáng)度大小是否一致，一致者為正指標(biāo)，不一致者為逆指標(biāo)。,正指標(biāo)的數(shù)值愈大，表示零售商業(yè)網(wǎng)密度愈大，它是從正方向說明現(xiàn)象的密度；逆指標(biāo)的數(shù)值愈大，表示零售商業(yè)網(wǎng)密度愈小，它是從相反方向說明現(xiàn)象

18、的密度。,某年某地區(qū)平均人口數(shù)為100萬人，醫(yī)院病床數(shù)為2500張。則： 上述計(jì)算結(jié)果2.5張/千人，說明每千人擁有的醫(yī)院病床2.5張，數(shù)值越大，表示每千人擁有的床位數(shù)越多，說明醫(yī)療保障程度越高，它從正面說明所研究現(xiàn)象的強(qiáng)度或密度，故稱正指標(biāo)；400人/張說明平均每張病床要供400人使用，指標(biāo)數(shù)值越小，說明醫(yī)療保證程度越高，所以是逆指標(biāo)。,,,說明一個(gè)國家、地區(qū)、部門的經(jīng)濟(jì)實(shí)力或?yàn)樯鐣?huì)服務(wù)的能力 反映和考核社會(huì)經(jīng)濟(jì)

19、效益 為編制計(jì)劃和長遠(yuǎn)規(guī)劃提供參考依據(jù),強(qiáng)度相對數(shù)的作用：,(六) 動(dòng)態(tài)相對指標(biāo),基期 ——作為對比標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間報(bào)告期——同基期比較的時(shí)期，也稱計(jì)算期,動(dòng)態(tài)相對指標(biāo)是現(xiàn)象報(bào)告期水平與基期水平之比，用來反映現(xiàn)象在時(shí)間上的發(fā)展變化情況，又稱為動(dòng)態(tài)相對數(shù)或發(fā)展速度。,某地區(qū)國內(nèi)生產(chǎn)總值2008年為1100億元，2009年為1210億元，其動(dòng)態(tài)相對指標(biāo)或發(fā)展速度為：,計(jì)算表明該地區(qū)國內(nèi)生產(chǎn)總值動(dòng)態(tài)相對數(shù)或發(fā)展速度為110％，它表明該地區(qū)

20、2009年國內(nèi)生產(chǎn)總值比上年增長了10％。,六種相對指標(biāo)的比較,2.相對指標(biāo)要和總量指標(biāo)結(jié)合起來運(yùn)用。,1.注意二個(gè)對比指標(biāo)的可比性。,三、正確運(yùn)用相對指標(biāo)的原則,3.多種相對數(shù)結(jié)合運(yùn)用,4.在比較二個(gè)相對數(shù)時(shí)，是否適宜相除再求一個(gè)相對數(shù)，應(yīng)視情況而定。若除出來有實(shí)際意義，則除；若不宜相除，只宜相減求差數(shù)，用百分點(diǎn)表示之。(百分點(diǎn) —即百分比中相當(dāng)于百分之一的單位),第三節(jié) 平均指標(biāo),（集中趨勢）,數(shù)量抽象性 只能就同類現(xiàn)象計(jì)算

21、集中趨勢代表性,一、平均指標(biāo)的概念和作用,平均指標(biāo)是指在同質(zhì)總體內(nèi)將各單位某一數(shù)量標(biāo)志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。,平均指標(biāo)的特點(diǎn)：,平均指標(biāo)的作用：,1.反映現(xiàn)象集中趨勢2.比較現(xiàn)象時(shí)空差異3.分析現(xiàn)象依存關(guān)系4.提供估計(jì)推斷基礎(chǔ),平均數(shù),數(shù)值平均數(shù),位置平均數(shù),,,眾數(shù)中位數(shù),算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù),平均指標(biāo)按計(jì)算方法不同可分為：,,根據(jù)總體所有標(biāo)志值計(jì)算,根據(jù)標(biāo)志值所處的位置來確定,二、算術(shù)平

22、均數(shù)（Average）,（一）算術(shù)平均數(shù)的基本公式,※ 注意區(qū)分算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù),,標(biāo)志值和單位之間存在一一對應(yīng)關(guān)系,式中： —— 算術(shù)平均數(shù) —— 各單位的標(biāo)志值 n —— 總體單位數(shù) —— 總和符號,（二）簡單算術(shù)平均數(shù),適用于未分組資料,某生產(chǎn)小組有5名工人，生產(chǎn)某種零件，日產(chǎn)量（件）分別為12、13、14、14、15，則平均每個(gè)工人日產(chǎn)零件數(shù)為多少？,解：平均每個(gè)工人日

23、產(chǎn)零件數(shù)為：,式中： —— 算術(shù)平均數(shù) —— 各組數(shù)值 f —— 各組數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(即權(quán)數(shù)),（三）加權(quán)算術(shù)平均數(shù),適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況,這20名服裝營業(yè)員的平均月銷售量為：,某商場20名服裝營業(yè)員某月銷售量分組資料,,起到權(quán)衡輕重的作用,決定平均數(shù)的變動(dòng)范圍,算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算取決于變量值和權(quán)數(shù)的共同作用： 變量值決定平均數(shù)的范圍； 權(quán)數(shù)則決定平均數(shù)的位置,,

24、在掌握比重權(quán)數(shù)的情況下，可以直接利用權(quán)數(shù)系數(shù)來求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其公式為：,設(shè)某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。,,,,權(quán)數(shù)的選擇,根據(jù)指標(biāo)的含義，選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)數(shù)。,某公司所屬20個(gè)企業(yè)資金利潤率分組資料如下表，計(jì)算該公司20個(gè)企業(yè)的平均利潤率。,,加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因素的影響： 變量值大小的影響。次數(shù)多少的影響。,而簡單算術(shù)平均數(shù)只反映變量值大小這一因素的影響。,加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)不同在于：,

25、① 各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零,（四）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì),,,簡單平均數(shù)：,加權(quán)平均數(shù)：,② 各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)離差平方之和等于最小值,△ 算術(shù)平均數(shù)的兩點(diǎn)不足,易受極端變量值的影響，使 的代表性變??；受極大值的影響大于受極小值的影響；當(dāng)組距數(shù)列為開口組時(shí)，由于組中值不易確定，使 的代表性也不很可靠。,1）簡單調(diào)和平均數(shù),——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況,式中： 為調(diào)和平均數(shù); 為變量值

26、 的個(gè)數(shù)； 為第 個(gè)變量值。,調(diào)和平均數(shù)（Harmonic mean）是各個(gè)變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。,三、調(diào)和平均數(shù)(又稱“倒數(shù)平均數(shù)”),2）加權(quán)調(diào)和平均數(shù),——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況,式中： 為第 組的變量值； 為第 組的標(biāo)志總量。,——當(dāng)己知各組變量值和標(biāo)志總量時(shí)，作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。,因?yàn)椋?調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用,m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標(biāo)志值總量。,某廠工人工

27、資資料如表所示，求該廠工人的平均工資。,,,,,（一）由平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)時(shí)調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：,,已知某商品在三個(gè)集市貿(mào)易市場上的平均價(jià)格及銷售額資料如下表所示，求該商品的總平均價(jià)格。,,（二）由相對數(shù)計(jì)算平均數(shù)時(shí)調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：,已知某公司各企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成程度及實(shí)際完成數(shù)如表所示，求全公司計(jì)劃完成程度（即各企業(yè)平均計(jì)劃完成程度）。,,,,某公司有3個(gè)工廠，已知其計(jì)劃完成程度(%)及實(shí)際產(chǎn)值資料如下，求平均完成計(jì)劃程度。,,△ 調(diào)

28、和平均數(shù)的特點(diǎn),如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于零，則無法計(jì)算 ；,它作為一種數(shù)值平均數(shù)，受所有標(biāo)志值的影響；但較之算術(shù)平均數(shù)， 受極端值的影響要小。,四、幾何平均數(shù)(Geometric mean),,,幾何平均數(shù)又稱“對數(shù)平均數(shù)”,是若干項(xiàng)變量值連乘積開其項(xiàng)數(shù)次方的算術(shù)根。,應(yīng)用：,用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度,1）簡單幾何平均數(shù),——適用于總體資料未經(jīng)分組整理尚為原始資料的情況,式中： 為幾何平均數(shù); 為標(biāo)志值的項(xiàng)數(shù)； 為第

29、 個(gè)標(biāo)志值。,幾何平均數(shù)的計(jì)算方法,某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。,分析：,設(shè)最初投產(chǎn)100A個(gè)單位 ，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95）×0.92； ……第五道工序的合格品為（100A×0.95×0.92&#

30、215;0.90×0.85）×0.80；,因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品， 故該流水線總的合格品應(yīng)為 100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80 則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：,即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計(jì)算。,解：,思考,若上題中不是由五道連

31、續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個(gè)獨(dú)立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。,因各車間彼此獨(dú)立作業(yè)，所以有 第一車間的合格品為：100×0.95； 第二車間的合格品為：100×0.92； …… 第五車間的合格品為：100×0.80。則該企業(yè)全部合格品應(yīng)為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0

32、.95+……+100×0.80,分析：,不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。又因?yàn)?應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即,,解：,,這說明該廠車間產(chǎn)品平均合格率為92.31%,某機(jī)械廠有鑄造車間、機(jī)加工車間、裝配車間三個(gè)連續(xù)流水作業(yè)車間。本月份這三個(gè)車間產(chǎn)品合格率分別為95%、92%、90%，求平均車間產(chǎn)品合格率。,2）加權(quán)幾何平均數(shù),——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況,式中： 為幾何平均

33、數(shù); 為第 組的次數(shù)； 為組數(shù)； 為第 組的標(biāo)志值或組中值。,幾何平均數(shù)的計(jì)算方法,某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。,設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：,第1年末的本利和為：,第2年末的本利和為：,……… ………,第12年末的本利和為：,分析：,,則該筆本金12年總的本利率為：,即12年總本

34、利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計(jì)算平均年本利率應(yīng)采用幾何平均法。,解：,分析,第1年末的應(yīng)得利息為：,第2年末的應(yīng)得利息為：,第12年末的應(yīng)得利息為：,…… ……,則該筆本金12年應(yīng)得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）,這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的

35、方法計(jì)算。因?yàn)?假定本金為V,,所以，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算平均年利息率，即：,解：,（比較：按復(fù)利計(jì)息時(shí)的平均年利率為6.85﹪）,受極端值的影響較 和 小,△ 幾何平均數(shù)的特點(diǎn),如果數(shù)列中有一個(gè)標(biāo)志值等于零或負(fù)值，就無法計(jì)算G,是否為比率或速度,各個(gè)比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度,是否為其他比值,,算術(shù)平均法,求解調(diào)和平均數(shù)的方法,數(shù)值平均數(shù)計(jì)算公式的選用順序,指標(biāo),由定義可看出眾數(shù)存在的條件：,五、

36、眾數(shù)（Mode）,眾數(shù)是在總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)標(biāo)志值。,① 只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時(shí)才存在眾數(shù)。,若有兩個(gè)次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱雙眾數(shù)。,下三圖無眾數(shù)：,② 在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時(shí)，計(jì)算眾數(shù)是沒有意義的。,某種商品的價(jià)格情況,眾數(shù)M0=3.00(元),出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。,根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)：,2.利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。,1.確定眾數(shù)所在組；,下限公式：,上限公式：,根

37、據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)：,其中：,表中70-80，即眾數(shù)所在組。,△ 眾數(shù)的特點(diǎn),眾數(shù)是一個(gè)位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標(biāo)志值的影響，從而增強(qiáng)了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。,眾數(shù)是一個(gè)不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時(shí)，則無眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時(shí)，眾數(shù)的位置也不好確定。,六、中位數(shù) （Median）,將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，

38、居于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值就是中位數(shù)。,中位數(shù)把標(biāo)志值數(shù)列分為兩個(gè)部分,一部分標(biāo)志值小于或等于它,另一部分標(biāo)志值大于或等于它。,中位數(shù)的作用：,不受極端數(shù)值的影響，在總體標(biāo)志值差異很大時(shí)，具有較強(qiáng)的代表性。主要用于測度順序數(shù)據(jù)的集中趨勢，表示現(xiàn)象的一般水平。,1、將標(biāo)志值按大小順序排列。2、確定中點(diǎn)位置。3、確定中位數(shù)。 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，則處于中間位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，則處于中間位置的兩個(gè)標(biāo)志值的算

39、術(shù)平均數(shù)就是中位數(shù)。,根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)：,n為奇數(shù)時(shí)等于第(n+1)/2個(gè)數(shù)。n為偶數(shù)時(shí)等于第n/2和n/2+1個(gè)數(shù)的平均值,1，2 ，5，9 ，11,中位數(shù)=5,1，2 ，5 ， 9，11，18,中位數(shù)=（5+9）/2=7,1、計(jì)算各組的向上（或向下）累計(jì)頻數(shù)2、確定中位數(shù)所在組 單項(xiàng)數(shù)列——該組的標(biāo)志值即為所求中位數(shù) 組距數(shù)列——3、按公式計(jì)算中位數(shù) 下限公式

40、 上限公式,,,根據(jù)分組資料確定中位數(shù)：,某村居民戶按子女?dāng)?shù)分組資料如表所示，求家庭子女?dāng)?shù)的中位數(shù)。,單項(xiàng)數(shù)列,,某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：,,組距數(shù)列,根據(jù)下表資料計(jì)算農(nóng)戶年均純收入中位數(shù)。,,,下限公式：,,上限公式：,① 中位數(shù)是一種位置平均數(shù)，不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。,② 各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和是個(gè)最小值。,③ 對某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平。,中位數(shù)

41、的特點(diǎn),（一）,三者的關(guān)系,七、各種平均數(shù)之間的相互關(guān)系,用同一資料計(jì)算的結(jié)果，幾何平均數(shù)大于調(diào)和平均數(shù)而小于算術(shù)平均數(shù)，只有當(dāng)所有變量值都相等時(shí)，這三種平均數(shù)才相等。,1.當(dāng)總體分布呈對稱狀態(tài)時(shí)，三者合而為一,（算術(shù)平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù)）,2. 當(dāng)總體分布呈非對稱狀態(tài)時(shí),所以,,,,當(dāng)分布只是適當(dāng)偏態(tài)時(shí)，三者之間的數(shù)量關(guān)系是：,根據(jù)卡爾·皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式，還可以推算出：,,,,一組工人的月收入眾數(shù)為2800元，月收入的

42、算術(shù)平均數(shù)為3100元，則月收入的中位數(shù)近似值是：,（一）平均指標(biāo)只能適用于同質(zhì)總體,八、平均指標(biāo)的運(yùn)用原則,（二）用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù),（三）用分配數(shù)列補(bǔ)充說明平均數(shù),第四節(jié) 變異指標(biāo),（離散程度）,1.可以衡量平均數(shù)代表性的大小,一、變異指標(biāo)的含義和作用,各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度，稱離中趨勢。描述離中趨勢用離散指標(biāo)，也稱變異指標(biāo)，就是綜合反映總體各單位標(biāo)志值差異程度的指標(biāo)。,變異指標(biāo)的作用：,離散指標(biāo)愈大，平均數(shù)代表性愈小

43、；離散指標(biāo)愈小，平均數(shù)代表性愈大。,甲、乙兩學(xué)生某次考試成績列表,甲、乙兩學(xué)生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。,甲、乙兩鋼鐵企業(yè)某年第一季度供貨計(jì)劃完成程度統(tǒng)計(jì)表,兩企業(yè)供貨計(jì)劃雖然都完成了，但計(jì)劃執(zhí)行的均衡性不同，甲企業(yè)按月均衡地完成了規(guī)定的季度供貨計(jì)劃，而乙企業(yè)則前緊后松，缺乏均衡

44、性。,2.可用來反映社會(huì)生產(chǎn)和其他社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程的均衡性或協(xié)調(diào)性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。,3.確定抽樣數(shù)目和計(jì)算抽樣誤差的必要依據(jù),常用的離散指標(biāo)主要有： 全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、變異系數(shù)等。,在抽樣推斷中，計(jì)算抽樣平均誤差和必要抽樣數(shù)目的時(shí)，都需要方差或標(biāo)準(zhǔn)差。,（一）全距（Range）的概念與計(jì)算：,二、全距 R,全距是總體各單位標(biāo)志值最大值和最小值之差，用以說明總體中標(biāo)志值變動(dòng)范圍的大小。,全距數(shù)值愈小，反映變量值

45、愈集中，標(biāo)志變動(dòng)度愈??；全距數(shù)值愈大，反映變量值愈分散，標(biāo)志變動(dòng)度愈大。,（二） 全距的特點(diǎn),① 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算方便，易于理解。,② 缺點(diǎn)：全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定標(biāo)志變動(dòng)度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標(biāo)志的變異程度。,往往應(yīng)用于生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制中。,三、平均差 A.D.,（一）平均差（Average Deviation）的概念和計(jì)算,平均差是數(shù)列中各單位標(biāo)志值與平均數(shù)之間絕對離差的平均數(shù)。,平均差能夠綜合反映總體中

46、各單位標(biāo)志值變動(dòng)的影響。平均差愈大，表示標(biāo)志變異度愈大，則平均數(shù)代表性愈小；反之，平均差愈小，表示標(biāo)志變異度愈小，則平均數(shù)代表性愈大。,平均差的計(jì)算：,1.未分組資料,2.分組資料,以某車間100個(gè)工人按日產(chǎn)量編成變量數(shù)列的資料：,,① 平均差是根據(jù)全部標(biāo)志值與平均數(shù)離差而計(jì)算 出的變異指標(biāo)，能全面反映標(biāo)志值的差異程度；,② 平均差計(jì)算有絕對值符號，不適合代數(shù)方法的 演算使其應(yīng)用受到限制。,（二）平均差的特點(diǎn),四、標(biāo)準(zhǔn)差 S

47、.D.(σ)和方差,（一）標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation）概念和計(jì)算：,標(biāo)準(zhǔn)差是離差平方平均數(shù)的平方根，是方差的平方根，又稱“均方差”。其意義與平均差基本相同。,1.未分組資料,2.分組資料,標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算：,計(jì)算σ的一般步驟：,① 算出每個(gè)變量值對平均數(shù)的離差；② 將每個(gè)離差平方；③ 計(jì)算這些平方數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)；④ 把得到的數(shù)值開平方，即得到σ。,,標(biāo)準(zhǔn)差的簡捷法公式,未分組資料,分組資料,,對同一資料，所求的平均

48、差一般比標(biāo)準(zhǔn)差要小，即A.D.≤σ,（二）標(biāo)準(zhǔn)差σ與平均差A(yù).D.的關(guān)系,（三）標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用,1.測度分布偏度,2.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分,3.在抽樣推斷時(shí)計(jì)算抽樣誤差。,交替標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差,交替標(biāo)志又叫是非標(biāo)志?？傮w中的所有單位，如按某一標(biāo)志分組，其中一部分具有某種特征，而另一部分不具有該種特征，它們在總體中會(huì)交替出現(xiàn)，則稱此標(biāo)志為交替標(biāo)志。例如，將全部產(chǎn)品分為合格品與非合格品兩組；將全部人口分為男性和女性兩組等。,交替標(biāo)志不是數(shù)量標(biāo)志，而是品質(zhì)

49、標(biāo)志，它的表現(xiàn)只有兩種：“是”與“非”，或“有”與“無”等。要測定其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，須將標(biāo)志表現(xiàn)性質(zhì)上的差異轉(zhuǎn)化為數(shù)量表現(xiàn)的差異。通常以1表示總體中具有某種性質(zhì)的單位的標(biāo)志值；以0表示總體中不具有該種性質(zhì)的單位的標(biāo)志值。例如，將“合格品”用標(biāo)志值1表示，則“不合格品”的標(biāo)志值為0；將“男”的標(biāo)志值定為1，則“女”的標(biāo)志值就為0。通過這種轉(zhuǎn)化，即可計(jì)算交替標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。,設(shè)總體單位數(shù)為 ，具有某種特征的單位數(shù)為 ，

50、不具有某種特征的單位數(shù)為 。,假設(shè)具有某種特征的單位數(shù)占總體單位總數(shù)的比重為 ，不具有某種特征的單位數(shù)占總體單位總數(shù)的比重為 。,交替標(biāo)志平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表,交替標(biāo)志的算數(shù)平均數(shù)為：,交替標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差為：,某工廠生產(chǎn)10000件產(chǎn)品，其中不合格品100件，試求該批產(chǎn)品的平均合格率及其標(biāo)準(zhǔn)差。,解：該批產(chǎn)品的平均合格率,該批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)差,五、變異系數(shù),變異系數(shù)，也稱離散系數(shù)，是各種變異指標(biāo)與平均數(shù)的比率。反映總體各單位

51、標(biāo)志值的相對離散程度，最常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。,標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)計(jì)算公式為：,離散系數(shù)值越小，說明平均數(shù)代表性就越好；離散系數(shù)值越大，說明平均數(shù)代表性就越差。,,而斷言甲組離散程度大于乙組，或乙組的平均數(shù)代表性高于甲組，都是不妥的。因?yàn)檫@兩組的水平相差懸殊，應(yīng)計(jì)算離散系數(shù)來比較：,分布形狀的描述,集中趨勢和離散程度是數(shù)據(jù)分布的兩個(gè)重要特征，但要全面了解數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)，還需要知道數(shù)據(jù)是否對稱、偏斜的程度以及分布的扁平程度等，也就是數(shù)據(jù)的分布形狀。

52、分布形狀的描述用偏度和峰度。,一、分布形狀及其描述指標(biāo),（一）根據(jù)未分組的資料計(jì)算偏度系數(shù) 其計(jì)算公式為：其中， 是標(biāo)準(zhǔn)差的三次方。,,,偏度是對分布偏斜方向和程度的測度。測度偏斜的程度需計(jì)算偏度系數(shù)。,偏度系數(shù)測度了數(shù)據(jù)分布的非對稱性程度。如果一組數(shù)據(jù)的分布是對稱的，則偏度系數(shù)等于零；如果偏度系數(shù)不等于零，表明分布是非對稱的。,二、偏度系數(shù),（二）根據(jù)分組資料計(jì)算偏度系數(shù) 根據(jù)已分組的資料計(jì)算偏

53、度系數(shù)，可采用下面的公式：,,當(dāng)分布對稱時(shí)，離差三次方后正負(fù)離差可以相互抵消，因而SK的分子等于零，則SK=0； 當(dāng)分布不對稱時(shí)，正負(fù)離差不能抵消，就形成了正或負(fù)的偏度系數(shù)SK。 當(dāng)SK為正值時(shí)，表示正偏離差值較大，可以判斷為正偏或右偏；反之，當(dāng)SK為負(fù)值時(shí)，表示負(fù)偏離差值較大，可以判斷為負(fù)偏或左偏。 在計(jì)算時(shí)，將離差三次方的平均數(shù)除以 是將偏度系數(shù)轉(zhuǎn)化為相對數(shù)。SK的數(shù)值越大，表示偏斜的程度越大

54、。,,峰度是分布集中趨勢高峰的形狀。它通常是與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比較而言的。若分布的形狀比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布更瘦更高，則稱為尖峰分布。若比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布更矮更平則稱為平峰分布。對數(shù)據(jù)分布峰度的度量值，稱為峰度系數(shù)。,,（一）根據(jù)未分組資料計(jì)算峰度系數(shù),在根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算峰度系數(shù)K時(shí)，其計(jì)算公式如下：,三、峰度系數(shù),（二）根據(jù)分組資料計(jì)算峰度系數(shù),根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算峰度系數(shù)是用離差四次方的平均數(shù)再除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方，其計(jì)算公式如下： 公