[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件第七章正態(tài)總體的區(qū)間總計(jì)

1、1,前面，我們討論了參數(shù)的點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)僅僅給出了未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這種估計(jì)的精度.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)不足之處.,§7.4 正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì),2,可信度：越大越好,估計(jì)你的年齡 八成在21－28歲之間,被估參數(shù),可信度,范圍、區(qū)間,,,,區(qū)間：越小越好,3,引例 在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的最大似然估計(jì)為

2、1000條.,實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.,為此，我們希望確定一個(gè)區(qū)間來估計(jì)參數(shù)真值,4,a 使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.,這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的,b 區(qū)間估計(jì)的精度要高.,5,設(shè)X1 ，X2,…，Xn為來自總體X?F(x;?)的一個(gè)樣本，? ? ?是未知參數(shù). 若對(duì)于給定的?（0 <? <1），存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,,使得對(duì)任意的? ? ? 滿足,一

3、 置信區(qū)間的定義,6,,,,,,,則稱隨機(jī)區(qū)間 為參數(shù)? 的置信水平(confidence level)為1-? 的置信區(qū)間(confidence interval).,置信水平又稱為置信度，置信區(qū)間的左端點(diǎn) 又稱為置信下界，置信區(qū)間的右端點(diǎn) 又稱為置信上界.,7,,,,,,,8,1. 要求 以很大的可能被包含在區(qū)間,內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大.,即要求估計(jì)

4、盡量可靠.,可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.,9,二 構(gòu)造置信區(qū)間的方法,1. 樞軸量法,10,(3) 利用不等式運(yùn)算，將不等式,(2) 適當(dāng)選取兩個(gè)常數(shù)a, b，使對(duì)給定的?，有,等價(jià)變形為,11,即,此時(shí)參數(shù)? 的置信水平為1-? 的置信區(qū)間為,12,2. 如何確定a , b,我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.,任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.

5、,,13,在 概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a =-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.,14,即使 的概率密度不對(duì)稱的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的百分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.,15,三 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì),,16,~N(0, 1),選 的點(diǎn)估計(jì)為,,求參數(shù) 的置信水平為 的置信區(qū)間.,例1 設(shè)X1,…,Xn是取自 的樣本，

6、,解：,尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量的函數(shù) ，要求其分布為已知.,有了分布，就可以求出Z取值于任意區(qū)間的概率.,17,對(duì)給定的置信水平,對(duì)于給定的置信水平, 根據(jù)Z的分布，確定一個(gè)區(qū)間, 使得Z取值于該區(qū)間的概率為置信水平.,使,18,對(duì)給定的置信水平,使,從中解得,19,,的一個(gè)置信水平為 的置信區(qū)間,置信區(qū)間的長(zhǎng)度為,20,,說明：,(2)置信區(qū)間的中心是樣本均值,(3)置信水平 越大， 越大，因此

7、 置信區(qū)間越長(zhǎng),(4)樣本容量n越大，置信區(qū)間越短,置信區(qū)間的長(zhǎng)度為,(1)L越小，置信區(qū)間提供的信息越精確,21,,22,,因方差未知，則,不是統(tǒng)計(jì)量.,想法：用樣本均方差 S 代替σ.,23,,于是取,對(duì)給定的置信水平 ,確定分位數(shù),使,即,24,,從中解得,25,例2 有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)的取16袋，稱得重量(以克記)如下：,設(shè)每袋糖果的重量近似服從正態(tài)分布，試求總體均值 的置信水平為0.95的置信區(qū)間,506

8、508 499 503 504 510 497 512,514 505 493 496 506 502 509 496,26,解：這是單總體方差未知，總體均值 的區(qū)間估計(jì)問題.,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得,這里,均值 的置信水平為 的置信區(qū)間為,27,,均值 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間為,28,取樞軸量,從中解得,(2)方差 的置信水平為 的置信區(qū)間.,29,,方差

9、 的置信水平為 的置信區(qū)間為,標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為 的置信區(qū)間.,30,例3 求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平 為0.95的置信區(qū)間,解：,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得,這里,31,,標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為 的置信區(qū)間.,代入具體數(shù)值算得,32,正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間,33,,34,,35,,36,,37,,38,,39,,40,,因此所求置信區(qū)間為,41,,由于所得置信區(qū)間