工程數(shù)學(xué)第4講

1、1,工程數(shù)學(xué)第4講,2,柯西-古薩基本定理 如果函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析, 則它在B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:,,,,C,B,3,定理中的曲線C可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域B.如果曲線C是B的邊界, 函數(shù)f(z)在B內(nèi)與C上解析, 即在閉區(qū)域B+C上解析, 甚至f(z)在B內(nèi)解析, 在閉區(qū)域B+C上連續(xù), 則f(z)在邊界上的積分仍然有,4,,假設(shè)f(z)=u+iv 在單連通域B內(nèi)處處

2、解析,,所以 u和 v以及他們的偏導(dǎo)數(shù)在B內(nèi)都連續(xù),并滿足C-R條件,5,6,§3 基本定理的推廣,復(fù)合閉路定理,7,可將柯西-古薩基本定理推廣到多連通域的情況. 設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析, C為D內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線, 當(dāng)C的內(nèi)部不完全含于D時(shí), 沿C的積分就不一定為零.假設(shè)C及C1為D內(nèi)任意兩條(正向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?簡(jiǎn)單閉曲線, C1在C內(nèi)部, 而且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全含于D. 作兩條不相交的弧線AA

3、'及BB',其中A,B在C上, A'B'在C1上這樣構(gòu)成兩條全在D內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線AEBB‘E’A‘AE及AA’F‘B’BFA.,8,,D1,9,將上面兩等式相加, 得,10,(3.3.1)說(shuō)明, 如果將C及C1-看成一條復(fù)合閉路G, 其正向?yàn)?沿C逆時(shí)針, 沿C1-順時(shí)針, 則,(3.3.2)說(shuō)明, 在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值, 只要在變形過(guò)程中不經(jīng)過(guò)

4、函數(shù)f(z)不解析的點(diǎn). 這一重要事實(shí), 稱為閉路變形原理,11,,,,,,,,,變形過(guò)程中不能夠經(jīng)過(guò)f(z)不解析的點(diǎn),12,定理(復(fù)合閉路定理) 設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線, C1,C2,...,Cn是在C內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線, 它們互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ..., Cn為邊界的區(qū)域全含于D. 如果f(z)在D內(nèi)解析, 則,G為由C及Ck(k=1,2,...,n)所組成的復(fù)合閉路(C按逆時(shí)針, Ck

5、按順時(shí)針,13,,,,D,,,,,,,,C,C1,C2,C3,14,例如 從本章§1的例2知: 當(dāng)C為以z0為中心的正向圓周時(shí),,15,[解] 函數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)除z=0和z=1兩個(gè)奇點(diǎn)外是處處解析的. 由于G 是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線, 因此, 它也包含這兩個(gè)奇點(diǎn). 在G 內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2, C1只包含奇點(diǎn)z=0, C2只包含奇點(diǎn)z=1

6、.,例 計(jì)算 的值, G為包含圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線.,16,則根據(jù)復(fù)合閉路定理的i), 可得,,,,x,y,O,,,,1,,,,G,C1,C2,17,18,19,Ex P99 1. 7. 2) 9. 1),20,§4 原函數(shù)與不定積分,21,定理一 如果函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,

7、 則積分 與連接起點(diǎn)及終點(diǎn)的路線C無(wú)關(guān).,,,,,,,,,z1,z2,B,C1,C2,,,,,,,z1,z2,C1,C2,B,22,由定理一可知, 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)z0和終點(diǎn)z1有關(guān), 如圖所示, 我們有,,,,,,,,,z1,z2,B,C1,C2,,,,,,,z1,z2,C1,C2,B,23,固定z0, 讓z1在B內(nèi)變動(dòng), 令z1=z, 則積分,在B內(nèi)確定了一個(gè)單值函數(shù),對(duì)

8、這個(gè)函數(shù)我們有定理二 如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析, 則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù), 并且F '(z)=f(z).,24,[證] 從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來(lái)證. 設(shè)z為B內(nèi)任意一點(diǎn), 以z為中心作一含于B內(nèi)的小圓K, 取|Dz|充分小使z+Dz在K內(nèi). 于是由(3.4.1)得,,,,,,,,,,z+Dz,z,K,z,z0,25,26,則任給e>0, 存在d>0, 當(dāng)|z-z|<d即|Dz|<

9、;d時(shí), 總有|f(z)-f(z)|<e, 因此,27,定義 如果函數(shù)j(z)在區(qū)域D內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z), 即j '(z)=f(z), 則稱j(z)為f(z)在區(qū)域B內(nèi)的原函數(shù).,f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù). 設(shè)G(z)和H(z)是f(z)的兩個(gè)原函數(shù), 則[G(z)-H(z)]'=G '(z)-H '(z)=f(z)-f(z)=0.所以G(z)-H(z)=c, c為

10、任意常數(shù).,28,因此, 如果函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)F(z), 則它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù), 而且具有一般表達(dá)式F(z)+c, c為任意常數(shù).跟在微積分學(xué)中一樣, 定義: f(z)的原函數(shù)的一般形式F(z)+c(其中c為任意常數(shù).)為f(z)的不定積分, 記作,29,定理三 如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析, G(z)為f(z)的一個(gè)原函數(shù), 則,這里z0, z1為域B內(nèi)的兩點(diǎn).[證] 因?yàn)?

11、 也是f(z)的原函數(shù), 所以,30,當(dāng)z=z0時(shí), 根據(jù)柯西-古薩基本定理, c=-G(z0),有了原函數(shù), 不定積分和積分計(jì)算公式(3.4.2), 復(fù)變函數(shù)的積分就可用微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.,31,例1 求積分 的值,[解] 函數(shù)zcos z在全平面內(nèi)解析, 容易求得它有一個(gè)原函數(shù)為zsin z+cos z. 所以,32,例2 試沿區(qū)域Im(z)?0, Re(z)?

12、0內(nèi)的圓弧|z|=1, 計(jì)算積分,[解] 函數(shù) 在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析.,33,34,§5 柯西積分公式,35,36,既然沿圍繞z0的任何簡(jiǎn)單閉曲線積分值都相同. 則取以z0為中心, 半徑為d的很小的圓周|z-z0|=d(取其正向)作為積分曲線C. 由于f(z)的連續(xù)性, 在C上的函數(shù)f(z)的值將隨著d的縮小而逐漸接近于它在圓心z0處的值, 從而使我們猜想積分

13、 的值也將隨著d的縮小而接近于,37,其實(shí)兩者是相等的, 即,我們有下面的定理.定理(柯西積分公式) 如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析, C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線, 它的內(nèi)部完全含于D, z0為C內(nèi)的任一點(diǎn), 則,38,[證] 由于f(z)在z0連續(xù), 任給e>0, 存在d(e)>0, 當(dāng)|z-z0|<d時(shí), |f(z)-f(z0)|<e. 設(shè)以z0為中心, R為半徑的圓周K:|z-z0|

14、=R全部在C的內(nèi)部, 且R<d.,,,,,,,,,D,C,K,z,z0,R,39,40,這表明不等式右端積分的?？梢匀我庑? 只要R足夠小就行了, 根據(jù)閉路變形原理, 該積分的值與R無(wú)關(guān), 所以只有在對(duì)所有的R積分為值為零才有可能, 因此, 由(3.5.2)即得要證的(3.5.1)式.,41,(3.5.1)式稱為積西積分公式.如果C是圓周z=z0+Reiq, 則(3.5.1)式成為,即, 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的

15、平均值.,42,例 求下列積分(沿圓周方向)的值:,[解] 由(3.5.1)得,43,44,§6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù), 而且有各高階導(dǎo)數(shù), 它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示. 這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同. 一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo), 它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說(shuō)它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.,45,定理 解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 它的n階導(dǎo)數(shù)為:,其中C為在函數(shù)f

16、(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D.,46,[證] 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn), 先證n=1的情形, 即,因此就是要證,47,按柯西積分公式有,48,因此,49,現(xiàn)要證當(dāng)Dz?0時(shí)I?0, 而,,,D,,,,z0,d,C,50,f(z)在C上連續(xù), 則有界, 設(shè)界為M, 則在C上有|f(z)|?M. d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離, 則取|Dz|適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|<d/2,,,,D,,,,z0

17、,d,C,51,因此,,L是C的長(zhǎng)度,52,這就證得了當(dāng)Dz?0時(shí),I?0, 也就證得了,再利用同樣的方法去求極限:,這里已經(jīng)證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).,53,依此類推, 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:,此公式可以這樣記憶: 把柯西積分公式(3.5.1)的兩邊對(duì)z0求導(dǎo)數(shù), 右邊求導(dǎo)在積分號(hào)下進(jìn)行, 求導(dǎo)時(shí)把被積函數(shù)看作是z0的函數(shù), 而把z看作常數(shù).高階導(dǎo)數(shù)公式的作用, 不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo), 而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.,54,

18、[解] 1) 函數(shù) 在C內(nèi)的z=1處不解析, 但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的. 根據(jù)(3.6.1)有,例1 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: |z|=r>1.,55,,,,,,,,,,O,,,,C1,C2,C,i,-i,x,y,56,根據(jù)復(fù)合閉路定理,,57,證 設(shè)A=|f(z0)|, 令e = A/2, 則存在d>0使得當(dāng) |z-z0|<d時(shí), 有|f(z)-f(

19、z0)|<e, 則,58,由(3.6.1)有,59,60,作業(yè)第一章第29題設(shè)函數(shù)f(z)在z0連續(xù)且f(z0)?0, 那末可找到z0的小鄰域, 在這鄰域內(nèi)f(z0)?0.,z0,f(z0),61,作業(yè) 第三章習(xí)題,第99頁(yè)第7題第1),3),5)7),9)第9題第1),2)第8題第1), 4),62,§7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,63,定理 任何在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).