概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)科學(xué)出版社參考答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),主講人理學(xué)院：周娟,,第一章習(xí)題1.1(第7頁(yè)),?=?1, 2, 3, 4, 5, 6?, A={1, 3, 5}.,1. 用集合的形式寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間?與隨機(jī)事件A:,(1)拋一顆骰子, 觀察向上一面的點(diǎn)數(shù), A表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”.,(2)對(duì)一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊, 一旦擊中便停止射擊, 觀察射擊的次數(shù), A表示“射擊不超過(guò)3次”.,(3)把單位長(zhǎng)度的一根細(xì)棒折成 三段, 觀察各段的長(zhǎng)度, A表示“三段

2、細(xì)棒能構(gòu)成一個(gè)三角形”.,?=?1, 2, 3,…? ，A={1, 2, 3},?=?(a, b, 1－a－b)|a, b>0且a+b<1?,,2. 把 表示成n個(gè)兩兩互不相容事件的和。,A={(a, b, 1－a－b)|00.5},=?(a, b, c)|a, b, c>0且a+b＋c＝1?,,={(a, b, c)|0<a, b, c<0.5且a+b＋c＝1},解 n＝2時(shí),,n＝3時(shí),,

3、一般地,,3. 在某班學(xué)生中任選一個(gè)同學(xué),以 A表示選到的是男同學(xué), B表示選到的人不喜歡唱歌, C表示選到的人是運(yùn)動(dòng)員.,(1) 表述ABC及ABC;,(2) 什么條件下成立ABC=A?,ABC 表示: 選到的是不喜歡唱歌不是運(yùn)動(dòng)員的男同學(xué).,成立的條件是: 男同學(xué)一定是不喜歡唱歌的運(yùn)動(dòng)員.,,,,ABC 表示: 選到的是喜歡唱歌的男運(yùn)動(dòng)員同學(xué).,,(3) 何時(shí)成立,成立的條件是: 非運(yùn)動(dòng)員同學(xué)一定不喜歡唱歌.,(4) 何時(shí)同時(shí)

4、成立A=B與 A=C ?,成立的條件是: 男同學(xué)都不是運(yùn)動(dòng)員都不喜歡唱歌，女同學(xué)都是喜歡唱歌的運(yùn)動(dòng)員.,,AB+AC+BC,ABC,A+B+C,4. 設(shè)A,B,C為三個(gè)隨機(jī)事件, 用A,B,C的運(yùn)算及關(guān)系表示下列各事件:,(1) A發(fā)生,B與C不發(fā)生;,(2) A和B都發(fā)生,而C不發(fā)生;,(4) A, B, C都發(fā)生;,(3) A, B, C至少有一個(gè)發(fā)生;,(8) A,B,C至少有二個(gè)發(fā)生;,(5) A, B, C都不發(fā)生;,(6)

5、A,B,C不多于一個(gè)發(fā)生;,(7) A,B,C不多于兩個(gè)發(fā)生;,第一章習(xí)題1.2(第12頁(yè)),1. 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A, B, C, 已知城市居民訂購(gòu)A的占45%, 訂購(gòu)B的占35%, 訂購(gòu)C的占30%, 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10%, 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8%, 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5%, 同時(shí)訂購(gòu)A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(1) 只訂購(gòu)A;,(2) 只訂購(gòu)A與B;,P(A－(B+C))=P(A)－P(A(B+C))

6、,=P(A)－P(AB)－P(AC)+P(ABC),=0.45－0.1－0.08+0.03=0.3,P(AB－C)=P(AB)－P(ABC)=0.1－0.03＝0.07,1. 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A, B, C, 已知城市居民訂購(gòu)A的占45%, 訂購(gòu)B的占35%, 訂購(gòu)C的占30%, 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10%, 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8%, 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5%, 同時(shí)訂購(gòu)A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(3) 只訂購(gòu)一種

7、報(bào)紙;,由(1)知: P{只訂購(gòu)A}=P(A)－P(AB)－P(AC)+P(ABC)＝0.3,同理, P{只訂購(gòu)B}=P(B)－P(AB)－P(BC)+P(ABC)＝0.23,或 P=P(A+B+C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋2P(ABC),P{只訂購(gòu)C}=P(C)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)＝0.2,所以, P{只訂購(gòu)一種報(bào)紙}=0.3＋0.23＋0.2＝0.73,=P(A)+P(B)+P(C)－2P(AB)

8、－2P(AC)－2P(BC)＋3P(ABC),=0.45+0.35+0.3－0.2－0.16－0.1+0.09=0.73,1. 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A, B, C, 已知城市居民訂購(gòu)A的占45%, 訂購(gòu)B的占35%, 訂購(gòu)C的占30%, 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10%, 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8%, 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5%, 同時(shí)訂購(gòu)A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(4) 正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙;,P{正好訂購(gòu)A,B}=P(AB)－P(

9、ABC)＝0.07,所以, P{正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙}=0.14,=P(AB)+P(AC)+P(BC)－3P(ABC),=0.1＋0.08＋0.05－0.09＝0.14,P{正好訂購(gòu)A,C}=P(AC)－P(ABC)＝0.05,P{正好訂購(gòu)B,C}=P(BC)－P(ABC)＝0.02,或直接寫出: P{正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙},1. 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A, B, C, 已知城市居民訂購(gòu)A的占45%, 訂購(gòu)B的占35%, 訂購(gòu)C的占30

10、%, 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10%, 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8%, 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5%, 同時(shí)訂購(gòu)A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(5) 至少訂購(gòu)一種報(bào)紙;,P{至少訂購(gòu)一種報(bào)紙}=P{只訂購(gòu)一種報(bào)紙},+P(ABC)=0.9,P{不訂購(gòu)任何報(bào)紙}=1－P{至少訂購(gòu)一種報(bào)紙},=1－0.9＝0.1,＋P{正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙}＋P{訂購(gòu)三種報(bào)紙}＝0.9,或 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(A

11、C)－P(BC),(6) 不訂購(gòu)任何報(bào)紙;,1. 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A, B, C, 已知城市居民訂購(gòu)A的占45%, 訂購(gòu)B的占35%, 訂購(gòu)C的占30%, 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10%, 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8%, 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5%, 同時(shí)訂購(gòu)A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(7) 至多訂購(gòu)一種報(bào)紙;,P{至多訂購(gòu)一種報(bào)紙},或 P{至多訂購(gòu)一種報(bào)紙},=1－0.14－0.03＝0.83,＝P{不訂購(gòu)任何報(bào)紙}

12、＋P{只訂購(gòu)一種報(bào)紙},=0.1＋0.73＝0.83,或 =1－P{正好訂購(gòu)二種報(bào)紙}－ P{訂購(gòu)三種報(bào)紙},2. 設(shè)在統(tǒng)計(jì)課考試中, 學(xué)生A不及格的概率是0.5, 學(xué)生B不及格的概率是0.2, 兩人同時(shí)不及格的概率是0.1, 求:,(1) 兩人中至少有一人不及格的概率;,解 記A=“學(xué)生A不及格”, B=“學(xué)生B不及格”，則,(1) P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)＝0.5＋0.2－0.1＝0.6,(2) P(

13、AB)=P(A+B)=1－P(A+B)=1－0.6=0.4,(2) 兩人都及格的概率;,(3) 兩人中只有一個(gè)人不及格的概率;,,(3) P{只有一人不及格},＝P{至少有一人不及格}－P{兩人都不及格},＝0.6－0.1＝0.5,3. 設(shè)A, B為兩個(gè)隨機(jī)事件, P(A)=0.7, P(A－B)=0.3,求P(AB).,解 由于P(A－B)=P(A－AB)=P(A)－P(AB),4. 設(shè)P(A)=P(B)=0.5,

14、 證明: P(A B)=P(A B).,所以，P(AB)=1－P(AB)=1－0.4＝0.6,證明 P(AB)=P(A)+P(B)－P(A+B)=1－P(A+B),,,=P(A+B)=P(A B),,7. 人體血型的一個(gè)簡(jiǎn)化模型包括4種血型和2種抗體: A、B、AB與O型, 抗A與抗B. 抗體根據(jù)血型與人的血液以不同的形式發(fā)生作用. 抗A只與A、AB型血發(fā)生作用, 不與B、O型血作用, 抗B只與B、AB型血發(fā)生作用, 不與A、

15、O型血作用, 假設(shè)一個(gè)人的血型是O型血的概率為0.5, 是A型血的概率為0.34, 是B型血的概率為0.12, 求:,(2) 一個(gè)人的血型與兩種抗體都發(fā)生作用的概率.,(1) 抗A, 抗B分別與任意一人的血型發(fā)生作用的概率;,解 由已知可得: 一個(gè)人血型是AB型血的概率為0.04.,(1) PA=0.34+0.04=0.38, PB=0.12+0.04=0.16,(2) P=0.04,第一章習(xí)題1.3(第19頁(yè)),2. 在1

16、500個(gè)產(chǎn)品中, 有400個(gè)次品, 1100個(gè)正品, 從中任取200個(gè), 求: (1) 恰有90個(gè)次品的概率; (2) 至少有2個(gè)次品的概率.,解 (1) n＝,(2) P2=1－P{至多有一個(gè)次品},所以, P1＝n1/n＝,=1－P{沒(méi)有次品}－P{恰有一個(gè)次品},3. 一個(gè)口袋里裝有10只球, 分別編有號(hào)碼1, 2, …,10, 隨機(jī)地從這個(gè)口袋取三只球, 求:,解 (1) 組合法: n＝,(1)

17、最小號(hào)碼是5的概率; (2) 最大號(hào)碼是5的概率.,所以, P1=n1/n＝,或用排列法:,(2) P2=n2/n＝,(1) P1=n1/n＝,(2) P2=n2/n＝,5. 進(jìn)行一個(gè)試驗(yàn): 先拋一枚均勻的硬幣, 然后拋一個(gè)均勻的骰子,,解 (1) 設(shè)試驗(yàn)是觀察硬幣正反面和骰子的點(diǎn)數(shù), 則,?={ (正面, 1點(diǎn)), (正面, 2點(diǎn)), (正面, 3點(diǎn)), (正面, 4點(diǎn)), (正面, 5點(diǎn)), (正面, 6點(diǎn)),

18、(反面, 1點(diǎn)), (反面, 2點(diǎn)), (反面, 3點(diǎn)), (反面, 4點(diǎn)), (反面, 5點(diǎn)), (反面, 6點(diǎn)), },(2) P=3/12=1/4＝0.25,(1) 描述該試驗(yàn)的樣本空間；,(2) 硬幣是正面且骰子點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率是多少？,6. 假設(shè)2個(gè)叫Davis的男孩, 3個(gè)叫Jones的男孩, 4個(gè)叫Smith的男孩隨意地坐在一排9座的座位上. 那么叫Davis的男孩剛好坐在前兩個(gè)座位上, 叫Jones的男孩坐在挨著

19、的3個(gè)座位上, 叫Smith的男孩坐在最后4個(gè)座位上的概率是多少?,解 n＝,所以, P=nA/n=,解 記兩艘船到達(dá)泊位的時(shí)間分別為x, y, 則樣本空間為： ?＝{(x, y)|0?x?24, 0?y?24},,A={(x, y)|(x, y)??, 且－4?x－y?3},m(?)=242=576,m(A)=242－212/2－202/2,7. 某碼頭只能容納一只船. 現(xiàn)知某日獨(dú)立地來(lái)兩只船, 且在24小時(shí)內(nèi)各時(shí)刻來(lái)到

20、的可能性相等. 若它們需要?？康臅r(shí)間分別為3小時(shí)和4小時(shí), 那么有一只船需要等待進(jìn)入碼頭的概率是多少？,=155.5,所以, P(A)=155.5/576=0.27,9. 把長(zhǎng)度為l的線段任意折成3段, 求它們能構(gòu)成三角形的概率.,解 記3段長(zhǎng)度為x, y, z 則有:,?=?(x, y,z)|x, y, z>0且x+y+z=l?,,A={(x, y, z)|0<x, y, z<l/2且x+y+z=l },m(

21、?)=,m(A)=,所以, P(A)=1/4=0.25,,8. 甲、乙兩人輪流擲一顆骰子, 每輪擲一次, 誰(shuí)先擲出6點(diǎn)誰(shuí)取勝, 若從甲開(kāi)始, 問(wèn)甲乙取勝的概率各為多少？,解 由于每輪擲出6點(diǎn)的概率為1/6, 擲不出概率為5/6.,顯然, 奇數(shù)輪擲出甲取勝, 所以甲取勝的概率為:,所以, 第i輪擲出6點(diǎn)的概率為:,乙取勝的概率為: p乙勝＝1－p甲勝＝5/11.,第一章習(xí)題1.4(第23頁(yè)),1. 已知P(A)=0.8,

22、 P(B)=0.7, P(A|B)=0.8, 求P(AB).,解 由于 P(AB)=P(B)P(A|B)=0.7×0.8=0.56,所以, P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.94,于是, P(AB)=P(A+B)=1－P(A+B)=0.06,,解 P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.8,P[B(A∪B)]=P(BA+?)=P(A)－P(AB)=0.2,P(B|A∪B)=P[B(A

23、∪B)]/P(A∪B) =0.25,,,,,,,,,3. 據(jù)以往資料,某一3口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:P{孩子得病}=0.6, P{母親得病|孩子得病}= 0.5, P{父親得病|母親及孩子得病}=0.4. 求母親及孩子得病但父親未得病的概率.,解 P{母親及孩子得病},P{母親及孩子得病但父親未得病},P{父親未得病|母親及孩子得病}=1－0.4=0.6,=0.3?0.6=0.18,=P{孩子得病}P{母親得病|孩

24、子得病}=0.3,=P{母親及孩子得病}P{父親未得病|母親及孩子得病},4. 若M件產(chǎn)品中有m件廢品, 今在其中任區(qū)兩件,,(1) 已知取出的兩件中至少有一件是廢品, 求另一件也是廢品的概率;,解 記Ai=“取出的兩件中有i件廢品”，i=0, 1, 2. 則,(2) 已知取出的兩件中至少有一件不是廢品, 求另一件是廢品的概率;,(3) 求取出的兩件中至少有一件是廢品的概率.,(1) P1=P(A2|A1+A2)=P(A2)/

25、P(A1+A2),(2) P2=P(A1|A0+A1)=P(A1)/P(A0+A1),(3) P3=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2),所以, P(AB都有效)=P(B有效)－P(A失靈B有效)=0.862,5. 為防止意外事故, 礦井內(nèi)同時(shí)安裝了兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)A與B, 每個(gè)系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí), 有效率A為0.92, B為0.93, 在A失靈條件下B的有效率為0.85, 求,解 (1) P(A失靈B有效)=P(A失靈)P(B有效|

26、A失靈)=0.068,(2) 在B失靈的條件下, A有效的概率.,(1)發(fā)生事故時(shí), 這兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率.,因此, P(AB至少有一個(gè)有效)=P(A有效)+P(B有效)－P(AB都有效)=0.92+0.93－0.8636=0.988,(2) P(A有效B失靈)=P(A有效)－P(AB都有效)＝0.058,P(A有效|B失靈)=P(A有效B失靈)/P(B失靈)＝0.829,6. 一顧客每次購(gòu)買牙膏都選擇品牌A或B,

27、假定初次購(gòu)買后, 以后每次購(gòu)買時(shí)他仍選擇上一次品牌的概率為1/3, 設(shè)該顧客第一次購(gòu)買時(shí)選擇A或B的概率相等, 求他第一次和第二次都購(gòu)買A牌牙膏而第三次和第四次都購(gòu)買B牌牙膏的概率.,解記Ai=“第i次購(gòu)買A牌牙膏”,Bi=“第i次購(gòu)買B牌牙膏”.,P(A1A2B3B4)=P(A1)P(A2|A1)P(B3|A1A2)P(B4|A1A2B3),=1/2?1/3×2/3×1/3=1/27,(2) 若已知至少取出一個(gè)紅

28、色卡片,求兩個(gè)卡片都是紅色的概率.,(1) 若已知卡片A被抽出, 求兩個(gè)卡片都是紅色的概率;,解(1) P(兩個(gè)紅色|A被取出)=P(A+一紅)/P(A被取出),7. 假定一個(gè)箱子里共裝有一個(gè)藍(lán)色卡片和四個(gè)分別記為A, B, C, D的紅色卡片. 設(shè)從箱子中一次隨機(jī)地抽出兩個(gè)卡片.,=(2×1/5×3/4)/(2/5)=3/4,(2) P(兩個(gè)紅色|至少一紅)=P(兩個(gè)紅色)/P(至少一紅),=P(兩個(gè)紅色)=4

29、/5×3/4＝3/5,8. 某人忘了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字, 因而他隨意地?fù)芴?hào). 求他撥號(hào)不超過(guò)三次就接通所要撥打的電話的概率.若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù), 那么此概率又是多少？,解 P1＝1/10+9/10×1/9+9/10×8/9×1/8=3/10=0.3,P2＝1/5+4/5×1/4+4/5×3/4×1/3=3/5=0.6,1. 已知產(chǎn)品中96％是合格

30、的, 現(xiàn)有一種簡(jiǎn)化的檢查方法. 它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98, 而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05, 求以簡(jiǎn)化法檢查為合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率。,解 記A=“檢查為合格品”, B=“確實(shí)是合格品” , 則,第一章習(xí)題1.5(第27頁(yè)),P(B|A)=,= 0.9979,解 記A=“目標(biāo)被擊毀”, B1=“距目標(biāo)250米處發(fā)射”, B2=“距目標(biāo)200米處發(fā)射”, B3=“距目標(biāo)150米處發(fā)射”

31、.,P(B1|A)=,2. 炮戰(zhàn)中, 在距目標(biāo)250米, 200米, 150米處發(fā)射的概率分別為0.1, 0.7, 0.2, 命中目標(biāo)的概率分別為0.05, 0.1，0.2, 現(xiàn)在已知目標(biāo)被擊毀, 求擊毀目標(biāo)的炮彈是由距目標(biāo)250米處發(fā)射的概率.,＝0.04348,解 記A=“色盲患者”, B1=“男性”, B2=“女性”.,P(B1|A)=,＝0.9524,3. 已知男性有5%是色盲患者, 女性有0.25%是色盲患者

32、. 今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人, 恰好是色盲患者, 問(wèn)此人是男性的概率是多少?,解 記A=“收到A”, B1=“發(fā)送A”, B2=“發(fā)送B”.,P(B1|A)=,＝0.9949,5. 將兩條信息分別編碼為A和B傳遞出去, 接收站收到時(shí), A被誤收作B的概率為0.02, 而B(niǎo)被誤收作A的概率為0.01. 信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1. 若接收站收到的信息是A, 問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少?,7. 有兩箱同

33、種類的零件. 第一箱裝50只, 其中10只一等品;第二箱裝30只, 其中18只一等品. 今從兩箱中任挑出一箱,然后從該箱中不放回地抽取零件兩次. 每次任取一只. 求： (1)第一次取到的零件是一等品的概率. (2)第一次取到的零件是一等品的條件下, 第二次取到的也是一等品的概率.,解 (1) p1=0.5?10/50+0.5?18/30,(2) P{都一等}=0.5?10/50?9/49+0.5?18/30?17/29,=

34、1/10+3/10=4/10=0.4,=9/490+51/290=0.194,p2=P{都一等}/p1=0.4856,2. 一旦危險(xiǎn)情況C發(fā)生, 報(bào)警電路會(huì)閉合發(fā)出警報(bào). 借助兩個(gè)或更多開(kāi)關(guān)并聯(lián)的報(bào)警電路可以增強(qiáng)報(bào)警系統(tǒng)的可靠性. 現(xiàn)在有兩個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)的報(bào)警電路, 每個(gè)開(kāi)關(guān)有0.96的可靠性, 問(wèn)這個(gè)報(bào)警系統(tǒng)的可靠性是多少？如果要求報(bào)警系統(tǒng)的可靠性至少為0.9999, 則至少需要多少只開(kāi)關(guān)并聯(lián)？假設(shè)各開(kāi)關(guān)的閉合與否是相互獨(dú)立的

35、.,解 記Ai=“i個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)的系統(tǒng)發(fā)出警報(bào)”, 則,第一章習(xí)題1.6(第34頁(yè)),P(A2)=1－P(A2)=1－0.042=0.9984,,P(An)=1－P(An)=1－0.04n?0.9999,,解得: n?ln0.0001/ln0.04=2.86. 故至少需要3只開(kāi)關(guān)并聯(lián).,3. 求下圖所示的兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性, 假設(shè)元件i的可靠性為pi, 各元件正常工作與否相互獨(dú)立。,解 (a) 易得: 2-3子系統(tǒng)的可靠性是p2p3

36、.,2-3-4子系統(tǒng)的可靠性是:,1－(1－p4)(1－p2p3)＝p4+p2p3－p2p3p4,系統(tǒng)的可靠性為:.,系統(tǒng)的可靠性為: p1(p4+p2p3－p2p3p4) .,－P{A1A2A3A4A5},p＝P{A1A2+A1A3A5+A4A5+A2A3A4},(b) 若以Ai表示“第i個(gè)元件正常工作”, i=1, 2,…, n. 則系統(tǒng)的可靠性為:,＝P{A1A2}+P{A1A3A5}+P{A4A5}+P{A2A3A4},－P{

37、A1A2A3A5}－P{A1A2A4A5}－P{A1A2A3A4},－P{A1A3A4A5}－P{A1A2A3A4A5}－P{A2A3A4A5},+4P{A1A2A3A4A5},＝P{A1A2}+P{A1A3A5}+P{A4A5}+P{A2A3A4},－P{A1A2A3A5}－P{A1A2A4A5}－P{A1A2A3A4},－P{A1A3A4A5}－P{A2A3A4A5}＋2P{A1A2A3A4A5},＝p1p2＋p4p5+p1p3p5

38、+p2p3p4－p1p2p3p4－p1p2p3p5,－p1p2p4p5－p1p3p4p5－p2p3p4p5＋2p1p2p3p4p5,4. 根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析, 某船只運(yùn)送某種物資損壞的情況共有三種: 損壞2%(記為A1), 損壞10%(記為A2), 損壞90%(記為A3), 且P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A3)=0.05, 現(xiàn)從已被運(yùn)送物資中隨機(jī)取3件, 發(fā)現(xiàn)3件都是好的(記為B), 求: P(A1|B), P

39、(A2|B), P(A3|B). (假設(shè)物資件數(shù)很多).,解 P(B|A1)=(1－0.02)3=0.941,P(B|A2)=(1－0.1)3=0.729,P(B|A3)=(1－0.9)3=0.001,所以 P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/[P(A1)P(B|A1),+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)],=0.8?0.941/[0.8?0.941+0.15?0.729+0.05?0.001]

40、,=0.7528/[0.7528+0.10935+0.00005]=0.873,P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/[P(A1)P(B|A1),+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)],=0.15?0.729/[0.8?0.941+0.15?0.729+0.05?0.001],=0.10935/[0.7528+0.10935+0.00005]=0.127,P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)/[P(A1)P(B

41、|A1),+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)],=0.05?0.001/[0.8?0.941+0.15?0.729+0.05?0.001],=0.00005/[0.7528+0.10935+0.00005]=0.000058,概率為?,而輸出為其它一字母的概率都是(1－?)/2. 今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道, 輸入AAAA, BBBB, CCCC的概率分別為p1,p2,p3(p1+p2+p3

42、=1), 已知輸出為ABC A, 問(wèn)輸入的是AAAA的概率是多少? (設(shè)信道傳輸各個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的.),解 P=,=2?p1/(1－?－p1＋3?p1),5. 將A,B,C三個(gè)字母之一輸入信道, 輸出為原字母的,解 P=0.72×0.83＝0.2509,6. 設(shè)在第一臺(tái)車床上制造一級(jí)品零件的概率為0.7, 在第二臺(tái)車床上制造一級(jí)品零件的概率為0.8, 第一臺(tái)車床制造了2個(gè)零件, 第二臺(tái)車床制造了3個(gè)零件,

43、求這5個(gè)零件均為一級(jí)品的概率.,解 (1) P1=1－(0.5)2n,7. 設(shè)實(shí)驗(yàn)室產(chǎn)生甲類細(xì)菌和乙類細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相等的,若某次產(chǎn)生了2n個(gè)細(xì)菌, 求: (1) 至少有一個(gè)是甲類細(xì)菌的概率; (2) 甲, 乙兩類細(xì)菌各占一半的概率.,(2) P2=C2nn(0.5)2n,解 P{至少擊中兩彈}=1－P{一彈未中}－P{只中一彈},8. 設(shè)每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.001, 射擊5000次, 求至少擊中兩彈的概率.,＝1－0.

44、9995000－5000×0.001×0.9994999,＝0.9596,第一章章末習(xí)題1(第35頁(yè)),1. 已知隨機(jī)事件A, B滿足P(AB)=P(A B), 且P(A)=p, 求P(B).,解 由于 P(AB)=P(A)＋P(B)－P(A＋B),=P(A)＋P(B)－1+P(A＋B),,=P(A)＋P(B)－1+P(A B),所以, P(A)＋P(B)－1=0,即, P(B)＝1－P(A)＝1－p

45、,第一章章末習(xí)題1(第35頁(yè)),3. 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9, A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等, 求P(A).,解 由于 P(A)P(B)=P(AB)=P(AB)=P(A)P(B),所以 P(A)[1－P(B)]=[1－P(A)]P(B),故 P(A)=P(B),,,,,又由于 P(AB)=[1－P(A)][1－P(B)]=1/9,所以 1－P(

46、A)=1/3,故 P(A)=2/3,,,或, 第i個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率為:,第一章章末習(xí)題1(第35頁(yè)),4. 50只鉚釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件上, 其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱. 每個(gè)部件用3只鉚釘. 若將3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上, 則這個(gè)部件的強(qiáng)度就太弱. 問(wèn)發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少?,, k=,p=,解 n=,所以, 發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率為:,第一章章末習(xí)題1(第35頁(yè)),5.

47、一打靶場(chǎng)備有5支某種型號(hào)的槍, 其中3支已經(jīng)校正, 2只未經(jīng)校正. 某人使用已校正的槍擊中目標(biāo)的概率為p1,使用未經(jīng)校正的槍擊中目標(biāo)的概率為p2, 現(xiàn)在他隨機(jī)地取了一支槍, 射擊5次都未擊中, 求他使用的是已校正的槍的概率(設(shè)各次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立).,解 記A＝“5次都未擊中”, B=“使用的是已校正的槍”.,P(B|A)=[P(B)P(A|B)]/[P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)],=[3/5×(1－p1

48、)5]/[3/5×(1－p1)5+2/5×(1－p2)5],,,=3(1－p1)5/[3(1－p1)5+2(1－p2)5],解 (1) P(A)=2/6=1/3; P(B)=21/36=7/12,6. 將一顆骰子擲兩次, 考慮兩事件A, B: A=“第一次擲得點(diǎn)數(shù)為2或5” , B=“兩次點(diǎn)數(shù)之和至少為7”, (1) 求P(A), P(B); (2) 判斷A, B是否相互獨(dú)立.,(2) P(AB)=7/

49、36=P(A)P(B),所以，事件A, B相互獨(dú)立.,7. 設(shè)甲, 乙, 丙三門炮同時(shí)獨(dú)立地向某目標(biāo)射擊, 命中率分別為0.2, 0.3, 0.5, 目標(biāo)被命中一發(fā)而擊毀的概率為0.2 , 被命中兩發(fā)而擊毀的概率為0.6 , 被命中三發(fā)而被擊毀的概率為0.9. 求: (1) 三門炮在一次射擊中擊毀目標(biāo)的概率; (2) 若已知目標(biāo)被擊毀, 求只由甲炮擊中的概率.,P(B1)=0.2(1－0.3)(1－0.5)+(1

50、－0.2)0.3(1－0.5),+(1－0.2)(1－0.3)0.5=0.47,P(B2)=0.2?0.3(1－0.5)+ 0.2(1－0.3)?0.5,解 記A=“目標(biāo)被擊毀”, Bi=“被命中i發(fā)” , (i=1,2,3),+(1－0.2)×0.3×0.5=0.22,P(B3)=0.2?0.3?0.5=0.03,=0.47×0.2+0.22×0.6+0.03×0.9=0.253,(

51、2) 記C=“只有甲命中”. 則,P(C)=0.2(1－0.3)(1－0.5)=0.07, 于是,(1) P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),P(C|A)=P(AC)/P(A)=P(C)P(A|C)/P(A),=0.07×0.2/0.253,=0.0553,10. 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊后, 至少命中一次的概率為80/81, 求該射手的命中率.,解

52、 設(shè)該射手的命中率為p, 則有:,1－(1－p)4=80/81,所以，(1－p)4=1/81,故，該射手的命中率為: p=2/3.,11. 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器, 以概率0.7直接出廠,以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試, 經(jīng)調(diào)試以后以概率0.8出廠, 以概率0.2定為不合格不能出廠, 現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n ( n?2 )臺(tái)儀器(假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立), 求: (1)全部能出廠的概率?; (2)其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率?; (

53、3)其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率? .,解 每臺(tái)儀器能出廠的概率p＝0.7＋0.3×0.8＝0.94.,(1) ?=0.94n ;,(2) ?=Cn2(0.06)2(0.94)n－2＝0.0018n(n－1)(0.94)n－2,(3) ?=1－0.94n－0.06n(0.94)n－1,解 n個(gè)卵變?yōu)閗個(gè)成蟲(chóng)的概率為: Cnkpk(1－p)n－k,(1) 每蠶養(yǎng)出k個(gè)成蟲(chóng)的概率為:,12. 若每蠶產(chǎn)n個(gè)卵的概率為

54、 ,每個(gè)卵變?yōu)槌上x(chóng)的概率為p,且各卵是否變?yōu)槌上x(chóng)是相互獨(dú)立的, (1) 求每蠶養(yǎng)出k個(gè)成蟲(chóng)的概率; (2) 若某蠶養(yǎng)出k個(gè)成蟲(chóng), 求它產(chǎn)了n個(gè)卵的概率.,(2) P{產(chǎn)n個(gè)卵|養(yǎng)出k個(gè)成蟲(chóng)},＝P{產(chǎn)n個(gè)卵}P{養(yǎng)出k個(gè)蟲(chóng)|產(chǎn)n個(gè)卵}/P{養(yǎng)出k個(gè)蟲(chóng)},=P{產(chǎn)n個(gè)卵且養(yǎng)出k個(gè)成蟲(chóng)}/P{養(yǎng)出k個(gè)成蟲(chóng)},第二章習(xí)題2.1(第38頁(yè)),隨機(jī)抽出一同學(xué)，他成績(jī)

55、在90分以上的課程數(shù)。,舉出幾個(gè)你所熟悉的能用隨機(jī)變量來(lái)描述的社會(huì)或生活現(xiàn)象.,拋擲5枚硬幣，正面朝上的個(gè)數(shù)。,買10張彩票，中獎(jiǎng)情況.,在一些人中隨機(jī)找一人測(cè)其身高。等等。,1. 問(wèn)c取何值才能使下列數(shù)列成為分布律:,(1),第二章習(xí)題2.2(第49頁(yè)),解 (1) 由 , 得：c=1.,(2) 由于,(2) (?>0為

56、常數(shù)).,所以, c=1/(e?－1).,2.已知隨機(jī)變量X只?。?, 0,1, 2四個(gè)值,相應(yīng)概率依次為1/2c, 3/4c, 5/8c, 7/16c,試確定常數(shù)c, 并求P{X<1|X≠0}.,解 由分布律的性質(zhì)有：,1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=37/16c=1,所以, c=37/16.,P{X<1|X≠0}=P{X<1且X≠0}/P{X≠0},=P{X=－1}/[1－P{X＝0}],=(8/3

57、7)/[1－12/37],=8/25,3. 一批產(chǎn)品分一、二、三級(jí), 其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍, 三級(jí)品是二級(jí)品的一半. 從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量, 試用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果, 并寫出其分布律.,解 記X＝i為檢驗(yàn)結(jié)果為i級(jí)品, 則X只能取1, 2, 3.,若設(shè)P{X=2}=p, 則P{X=1}＝2p, P{X=3} =0.5P, 于是p+2p+0.5p=1, 即p=2/7.,即X的分布律為:,P{X=1}=

58、4/7.,P{X=2}=2/7.,P{X=3}=1/7.,或?qū)懗?,4. 某運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.4, 寫出他一次投籃命中數(shù)X的分布律.,解 顯然, X只能取0，1，其分布律為：,P{X=0}=0.6, P{X=1}=0.4.,或?qū)懗? , 或,5. 上拋兩枚硬幣, 寫出正面朝上的個(gè)數(shù)Y的分布律.,解 顯然, Y只能取0, 1, 2, 其分布律為

59、：,P{Y=0}=0.25, P{Y=1}=0.5, P{Y=2}=0.25.,7. 設(shè)隨機(jī)變量X～B(6, p), 已知P{X=1}=P{X=5}, 求P{X=2}的值.,解 由于X～B(6, p), 所以, P{X=k}=C6kpk(1-p)6-k,,由已知有：6p(1-p)5=6p5(1-p), 所以, p=0.5.,因此, P{X=2}=15×0.52×0.54=15/64≈0.2344,8

60、. 已知事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于三次時(shí), 指示燈將發(fā)出信號(hào), 若按一下兩種方式進(jìn)行試驗(yàn), 分別求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.,解 (1) P{X≥3}=,(2) P{X≥3}=1－P{X<3}=,(1) 進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn);(2) 進(jìn)行7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).,9 某實(shí)驗(yàn)室有自動(dòng)控制的儀器10臺(tái), 相互獨(dú)立地運(yùn)行,發(fā)生故障的概率都是0.03, 在一般情況下, 一臺(tái)儀器的故障需要一個(gè)技師處理. 問(wèn)配備多少技師可

61、以保證在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)處理的概率小于0.05.,解 記X=“同時(shí)發(fā)生故障儀器的臺(tái)數(shù)”, 則X?B(10, 0.03),令 p?X>N?≤0.05, 則 P{X≤N}>0.95,因?yàn)?,所以, P{X≤1}=0.7374+0.2281=0.9655>0.95,因此，取N=1便滿足條件。,即, 配備一名技師便可以保證設(shè)備發(fā)生故障….,11. 某救援站在長(zhǎng)度為t的時(shí)間(單位:h)內(nèi)收到救援信號(hào)的次

62、數(shù)X服從P(t/2)分布且與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān), 試求某天下午救援站在1點(diǎn)至6點(diǎn)間至少收到一次救援信號(hào)的概率.,解 由已知, 1點(diǎn)至6點(diǎn)收到救援信號(hào)的次數(shù)X～P(5/2),,所以, P{X≥1}=1－P{X=0}=1－e-2.5≈0.9179,12. 若X～P(?)且P{X=2}=P{X=3}, 求P{X=5}.,解 由已知有: ?2e－?/2=?3e－?/6, 所以, ?=3,所以, P{X＝5}=?5e－

63、?/5!＝35e－3/5!≈0.1008,13. 設(shè)步槍射擊飛機(jī)的命中率為0.001, 今射擊6000次,試按泊松分布近似計(jì)算步槍至少擊中飛機(jī)兩彈的概率, 并求最可能擊中數(shù).,解 記X為擊中彈數(shù), 則X～B(6000, 0.001),所以, P{X≥2}=1－P{X=0}－P{X=1},≈1－e－6－6e－6≈0.9826,實(shí)際上,P{X≥2}=1－0.9996000－6000×0.001×0.9995999,≈

64、0.9827,X的最可能數(shù)為: [(n+1)p]=[6.001]=6,即, 最可能擊中數(shù)為6。,15. 在有8件正品, 2件次品的10件產(chǎn)品中隨機(jī)地取3件,寫出取出的次品數(shù)X的分布律.,解 X～H(10, 2, 3)，其分布律為:,P{X=0}=8/10×7/9×6/8=7/15,P{X=1}=3×8/10×7/9×2/8=7/15,P{X=2}=3×8/10×2

65、/9×1/8=1/15,16. 在一副撲克牌中(按54張計(jì))隨機(jī)地抽出5張, 求抽出黑桃張數(shù)的概率分布.,解 黑桃張數(shù)X～H(54, 13, 5)，其分布律為:,17. 一批產(chǎn)品的次品率為0.02, 從中任取20件, 現(xiàn)已初步查出2件次品, 求20件中次品數(shù)不小于3的概率.,解 20件中次品數(shù)X～B(20, 0.02)，于是,,P{X≥3|X≥2}=P{X≥3}/P{X≥2},=[1-P{X<3}]/[1-P{X&

66、lt;2}],=[1-0.9820-20×0.02×0.9819-190×0.022×0.9818]/,[1-0.9820-20×0.02×0.9819]≈0.1185,18. 自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p, 且生產(chǎn)過(guò)程中一旦出現(xiàn)廢品即刻重新進(jìn)行調(diào)整. 求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律.,解 合格品數(shù)X＋1～G(P)，于是, 其分布律為:,P{X=k}=(1

67、-p)kp，k=0, 1, 2, …,19. 某射手有5發(fā)子彈,每射一發(fā)子彈的命中率都是0.7,如果命中目標(biāo)就停止射擊, 不中目標(biāo)就一直射擊到子彈用完為止, 試求所用子彈數(shù)X的分布律.,解 顯然, X只能取1, 2, 3, 4, 5, X的分布律為:,P{X=1}=0.7;,P{X=2}=0.3×0.7=0.21;,P{X=3}=0.32×0.7=0.063;,P{X=4}=0.33×0.7=0.

68、0189;,P{X=5}=0.34=0.0081.,20. 從有10件正品, 3件次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取,每次抽取時(shí), 各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等. 在下列三種情形下,分別寫出直到取得正品為止所需抽取次數(shù)X的分布律.,(1) 每次取出的產(chǎn)品不再放回;,(2) 每次取出的產(chǎn)品立即放回;,(3) 每次取出一件產(chǎn)品后隨即放回一件正品.,解 (1) X只能取1, 2, 3, 4, 其分布律為:,P{X=3}=3/13×2/12&

69、#215;10/11=5/143;,P{X=4}=3/13×2/12×1/11=1/286.,P{X=1}=10/13;,P{X=2}=3/13×10/12=5/26;,解 (2) X～G(10/13), 其分布律為:,P{X=1}=10/13;,P{X=2}=3/13×11/13=33/169.,P{X=k}=(3/13)k－1(10/13), k=1, 2, 3, …;,(3) X只能取1