第6講dea模型

1、第六講 多目標(biāo)決策之:數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)分析,,一、多目標(biāo)決策問題實(shí)例,干部評(píng)估－德、才兼?zhèn)浣處煏x升－教學(xué)數(shù)量、質(zhì)量、科研成果購(gòu)買冰箱－價(jià)格、質(zhì)量、耗電、品牌等球員選擇－技術(shù)、體能、經(jīng)驗(yàn)、心理找對(duì)象－容貌、學(xué)歷、氣質(zhì)、家庭狀況,多目標(biāo)決策的基本概念,二、多目標(biāo)決策問題特點(diǎn)決策目標(biāo)多于一個(gè)目標(biāo)間存在不可公度性，即各個(gè)目標(biāo)間沒有統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)，如大型水電開發(fā)方案決策問題中發(fā)電目標(biāo)是多少度或多少電費(fèi)，而環(huán)境改善目標(biāo)無法

2、折算成貨幣標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)間的矛盾性，某個(gè)目標(biāo)的改進(jìn)必然導(dǎo)致另外某些目標(biāo)的劣化。,,三、多目標(biāo)決策與單目標(biāo)決策區(qū)別,點(diǎn)評(píng)價(jià)與向量評(píng)價(jià) 單目標(biāo)： 方案dj ←評(píng)價(jià)值f(dj) 多目標(biāo)：方案dj←評(píng)價(jià)向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))決策者偏好：多目標(biāo)決策過程中，反映決策者對(duì)目標(biāo)的偏好。,四、多目標(biāo)決策問題的分類,多屬性決策問題（Multi Attribute decision making proble

3、m)：決策變量是離散的，決策方案的數(shù)量是有限的，因此有時(shí)也稱為有限方案多目標(biāo)決策問題。多目標(biāo)決策問題（Muliti objective decision making problem)：決策變量是連續(xù)的，決策方案為無限多，因此，有時(shí)也稱為無限多方案多目標(biāo)決策問題多準(zhǔn)則決策問題（Multi criterion decision making problem),通常指多目標(biāo)和多屬性決策。國(guó)內(nèi)用的比較混亂。國(guó)外一般用多準(zhǔn)則決策.,多目標(biāo)

4、決策相關(guān)術(shù)語,屬性：備選方案的特征、品質(zhì)、性能參數(shù)目標(biāo)：決策希望達(dá)到目的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則：判斷事務(wù)的標(biāo)準(zhǔn)，兼指屬性和目標(biāo),多目標(biāo)決策解的概念,單目標(biāo)決策的解只 有一種（絕對(duì)）最優(yōu)解多目標(biāo)決策的解有下面四種情況：絕對(duì)最優(yōu)解劣解有效解(pereto解)弱有效解（weak efficient solution）,多目標(biāo)問題的解,為決策變量,如對(duì)于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對(duì)最優(yōu)解：若對(duì)于任意的X，都有F（X*）≥F(X

5、)有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X),層次分析法（AHP）數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA)主成分分析法(PCA)目標(biāo)規(guī)劃方法TOPSIS方法或理想點(diǎn)法多目標(biāo)規(guī)劃法模糊決策法,五、常用多目標(biāo)決策方法,一、 DEA方法介紹,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978，

6、以相對(duì)效率概念為基礎(chǔ)提出來的一種效率評(píng)價(jià)方法。該方法的原理主要是通過保持決策單元（DMU：,Decision Making Units） 的輸入或者輸入不變，借助于數(shù)學(xué)規(guī)劃和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定相對(duì)有效的生產(chǎn)前沿面，將各個(gè)決策單元投影到DEA的生產(chǎn)前沿面上，并通過比較決策單元偏離DEA前沿面的程度來評(píng)價(jià)它們的相對(duì)有效性。,1978年，著名運(yùn)籌學(xué)家、美國(guó)德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：

7、“Measuring the efficiency of decision making units”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運(yùn)籌學(xué)雜志”上。正式提出了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡(jiǎn)稱 C2R 模型。該模型用以評(píng)價(jià)部門間的相對(duì)有效性（因此被稱為DEA有效）。,,,DEA 是應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來評(píng)價(jià)具有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出的“部門”或“單位”的相對(duì)有效性的。根據(jù)各DMU的觀察數(shù)據(jù)判斷其是否有效，本質(zhì)上是判斷DM

8、U 是否位于生產(chǎn)可能集的“前沿面”上。 應(yīng)用DEA 方法和模型可以確定生產(chǎn)前沿面的結(jié)構(gòu)，因此又可以將DEA 看作是一種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法。特別當(dāng)DEA 被用來研究多輸入、多輸出的生產(chǎn)函數(shù)理論時(shí)，由于不需要預(yù)先估計(jì)參數(shù)，因而在避免主觀因素和簡(jiǎn)化算法、減少誤差等方面有著巨大的優(yōu)越性。,,數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(即DEA)也可以看作是一種統(tǒng)計(jì)分析的新方法，它是根據(jù)一組關(guān)于輸入－輸出的觀察值來估計(jì)有效生產(chǎn)前沿面的。在有效性的評(píng)價(jià)方面，除了

9、DEA方法以外，還有其它的一些方法，但是那些方法幾乎僅限于單輸出的情況。相比之下，DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力是具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的。并且，DEA方法不僅可以用線性規(guī)劃來判斷決策單元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是否位于有效生產(chǎn)前沿面上，同時(shí)又可獲得許多有用的管理信息。因此，它比其它的一些方法（包括采用統(tǒng)計(jì)的方法）優(yōu)越，用處也更廣泛。,,DEA也可以用來研究多種方案之間的相對(duì)有效性（例如投資項(xiàng)目評(píng)價(jià)）；研究在做決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出決策后它的相對(duì)

10、效果如何（例如建立新廠后，新廠相對(duì)于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進(jìn)行政策評(píng)價(jià)． 特別值得指出的是，DEA方法是純技術(shù)性的，與市場(chǎng)（價(jià)格）可以無關(guān)。只需要區(qū)分投入與產(chǎn)出，不需要對(duì)指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理，可以直接進(jìn)行技術(shù)效率與規(guī)模效率的分析而無須再定義一個(gè)特殊的函數(shù)形式，而且對(duì)樣本數(shù)量的要求不高，這是別的方法所無法比擬的。,,近30 年來，已經(jīng)有數(shù)以千計(jì)關(guān)于DEA 的研究論文、工作報(bào)告和博士論文等發(fā)表。

11、某些運(yùn)籌學(xué)或經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要刊物，如：Annals of Operational Research （1985），European Journal ofOperational Research （1992），Journal of Productivity Analysis（1992），Journal of Econometic （1990） 以及Computers and Operations Research 等都出版了DEA 研究的特刊

12、。 在國(guó)外，DEA方法已經(jīng)成功地應(yīng)用于銀行、城市、醫(yī)院、學(xué)校及軍事等方面效率的評(píng)價(jià)，在對(duì)相互之間存在激烈競(jìng)爭(zhēng)的私營(yíng)企業(yè)和公司的效率評(píng)價(jià)中，也顯示出巨大的優(yōu)越性。在國(guó)內(nèi)，經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域的許多方面，DEA方法都得到了重要的應(yīng)用。,DEA方法以相對(duì)效率概念為基礎(chǔ)，以凸分析和線形規(guī)劃為工具的一種評(píng)價(jià)方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型計(jì)算比較決策單元之間的相對(duì)效率，對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象做出評(píng)價(jià)，它能充分考慮對(duì)于決策單元本身最優(yōu)的投入產(chǎn)出方案，因而能夠更理想

13、地反映評(píng)價(jià)對(duì)象自身的信息和特點(diǎn)；同時(shí)對(duì)于評(píng)價(jià)復(fù)雜系統(tǒng)的多投入多產(chǎn)出分析具有獨(dú)到之處。,DEA方法的特點(diǎn)：（1）適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評(píng)價(jià)問題，在處理多輸出-多輸入的有效性評(píng)價(jià)方面具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)；（2）DEA方法并不直接對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合，因此決策單元的最優(yōu)效率指標(biāo)與投入指標(biāo)值及產(chǎn)出指標(biāo)值的量綱選取無關(guān)，應(yīng)用DEA方法建立模型前無須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理（當(dāng)然也可以）。,（3）無須任何權(quán)重假設(shè)，而以決策單元輸入輸出的實(shí)際數(shù)據(jù)求得最

14、優(yōu)權(quán)重，排除了很多主觀因素，具有很強(qiáng)的客觀性（4）DEA方法假定每個(gè)輸入都關(guān)聯(lián)到一個(gè)或者多個(gè)輸出，且輸入輸出之間確實(shí)存在某種聯(lián)系，但不必確定這種關(guān)系的顯示表達(dá)式,,二、 DEA基本原理和模型,一、DEA模型概述 對(duì)具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時(shí)期的相對(duì)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)，這些部門、企業(yè)或時(shí)期稱為決策單元。評(píng)價(jià)的依據(jù)是決策單元的一組投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)。 投入指標(biāo)是指決策單元在經(jīng)濟(jì)和管理活動(dòng)中

15、需要耗費(fèi)的經(jīng)濟(jì)量，例如固定資產(chǎn)原值、流動(dòng)資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 產(chǎn)出指標(biāo)是指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)產(chǎn)生成效的經(jīng)濟(jì)量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動(dòng)生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤(rùn)率等。,,指標(biāo)數(shù)據(jù)是指實(shí)際觀測(cè)結(jié)果，根據(jù)投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)決策單元的相對(duì)效率，即評(píng)價(jià)部門、企業(yè)或時(shí)期之間的相對(duì)有效性。 DEA方法就是評(píng)價(jià)多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出決策單元相

16、對(duì)有效性的多目標(biāo)決策方法。 為了說明DEA模型的建模思路，我們看下面的例子。,例： 某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，為評(píng)價(jià)這幾個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動(dòng)資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:,由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。,對(duì)于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值4v1+15v2+

17、8v3，其中u1 u2 v1 v2 v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。,我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比,即:,類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：,我們限定所有的hj值不超過1，即 ，這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對(duì)有效的，若hk<1，那么該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是

18、有效的。,即,因此，建立第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：,這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。,設(shè),則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃,其對(duì)偶問題為：,總結(jié)：設(shè)vi為第i個(gè)指標(biāo)xi的權(quán)重，ur為第r個(gè)產(chǎn)出yr指標(biāo)的權(quán)重，則第j個(gè)企業(yè)投入的綜合值為 ，產(chǎn)出的綜合值為 其生產(chǎn)效率定義為: 于是問題實(shí)際上

19、是確定一組最佳的權(quán)變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個(gè)企業(yè)的效率值hj最大。這個(gè)最大的效率評(píng)價(jià)值是該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說不可能更高的相對(duì)效率評(píng)價(jià)值。,我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj≤1。這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對(duì)而言有效的；若hk<1，那么該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。,根據(jù)上述分析

20、，可以建立確定任何一個(gè)企業(yè)（如第3 個(gè)企業(yè)即丙企業(yè)）的相對(duì)生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下：,輸入型與輸出型的DEA模型,Input-DEA 模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實(shí)際投入之比來估計(jì)?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求θ的最小。Output-DEA 模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來估計(jì)?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。,定義：

21、 1 2 3 … j … n v1 1 x11 x12 x13 … x1j … x1n v2 2 x21 x22 x23

22、… x2j … x2n . . . . . . … . vi . . . . . Xij … .

23、 . . . . . . … . vm m xm1 xm2 xm3 … xmj … xmn y11 y12 y13

24、 … y1j … y1n 1 u1 y21 y22 y23 … y2j … y2n 2 u2 . . .

25、 . . … . . . . . . yrj … . . ur . . . .

26、 . … . . ys1 ys2 ys3 … ysj … ysn s us,m種輸入,n個(gè)決策單元（DMU）,s種輸出,,,二、 DEA基本原理和模型,權(quán)系數(shù),權(quán)系數(shù),各字母定義如下：,xij-------- 第j個(gè)決策單元對(duì)第i種類型輸入的投入總量.xij

27、〉0yrj-------- 第j個(gè)決策單元對(duì)第r種類型輸出的產(chǎn)出總量.yrj〉0vi -------- 對(duì)第i種類型輸入的一種度量，權(quán)系數(shù)ur -------- 對(duì)第r種類型輸出的一種度量，權(quán)系數(shù)i ----------1,2,…,mr ----------1,2,…,sj ----------1,2,…,n,C2R模型 ：規(guī)模報(bào)酬不變 設(shè)有n個(gè)部門(企業(yè))，稱為n個(gè)決策單元，每個(gè)決策單元都有p種投入和q種產(chǎn)出

28、，分別用不同的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表示。這樣，由n個(gè)決策單元構(gòu)成的多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，可以用下圖表示：,xik表示第k個(gè)決策單元第i種 投入指標(biāo)的投入量，xik＞0； （是已知數(shù)據(jù)） vi表示第i種投入指標(biāo)的權(quán)系數(shù)， vi≥0 （是變權(quán)數(shù)）,yjk表示第k個(gè)決策單元第j種 產(chǎn)出指標(biāo)的產(chǎn)出量，yjk＞0； （是已知數(shù)據(jù)） uj表示第k種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)， uj≥0 （是變權(quán)數(shù)）,對(duì)于每一個(gè)決策單元

29、DMUj都有相應(yīng)的效率評(píng)價(jià)指數(shù)：,我們可以通過適當(dāng)?shù)娜?quán)系數(shù)v和u，使得hj≤1, j=1,…，n,對(duì)第j0個(gè)決策單元進(jìn)行效率評(píng)價(jià)，一般說來，hj0越大表明DUMj0能夠用相對(duì)較少的輸入而取得相對(duì)較多的輸出。 這樣我們?nèi)绻麑?duì)DUMj0進(jìn)行評(píng)價(jià)，看DUMj0在這n個(gè)DMU中相對(duì)來說是不是最優(yōu)的，我們可以考察當(dāng)盡可能地變化權(quán)重時(shí)， hj0的最大值究竟是多少。,如以第j0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)，以所有決策單元的效率

30、指數(shù)為約束，就構(gòu)造了如下的CCR（C2R）模型：,,上述規(guī)劃模型是一個(gè)分式規(guī)劃，使用Charnes－Cooper變化，令： 可變成如下的線性規(guī)劃模型P：,,（P）,利用線性規(guī)劃的最優(yōu)解來定義決策單元j0的有效性，從模型可以看出，該決策單元j0的有效性是相對(duì)其他所有決策單元而言的。 對(duì)于CCR模型可以用規(guī)劃P表達(dá)，而線性規(guī)劃一個(gè)重要的有效理論是對(duì)偶理論，通過建立對(duì)偶模型更容易從理論和經(jīng)濟(jì)意義上作深入分析,規(guī)劃P的對(duì)偶規(guī)

31、劃為規(guī)劃D/：,,（D/）,為了討論和計(jì)算應(yīng)用方便，進(jìn)一步引入松弛變量s＋和剩余變量s－，將上面的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，可變成：,（D）,,將上述規(guī)劃（D）直接定義為規(guī)劃（P）的對(duì)偶規(guī)劃,例： 設(shè)有4個(gè)決策單元，2個(gè)投入指標(biāo)和1個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。寫出評(píng)價(jià)第1個(gè)決策單元相對(duì)效率的C2R模型。,解：,DEA有效性的定義：我們能夠用 C2R模型判定是否同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效：（1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。

32、則決策單元j0為DEA有效，決策單元的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)同時(shí)為技術(shù)有效和規(guī)模有效（2）θ*＝1，但至少某個(gè)輸入或者輸出大于0，則決策單元j0為弱DEA有效，決策單元的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)不是同時(shí)為技術(shù)效率最佳和規(guī)模最佳（3） θ*＜1，決策單元j0不是DEA有效，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)既不是技術(shù)效率最佳，也不是規(guī)模最佳,在評(píng)價(jià)決策單元是否為DEA有效時(shí),如果利用原線性規(guī)劃問題,需要判斷是否存在最優(yōu)解 ，滿足：,如果利用對(duì)偶線性規(guī)劃,需要判斷它的所有

33、最優(yōu)解都滿足,無論是對(duì)于線性規(guī)劃還是對(duì)于對(duì)偶規(guī)劃，這都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。,具有非阿基米德無窮小的C2R模型:,1952年，Charnes通過引入具有非阿基米德無窮小量ε，從而可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEA有效性，成功解決了計(jì)算和技術(shù)上的困難，建立了具有非阿基米德無窮小量ε的C2R模型。令ε是非阿基

34、米德無窮小量，它是一個(gè)小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)。,C2R模型的計(jì)算：,最優(yōu)解為 ， ， ，,。在實(shí)際操作中，只要取 ? 足夠小，例如取 ? = 10-6。,按照阿基米德公理，“無窮小”只能為零 。,文獻(xiàn)：張寶成.含非阿基米德無窮小量DEA模型的研究綜述,《系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)》, 2010年6月,【例】設(shè)有4個(gè)決策單元，2個(gè)投入指標(biāo)和1個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。 判定各個(gè)決策單元

35、是否 DEA 有效。,解：① 決策單元1所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃（D?），取? = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解?0=(1,0,0,0)T ，S10- = S20- = S10+ = 0，?0=1因此，決策單元1為DEA有效。,④ 決策單元4所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃（D?），取? = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解?0=(0,3/5,1/5,0)T ，S10- = S20- = S10+ = 0，?0=3/5＜1

36、因此，決策單元4不是DEA有效。,② 同樣地，經(jīng)過判定，決策單元2，3均為DEA有效。,λj使各個(gè)有效點(diǎn)連接起來,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包絡(luò)面。在實(shí)際運(yùn)用中,對(duì)松弛變量的研究是有意義的,因?yàn)樗且环N純的過剩量(s-)或不足量(s+)，θ則表示DMU離有效前沿面或包絡(luò)面的一種徑向優(yōu)化量或“距離”設(shè) 其中 , , 是決策單元j0對(duì)應(yīng)的

37、線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解,則( , )為DMUj0對(duì)應(yīng)的(x0,y0)在DEA的相對(duì)有效面上的投影,它是DEA有效的。,C2R模型中變量的經(jīng)濟(jì)含義:,定理3,,DEA有效的經(jīng)濟(jì)含義 DEA的理論、模型是以微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)為其理論基礎(chǔ)。 生產(chǎn)前沿面：生產(chǎn)前沿面是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡(luò)面的有效部分，這也是稱謂“數(shù)據(jù)包絡(luò)分析”的原因所在。 決策單元為DEA有

38、效，也即相應(yīng)于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標(biāo)的Pareto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面（Pareto最優(yōu)點(diǎn)構(gòu)成的面）。,參考文獻(xiàn)：李雙杰 ，范 超：《隨機(jī)前沿分析與數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法的評(píng)析與比較》，統(tǒng)計(jì)與決策 2009 年第 7 期,,研究DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義是以生產(chǎn)函數(shù) y = 為背景的． “技術(shù)有效” ： 若生產(chǎn)狀態(tài)（x, y）滿足 y = ，則稱生產(chǎn)狀態(tài)（

39、x, y）是“技術(shù)有效”的 （ 也即輸出相對(duì)輸入而言已達(dá)到最大）。此時(shí)，點(diǎn)（x, y）位于生產(chǎn)函數(shù)的曲面上． “規(guī)模有效”：當(dāng) 時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“邊際報(bào)酬遞減規(guī)律”是指：生產(chǎn)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表現(xiàn)為先增后減的規(guī)律（或函數(shù)先為凸，后為凹）。 所謂“規(guī)模有效”，是指投入量x既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收益由遞增（遞增）到遞減（遞減）之間的一種狀態(tài)（即“規(guī)模收益不變”的最佳狀態(tài)）。,我們現(xiàn)在來研究在模型C2R

40、之下的DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義.檢驗(yàn)決策單元j0的DEA有效性,即考慮線性規(guī)劃問題:,由于 ,即 滿足,可以看出,線性規(guī)劃是表示在生產(chǎn)可能集T內(nèi),當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下,盡量將投入量X0按同一比例θ減少.如果投入量X0不能按同一比例θ減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值θ=1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0既為技術(shù)有效,也為規(guī)模有效.反之,如果投入量X0能按同一比

41、例θ減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值θ<1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0不為技術(shù)有效,或不為規(guī)模有效.,1 、生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集 . (1)生產(chǎn)函數(shù) y=f(x) ：在單投入和單產(chǎn)出的情況下，生產(chǎn)函數(shù)(一般是增函數(shù))表示理想的生產(chǎn) 狀態(tài)，即投入x所能獲得的最大產(chǎn)出y。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲線上的點(diǎn)(x,y)所對(duì)應(yīng)的決策單元， 從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于技術(shù)有效狀態(tài).生產(chǎn)函數(shù)圖形如下圖，A、C處于技術(shù)有效狀態(tài)。,①

42、 點(diǎn)A將曲線分為兩部分，在點(diǎn)A之左，y’＞0，y’’＞0，曲線在生產(chǎn)函數(shù)的下凸區(qū)間， 表示增加投入量可以使產(chǎn)出量的遞增速度增加，此時(shí)稱為規(guī)模收益遞增，廠商有投資的積極性； 在點(diǎn)A之右，y’＞0，y’’＜0，曲線是上凸的，在此區(qū)間，增加投入量只能使產(chǎn)出量增加的速度減 小，此時(shí)稱為規(guī)模收益遞減，廠商己經(jīng)沒有增加投資的積極性。 點(diǎn)A是生產(chǎn)函數(shù)曲線的拐點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的決策單元，既是技術(shù)有效，也是規(guī)模有效。

43、這是因?yàn)樵摏Q策單元減少投入量或增加投入量，都不是最佳生產(chǎn)規(guī)模。,② 點(diǎn)C在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，對(duì)應(yīng)的決策單元技術(shù)有效，但不是規(guī)模有效。 這是由于點(diǎn)C位于規(guī)模收益遞減區(qū)間。 ③ 點(diǎn)B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線之上，并位于規(guī)模收益遞減區(qū)域，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的決策單元既不是技術(shù) 有效，也不是規(guī)模有效。,考慮投入量為 ，產(chǎn)出量為

44、 的某種生產(chǎn)活動(dòng)。我們的目的是根據(jù)所觀察到的生產(chǎn)活動(dòng)（xj,yj),j=1,2,…,n,去描述生產(chǎn)可能集，特別是根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)去確定哪些生產(chǎn)活動(dòng)是相對(duì)有效的。,(2)生產(chǎn)可能集 所有可能的生產(chǎn)活動(dòng)構(gòu)成的集合，記作 T={(X,Y)|產(chǎn)出Y可由投入X生產(chǎn)出來}，因此，生產(chǎn)可能集可確定為：,有效性定義：對(duì)任何一個(gè)決策單元，它達(dá)到100%的效率是指：①在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，除非同時(shí)降低其他種類的輸出；

45、②要達(dá)到現(xiàn)有的輸出，任何一種輸入都無法降低，除非同時(shí)增加其他種類的輸入。一個(gè)決策單元達(dá)到了100%的效率，該決策單元就是有效的，也就是有效的決策單元。,無效性定義：（1）對(duì)任意（X，Y）∈T，并且 ，均有（2）對(duì)任意（ X，Y）∈T，并且 ，均有這就是說，以較多的輸入或較少的輸出進(jìn)行生產(chǎn)總是可能的。,由于(Xk,Yk)是決策單元k的生產(chǎn)活動(dòng)，于是有(Xk,Yk)?T，k=1,2,…,n

46、 在C2R模型中，生產(chǎn)可能集應(yīng)該滿足下面的四條公理：,公理1 (凸性) 對(duì)于任意(X1,Y1)?T、(X2,Y2)?T，以及任意??[0,1]，均有 ?(X1,Y1)+(1-?)(X2,Y2)=(?X1+(1-?)X2 ，?Y1+(1-?)Y2 )?T 即是說,如果 X1,X2 分別以 ?,1-? 加權(quán)和作為投入量，則 Y1,Y2以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。,公理2 (錐性

47、) 對(duì)于任意(X,Y)?T，以及任意數(shù) ?≥0，均有 ?(X,Y)=(?X,?Y)?T 即是說，如果以 X 的 ? 倍作為投入量，則產(chǎn)出量是 Y 的同樣倍數(shù)。,公理3 (無效性) 對(duì)于任意(X,Y)?T， ① 若 X’≥X，則均有(X’,Y)?T； ② 若 Y’≤Y，則均有(X,Y’)?T。 即是說，在原生產(chǎn)活動(dòng)中，單方面地增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動(dòng)總是

48、可能的。,公理4 (最小性) 生產(chǎn)可能集 T 是滿足公理1～3的所有集合的交集。,由 n 個(gè)決策單元(Xk,Yk)的生產(chǎn)活動(dòng)所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理1～4是唯一確定的。 這個(gè)生產(chǎn)可能集可以表示為：,【例4】設(shè)有單投入單產(chǎn)出3個(gè)決策單元的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖：,則其生產(chǎn)可能集為,(3)模型C2R下DEA有效性的經(jīng)濟(jì)意義,,,由于(X0,Y0)?T，即(X0,Y0)滿足條件：,線性規(guī)劃模型（D’）表示在生產(chǎn)可能集內(nèi)，當(dāng)產(chǎn)出Y0保

49、持不變的情況下，盡量將投入量X0按同一比例減少。 如果投入量X0不能按同一比例θ減少，即模型（D’）的最優(yōu)值VD’ = ?0 =1，決策單元k0同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效； 如果投入量X0能按同一比例 ? 減少，模型（D’）最優(yōu)值VD’ =?0 ＜1， 決策單元k0不是技術(shù)有效或規(guī)模有效。,其中：,設(shè)模型（D?）的最優(yōu)解為 ?0、s0-、s0+、?0 ，分三種情況進(jìn)一步討論：,① ?0 = 1，且 s0- =

50、 0、s0+ = 0 ：決策單元k0為DEA有效。 其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元k0的生產(chǎn)活動(dòng)(X0,Y0)同時(shí)為技術(shù)有效和規(guī)模有效。 所謂技術(shù)有效，是指對(duì)于生產(chǎn)活動(dòng)(X0,Y0)，從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用， 投入要素達(dá)到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評(píng)價(jià)指標(biāo) h0=Vp=VD=?0 = 1 。,② ?0 = 1，但至少有某個(gè) si0- ＞0 或者至少有某個(gè) sj0+ ＞0：決策單元k0為弱

51、DEA有效。 其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元 k0 不是同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模收益有效。 若某個(gè)si0- ＞0，表示第 i 種投入指標(biāo)有 si0- 沒有充分利用； 若某個(gè)sj0+ ＞0，表示第 j 種產(chǎn)出指標(biāo)與最大產(chǎn)出值尚有 sj0+ 的不足。,③ ?0 ＜ 1：決策單元k0不是DEA有效。 其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元 k0 的生產(chǎn)活動(dòng)(X0,Y0)既不是技術(shù)效率最佳,也不是規(guī)模收益最佳。,例如，? =

52、 0.9＜1，模型（D?）的約束條件為,這表示：得到產(chǎn)出量Y0，至多只需投入量0.9X0，即生產(chǎn)活動(dòng)(X0,Y0)的投入規(guī)模過大，故不是同時(shí)為技術(shù)效率最佳和規(guī)模收益最佳。,【例5】設(shè)有單投入單產(chǎn)出3個(gè)決策單元的評(píng)價(jià)系統(tǒng)(數(shù)據(jù)如下)，討論各決策單元的DEA有效性。,解：① 決策單元 1 的線性規(guī)劃模型（D?），取? = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 ?0=(1,0,0)T，S10- = S10+ = 0，?0=1

53、因此，決策單元 1 同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效。 生產(chǎn)活動(dòng)(2，2)在圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，表示同時(shí)取得最佳技術(shù)效率和最佳規(guī)模收益。,② 決策單元 2 的線性規(guī)劃模型（D?），取? = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 ?0=(1/2,0,0)T，S10- = S10+ = 0，?0=1/4＜1 因此，決策單元 2 不是DEA有效。,生產(chǎn)活動(dòng)(4，1)在圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，既非技術(shù)有效，也非規(guī)模有效。,③ 決策單元 3 的線

54、性規(guī)劃模型（D?），取? = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 ?0=(7/4,0,0)T，S10- = S10+ = 0，?0=7/10＜1 因此，決策單元 3 不是DEA有效。,生產(chǎn)活動(dòng)(5，3.5)在圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，該點(diǎn)在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，僅是技術(shù)有效而不是規(guī)模有效。,(4)生產(chǎn)活動(dòng)規(guī)模收益的判定,,定理: 設(shè)線性規(guī)劃（D?）的最優(yōu)解為 ?0、s0-、s0+、?0,① 若,則決策單元 k0 規(guī)模收益不變；,② 若,

55、則決策單元 k0 規(guī)模收益遞增；,③ 若,則決策單元 k0 規(guī)模收益遞減。,【例6】設(shè)有單投入單產(chǎn)出5個(gè)決策單元的評(píng)價(jià)系統(tǒng)(數(shù)據(jù)如下圖)。試討論決策單元1、2、5 的規(guī)模收益問題。,解：① 決策單元 1 的線性規(guī)劃模型（D?），取? = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 ?0=(0,1/2,0,0,0)T，S10- = S10+ = 0，?0=5/6＜1 因此，決策單元 1 非DEA有效。,由于,

56、所以決策單元 1 規(guī)模收益遞增。,② 決策單元 2 的線性規(guī)劃模型（D?），取? = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 ?0=(0,1,0,0,0)T，S10- = S10+ = 0，?0 = 1 因此，決策單元 2 為DEA有效。,由于,所以決策單元 2 規(guī)模收益不變。,③ 決策單元 5 的線性規(guī)劃模型（D?），取? = 10-6，為,利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 ?0=(0,9/8,0,0,0)T，S10- =

57、S10+ = 0，?0 = 15/16＜1 因此，決策單元 5 非DEA有效。,由于,所以決策單元 5 規(guī)模收益遞減 。,同樣地，可以判定決策單元 3、4 均為規(guī)模收益遞增。,例6: 下面是具有3個(gè)決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù).相應(yīng)決策單元所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以A,B,C表示,其中點(diǎn)A、C在生產(chǎn)曲線上,點(diǎn)B在生產(chǎn)曲線下方。由3個(gè)決策單元所確定的生產(chǎn)可能集T也在圖中標(biāo)出來。,2 4 5,2

58、 1 3.5,,,輸入,輸出,,,,,,,,A(2,2),B(4,1),C(3,5),,,Y=Y(X),對(duì)于決策點(diǎn)A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”,它所對(duì)應(yīng)的C2R模型為,其最優(yōu)解為:,2 4 5,2 1 3.5,,,輸入,輸出,,,,,,,,A(2,2),B(4,1),C(3,5),,,Y=Y(X),對(duì)于決策點(diǎn)B,它不是“技術(shù)有效”,因?yàn)辄c(diǎn)B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上

59、,也不是“規(guī)模有效”,這是因?yàn)樗耐顿Y規(guī)模太大.,其最優(yōu)解為:,其對(duì)應(yīng)的C2R模型如下:,由于θ<1,故B點(diǎn)不是DEA有效,由 ,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.,2 4 5,2 1 3.5,,,輸入,輸出,,,,,,,,A(2,2),B(4,1),C(3,5),,,Y=Y(X),其最優(yōu)解為:,對(duì)于決策點(diǎn)C,,

60、因?yàn)辄c(diǎn)C是在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,它是“技術(shù)有效”,但由于它的投資規(guī)模太大,所以不是“規(guī)模有效”.,其對(duì)應(yīng)的C2R模型如下:,由于θ<1,故C點(diǎn)不是DEA有效,由 ,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.,(4) DEA方法在評(píng)價(jià)中的應(yīng)用,應(yīng)用DEA 方法評(píng)價(jià)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的步驟是： ① 確定評(píng)價(jià)目標(biāo)； ② 建立評(píng)價(jià)指標(biāo)體系； ③ 收集和整理數(shù)據(jù)

61、； ④ 建立DEA 模型，計(jì)算分析； ⑤ 作出評(píng)價(jià)，提出決策建議。 在實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算過程均可利用DEA 軟件，也可利用線性規(guī)劃軟件在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。,衡量某一決策單元 j0是否DEA有效——是否處于由包絡(luò)線組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個(gè)由 n 個(gè)決策單元組成（線性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項(xiàng)產(chǎn)出均不低于 j0 決策單元的各項(xiàng)產(chǎn)出，它的各項(xiàng)投入均低于 j0 決策單元的各項(xiàng)的各項(xiàng)投入。即

62、有：,（5）構(gòu)建DEA 模型的思路,這說明 j0 決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。,基于上述事實(shí)，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：,min E,,S.t.,∑?j yrj ≥ yrj0 （r = 1，2，…，s）,∑?j xij ≤ E xij0 （i = 1，2，…，m）,∑?j = 1 ，?j ≥0 （j = 1，2，…，n）,j=1,j=1,j=1,n,n,n,結(jié)果分析：1、當(dāng)求解結(jié)果有 E

63、 ＜1 時(shí)，則 j0 決策單元非DEA有效；2、否則，則 j0 決策單元DEA有效。,三、 DEA應(yīng)用案例,1.對(duì)生產(chǎn)水平的相對(duì)有效性分析 --梁敏. 邊馥萍.生產(chǎn)水平的相對(duì)有效性分析. 數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究[J]2003.9：91-94,利用含有非阿基米德無窮小ε的CCR模型，對(duì)北京地區(qū)建立如下模型：,同樣建立其他三個(gè)直轄市的模型，求得的解如下：,例：醫(yī)院相對(duì)效率評(píng)價(jià),輸

64、入量全職非主治醫(yī)師人數(shù)提供的經(jīng)費(fèi)可供住院的床位數(shù)輸出量開診日的藥物治療服務(wù)開診日的非藥物治療服務(wù)接受過培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目接受過培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目,4類醫(yī)院的年輸入量（年消耗）,4類醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務(wù)）,通過建立一個(gè)線性規(guī)劃模型，以4類醫(yī)院的輸入量和輸出量為基礎(chǔ)建立一個(gè)假設(shè)的合成醫(yī)院。通過將4類醫(yī)院的輸入量（或輸出量）的加權(quán)平均值作為假設(shè)的合成醫(yī)院的輸入量（或輸出量）。在線性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸

65、出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假如合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院（四類醫(yī)院的加權(quán)平均）相對(duì)低效，進(jìn)而可被認(rèn)為比其他醫(yī)院相對(duì)低效。,,wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；ws為國(guó)家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重所以，DEA模型的第一個(gè)約束條件為

66、 wg＋wu＋wc＋ws＝1,,為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即合成醫(yī)院的輸出量≥鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量我們可寫出輸出量的約束條件：48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.72（藥物治療）43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98（非藥物治療）253wg+148wu+175wc+160ws≥175（護(hù)士）

67、41wg+27wu+23wc+84ws≥23（實(shí)習(xí)醫(yī)師）,,為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即合成醫(yī)院的輸入量≤鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，則275.70E為合成醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)。當(dāng)E＝1時(shí)，合成醫(yī)院需要與鎮(zhèn)醫(yī)院相同的輸入量資源；當(dāng)E>1時(shí)，合成醫(yī)院需要的輸入量資源大于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源；當(dāng)E<1時(shí)，合成醫(yī)院需要的輸入量資源小于鎮(zhèn)醫(yī)

68、院的輸入量資源。（模型的目標(biāo)）,,我們可寫出輸入量的約束條件：285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws≤275.70E（全職非主治醫(yī)師）123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws≤348.50E（提供的經(jīng)費(fèi)）106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws≤104.10E（可提供的住院床位數(shù)）DEA模型的邏輯就是尋求一種合成能否在取得相同的或更多的輸

69、出量的同時(shí)只需更少的輸入量。假如這種合成可以得到，那么合成的一部分（如鎮(zhèn)醫(yī)院）將被判定比合成（合成醫(yī)院）低效。,,min Es.t. wg＋wu＋wc＋ws＝1 48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.7 243.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98 253wg+148wu+175wc+160ws≥17

70、5 41wg+27wu+23wc+84ws≥23 285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws≤275.70E 123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws≤348.50E 106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws≤104.10E E, wg,