工程數(shù)學(xué)第6講

1、1,工程數(shù)學(xué)第6講,2,§4 洛朗級數(shù),3,一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z), 可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù). 如果f(z)在z0處不解析, 則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示. 但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到. 因此, 在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.,4,討論下列形式的級數(shù):,可將其分為兩部分考慮,5,,只有在正冪項和負冪項都收斂才認為(4.4.1)式收斂于

2、它們的和.正冪項是一冪級數(shù), 設(shè)它的收斂半徑為R2, 對負冪項, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到,6,這是z的冪級數(shù), 設(shè)收斂半徑為R, 令R1=1/R, 則當(dāng)|z-z0|>R1時, z<R, (4.4.4)收斂即(4.4.3)收斂,因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域, 級數(shù)(4.4.1)才收斂.,,7,,,,,,z0,R1,R2,8,例如級數(shù),9,冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), 級數(shù)(4.

3、4.1)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如, 可以證明, 級數(shù)(4.4.1)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求導(dǎo).現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成級數(shù)?先看下例.,10,11,其次,在圓環(huán)域:0<|z-1|<1內(nèi)也可以展開為級數(shù):,12,,,,,1,O,x,,,y,13,定理 設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)解析, 則,C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條閉曲線.,1

4、4,[證] 設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點, 在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2, K2的半徑R大于K1的半徑r, 且使z在K1與K2之間.,,,,,R1,,R2,,z,,z0,15,由柯西積分公式得,16,17,18,因此有,19,20,級數(shù)(4.4.5)的系數(shù)由不同的式子(4.4.6)與(4.4.7) 表出. 如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡單閉曲線C, 則根據(jù)閉路變形原理, 這兩個式子可用一個式子來表示:,21,,,,C,

5、z0,,R1,,,R2,22,(4.4.5)稱為函數(shù)f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域:R1<|z-z0|<R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式, 它右端的級數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù). 級數(shù)中正整次冪和負整次冪分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分.,23,一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負冪項的級數(shù)是唯一的, 這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù).事實上, 假定f(z)在圓環(huán)域R1<|z-z0|<R

6、2內(nèi)用某種方法展成了由正負冪項組成的級數(shù):,24,以(z-z0)-p-1去乘上式兩邊, 這里p為任一整數(shù), 并沿C沿分, 得,這就是(4.4.8),25,用(4.4.8)計算cn要求環(huán)積分, 過于麻煩, 因此一般不用. 一般是根據(jù)由正負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性, 可以用別的方法, 特別是代數(shù)運算, 代換, 求導(dǎo)和積分等方法去展開, 以求得洛朗級數(shù)的展開式.例如:,26,,,,例1 函數(shù)

7、 在圓環(huán)域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+?;內(nèi)是處處解析的, 試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).,1,,1,2,,2,27,[解] 先把f(z)用部分分式表示:,28,ii) 在1<|z|<2內(nèi),29,iii) 在2<|z|<+?內(nèi),30,例2 把函數(shù),[解] 因有,31,例3 求下列積分的值:,32,

8、33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,第五章 留數(shù),§1 孤立奇點,45,函數(shù)不解析的點為奇點.如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析, 但在z0的某一個去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析, 則z0稱為f(z)的孤立奇點.,將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù). 根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點作分類.,46,1.可去奇點: 如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負冪

9、項, 則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點.,47,這時, f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù):f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....因此, 這個冪級數(shù)的和函數(shù)F(z)是在z0解析的函數(shù), 且當(dāng)z?z0時, F(z)=f(z); 當(dāng)z=z0時, F(z0)=c0. 由于,48,所以不論f(z)原來在z0是否有定義, 如果令f(z0)=c0, 則在圓域|z-z0|<

10、d內(nèi)就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了. 由于這個原因, 所以z0稱為可去奇點.,49,50,2. 極點 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負冪項, 且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+...

11、 (m?1, c-m?0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點. 上式也可成,其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù), 且g(z0)?0.,51,反過來, 當(dāng)任何一個函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式, 且g(z0)?0時, 則z0是f(z)的m級極點.如果z0為f(z)的極點, 由(5.1.1)式, 就有,52,3. 本性奇點

12、 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個z-z0的負冪項, 則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.,中含有無窮多個z的負冪項.,53,在本性奇點的鄰域內(nèi), 函數(shù)f(z)有以下的性質(zhì)(證明從略): 如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點, 則對任意給定的復(fù)數(shù)A, 總可以找到一個趨向于z0的數(shù)列, 當(dāng)z沿這個數(shù)列趨向于z0時, f(z)的值趨向于A.,54,例如, 給定復(fù)數(shù)A=i, 我們把它寫成,55,綜上所述,56,4.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系

13、 不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),(5.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z0)?0, m為某一正整數(shù), 則z0稱為f(z)的m級零點.,57,例如當(dāng)f(z)=z(z-1)3時, z=0與z=1是它的一級與三級零點, 根據(jù)這個定義, 我們可以得到以下結(jié)論:如f(z)在z0解析, 則z0是f(z)的m級零點的充要條件是f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1)

14、, f(m)(z0)?0 (5.1.3),58,這是因為, 如果f(z)在z0解析, 就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數(shù):f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+...易證z0是f(z)的m級零點的充要條件是前m項系數(shù)c0=c1=...=cm-1=0, cm?0,這等價于 f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f(m)(z0)?0 (5.1.3) 例如z=1是f(z

15、)=z3-1的零點, 由于f '(1)=3z2|z=1=3?0, 從而知z=1是f(z)的一級零點.,59,由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析, 且j(z0)?0, 因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零. 這是因為j(z)在z0解析, 必在z0連續(xù), 所以給定,所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零, 即不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.,60,作業(yè) 第五章習(xí)題,第183頁第1題: 1),2)第2題,