8.3--正態(tài)總體方差的檢驗-概率論與數理統(tǒng)計-王松桂、程維虎等-科學出版社

1、,,概率論與數理統(tǒng)計第二十一講,主講教師：程維虎教授,北京工業(yè)大學應用數理學院,利用樣本方差 S 2是?2的一個無偏估計，且 (n-1)S2/ ?2 ~ χ 2n-1 的結論。,8.3.1 單個正態(tài)總體方差的 χ 2 檢驗,設 X1, X2, …, Xn 為來自總體 N(? , ?2) 的樣本，? 和 ?2未知，求下列假設的顯著性水平為 ? 的檢驗。,思路分析:,1. H0: ?2 =?02；H1: ?2 ≠?02,

2、7;8.3 正態(tài)總體方差的檢驗,當原假設 H0: ?2 = ?02成立時，S2和?02應該比較接近，即比值 S 2/?02應接近于1。所以,這個比值過大或過小 時，應拒絕原假設。 合理的做法是: 找兩個合適的界限 c1 和 c2 ,● 當 c1<(n-1)S2/?02 < c2 時，接受H0；● 當 (n-1)S2/?02≤c1 或 (n-1)S2/?02≥c2 時, 拒絕 H0 。,由于當原假設 H

3、0: ?2 = ?02成立時，有,上述檢驗法稱為χ 2 檢驗法。,c1與 c2 的確定,2. H0: ?2 =?02；H1: ?2 > ?02,同理，當 H0: ?2 = ?02成立時，有，,此檢驗法也稱χ 2 檢驗法。,3*. H0: ?2 ≤?02；H1: ?2 > ?02 (同2.),例1：某公司生產的發(fā)動機部件的直徑 (單位: cm) 服從正態(tài)分布，并稱其標準差 ?0=0.048 ?，F(xiàn)隨機抽取5個部件，測得它們的

4、直徑為 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.取?=0.05，問:(1). 能否認為該公司生產的發(fā)動機部件的直徑 的標準差確實為?= ?0?(2). 能否認為? ≤ ?0?,解: (1). 的問題就是檢驗 H0: ?2 = ?02; H1: ?2 ≠ ?02.其中，n=5，? =0.05，?0=0.048.,故，拒絕原假設 H0 ，即認為部件直徑標準差不是

5、0.048 cm。,經計算，得 S2=0.00778,,故，拒絕原假設 H0，即認為部件的直徑標準差超過了 0.048 cm。,(2). 的問題是檢驗 H0: ?2 ≤?02 ; H1: ?2 >?02.,該檢驗主要用于上節(jié)中實施兩樣本 t 檢驗之前，討論 ?12 =?22 的假設是否合理。,8.3.2 兩正態(tài)總體方差比的 F 檢驗,1. H0: ?12 = ?22；H1: ?12 ≠ ?22.

6、,設X1, X2, …, Xm和Y1, Y2, …, Yn 分別為抽自正態(tài)總體 N(?1, ?12)和 N(?2, ?22)的樣本, 欲檢驗,當 H0: ?12=?22 成立時, ?12/?22=1, 作為其估計，S12/S22也應與 1 相差不大。當該值過分地大或過分地小時，都應拒絕原假設成立。 合理的思路是：找兩個界限c1和c2,● 當 c1< S12/S22 < c2 時，接受H0；● 當 S12

7、/S22 ≤ c1, 或 S12/S22 ≥ c2 時, 拒絕H0 。,思路分析:,因兩總體 N(?1, ?12)和 N(?2, ?22)的樣本方差S12和S22分別為?12和?22的無偏估計。所以,直觀上講，S12/S22 是 ?12/?22 的一個好的估計。,根據定理 6.4.1，有,c1與 c2 的確定,特別地，當 H0: ?12 = ?22成立時， S12/S22 ～Fm-1,n-1.,2. H0:

8、?12 = ?22；H1: ?12 > ?22,同理，當 H0: ?12 =?22成立時，有 S12/S22 ～Fm-1, n-1，,例2：甲乙兩廠生產同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩廠的產品中分別隨機地抽取12個和10個樣品,測得它們的電阻值后，計算出樣本方差分別為S12=1.40，S22=4.38。,3. H0: ?12 ≤ ?22；H1: ?12 > ?22,結論同 2。,以上檢驗都用到了F分布，因此稱上述檢驗為 F 檢

9、驗。,假設兩廠生產的電阻的電阻的阻值分別服從正態(tài)分布 N(?1, ?12)和 N(?2, ?22)。,在顯著性水平 ? = 0.10下, 是否可接受： (l).?12 =?22；(2).?12≤?22.,解：(1). 的問題是檢驗 H0: ?12 =?22；H1: ?12 ≠?22.其中，m=12, n=10, α =0.10, S12=1.40, S22=4.38,

10、 S12/S22 =0.32。,利用第六章學過的,及P237的附表5，有 Fm-1, n-1(1-? /2) = F11, 9(0.95) = 1/[F9, 11(0.05)] = 1/(2.90) = 0.34.因 S12/S22 = 0.32 &

11、lt; 0.34，所以，無須再考慮Fm-1, n-1(?/2)的值，就可得到拒絕?12 =?22的結論。,查P237 附表5，因查不到 F11, 9(0.10)，改用F10, 9(0.10)和F12, 9(0.10)的平均值近似之，得 F11, 9(0.10)=[F10, 9(0.10)+F12, 9(0.10)]/2 ≈[2.42+2.38]/2

12、 = 2.40.因 S12/S22 = 0.32 < 2.40，故接受?12 ≤?22.,(2). 問題是檢驗 H0: ?12 ≤?22；H1: ?12 > ?22.,在前面的討論中，我們總假定總體的分布形式是已知的。例如，假設總體分布為正態(tài)分布 N(?, ?2), 總體分布為區(qū)間 (a, b) 上的均勻分布，等等。,然而，在實際問題中，我們所遇到的總體服從何種分布往往并不知道。

13、需要我們先對總體的分布形式提出假設，如：總體分布是正態(tài)分布N(? , ?2)，總體分布是區(qū)間(a, b)上均勻分布等，然后利用數據 (樣本) 對這一假設進行檢驗，看能否獲得通過。,§8.4 擬合優(yōu)度檢驗,這是一項非常重要的工作,許多學者視它為近代統(tǒng)計學的開端。,解決這類問題的方法最早由英國統(tǒng)計學家 K. Pearson (皮爾遜) 于1900年在他發(fā)表的一篇文章中給出, 該方法后被稱為 Pearson χ 2檢驗法，簡稱χ

14、2檢驗。,設F(x)為一已知的分布函數，現(xiàn)有樣本X1, X2, …, Xn，但我們并不知道樣本的總體 分布是什么?，F(xiàn)在試圖檢驗,H0：總體 X 的分布函數為F(x) ； (1),對立假設為 H1：總體 X 的分布函數非F(x)。如果 F(x) 形式已知，但含有未知參數θ 或參數向量θ =(θ1, θ2,…, θr ) ，則記其為F(x, θ )。這種檢驗通常稱為擬合優(yōu)度檢驗。,不妨設總體 X 是連續(xù)型分布。檢驗思想與步驟如下:,(

15、1). 將總體 X 的取值范圍分成 k 個互不重疊的 小區(qū)間 I1, I2, …, Ik，,(2). 計算各子區(qū)間 Ii 上的理論頻數。,如果總體的分布函數為F(x, θ )，那么每個點落在區(qū)間 Ii 上的概率均為,n 個點中，理論上有n pi (θ )個點落在 Ii 上, (稱為理論頻數)。當分布函數中含有未知參數 θ 時，理論頻數也未知，要用來估計 n pi (θ )，其中 為 θ 的極大似

16、然估。,(3). 計算各子區(qū)間 Ii 上的實際頻數 fi 。 fi =﹟{ X1, X2, …, Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, …, k .,計數符號，取集合中元素的個數,(4). 計算理論頻數與實際頻數的偏差平方和。,可以證明：在 H0 成立，且 n→∞時,,(5). H0 的顯著性水平為 α 的檢驗的拒絕域為,注意：該檢驗方法是在 n 充分大時使用的，因而，使用時要注意 n 必須足夠地大, 以及 n

17、pi 不能太小這兩個條件。,在實用上，一般要求 n ≥ 50，以及所有npi ≥5。如果初始子區(qū)間劃分不滿足后一個條件, 則適當地將某些子區(qū)間合并，可使 npi 滿足上述要求。,例1：為檢驗棉紗的拉力強度 X (單位: 千克) 服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機抽取300條進行拉力試驗，結果列在表8.2中。給定 α = 0.01,檢驗假設,H0：拉力強度 X ~ N(μ, σ2) .,解：本例中，并未給出各觀測值 Xi 的具體值,只給出

18、了各觀測值的取值范圍，這樣的數據稱為區(qū)間數據。樣本均值與樣本方差可通過下列式計算：,(1). 先將數據 Xi 分成13組，每組落入一個區(qū) 間，區(qū)間的端點為：,(2). 計算數據落入各子區(qū)間的理論頻數。,因分布中含有兩個未知參數，所以，理論頻數只能近似地估計。落入第 i 個子區(qū)間Ii 的理論頻數的估計為 ， 其中,(3). 計算數據落入各子區(qū)間上的實際頻數 fi 。 fi =﹟{ X1, X2

19、, …, Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, …, 10 .,(4). 計算檢驗統(tǒng)計量的值,因為 k =10，r =2，所以上述 χ 2分布的自由度為 k-r-1=7。由,(5). H0 的顯著性水平為 α 的檢驗,于是，拒絕原假設，即認為棉紗拉力強度不服從正態(tài)分布。,孟德爾在關于遺傳問題的研究中，用豌豆做實驗。豌豆有黃和綠兩種顏色，在對它們進行兩代雜交之后，發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌豆呈黃色，另一部分呈綠色。其數目的比例大致是 3:1。

20、,χ 2檢驗的一個著名應用例子是孟德爾豌豆實驗。奧地利生物學家孟德爾在1865年發(fā)表的論文，事實上提出了基因學說，奠定了現(xiàn)代遺傳學的基礎。他的這項偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地證明了統(tǒng)計方法在科學研究中的作用。因此，我們有必要在這里將這一情況介紹給大家。,這只是一個表面上的統(tǒng)計規(guī)律。但它啟發(fā)孟德爾去發(fā)展一種理論，以解釋這種現(xiàn)象。他大膽地假定存在一種實體，即現(xiàn)在我們稱為“基因”的東西，決定了豌豆的顏色。這基因有黃綠兩個狀態(tài)，一共有四種組合：,孟德爾

21、把他的實驗重復了多次，每次都得到類似結果。,(黃, 黃)，(黃, 綠)，(綠, 黃)，(綠, 綠).,(黃, 黃)，(黃, 綠)，(綠, 黃)，(綠, 綠).,孟德爾認為, 前三種配合使豆子呈黃色,而第四種配合使豆子呈綠色。從古典概率的觀點看，黃色豆子出現(xiàn)的概率為3/4，綠色豆子出現(xiàn)的概率為1/4。這就解釋了黃綠顏色豆子之比為什么總是接近 3:1 這個觀察結果。,孟德爾這個發(fā)現(xiàn)的深遠意義是他開辟了遺傳學研究的新紀元。下面的例子就是用

22、 χ 2檢驗來檢驗孟德爾提出黃綠顏色豌豆數目之比為 3:1的論斷。,例2：孟德爾豌豆試驗中，發(fā)現(xiàn)黃色豌豆為25粒, 綠色豌豆11粒，試在 α =0.05下, 檢驗豌豆黃綠之比為3:1。,解：定義隨機變量 X,(1). 將 (-∞, ∞) 分成兩個區(qū)間,(2). 計算每個區(qū)間上的理論頻數，這里 n = 25+11=36, 不存在要估計的未知參數, 故,(3). 實際頻數為，f1=25

23、， f2=11 .,(4). 計算統(tǒng)計量的值,(5). H0 的顯著性水平為 α 的檢驗,所以，接受原假設，即認為豌豆的黃綠之比為 3:1 。,,例3：某醫(yī)院一年中出生的嬰兒共計1521人,其中男嬰802人，女嬰719人。給定 α =0.05，試問：能否認為男嬰、女嬰出生概率相同？,解：用 X 表示服從兩點分布的隨機變量, X 取0, 1兩個值，X=1表示男嬰， X=0表是女嬰。,則問題就是檢驗假設

24、 H0：p1 = P{X=0}=0.5.,(1). 將 (-∞, ∞) 分成兩個區(qū)間,(2). 計算每個區(qū)間上的理論頻數。因為兩個區(qū) 間上的理論概率 p1= p2=0.5, 而 n=1521, 故,(3). 各區(qū)間上實際頻數：f1=802， f2=719 .,(4). 計算統(tǒng)計量的值,(5). H0 的顯著性水平為 α 的檢驗,,所以，拒絕原假設，即認為男嬰女嬰出生概率有顯著差異。,小結,本講首先介紹正態(tài)總