[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講

1、第四節(jié),區(qū)間估計(jì),引言,前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 .,也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.,,湖中魚數(shù)的真值,[ ],,這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.

2、,置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.,例如，通?？扇≈眯潘?=0.95或0.9等.,尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.,使得,,稱 為 與 之間的誤差限 .,我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 ，根據(jù)置信水平 ，可以找到一個(gè)正數(shù) ，,只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難.,下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法.,這個(gè)不等式就是我們所求的置

3、信區(qū)間.,一、 置信區(qū)間定義：,則稱區(qū)間 是 的置信水平（置信度、置信概率）為 的置信區(qū)間.,可見，,即要求估計(jì)盡量可靠.,可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.,關(guān)于定義的說明,若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n),按伯努利大數(shù)定理, 在這樣多的區(qū)間中,,例如,~N(0, 1),選 的點(diǎn)估計(jì)為,二、置信區(qū)間的求法,明確問題,是求什么參數(shù)的置信

4、區(qū)間?置信水平是多少？,解：,尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量的函數(shù) ，要求其分布為已知.,有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.,對(duì)給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,對(duì)于給定的置信水平(大概率), 根據(jù)U的分布，確定一個(gè)區(qū)間, 使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.,使,對(duì)給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,使,從中解得,,也可簡(jiǎn)記為,于是所求 的 置信區(qū)間為,從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:,1. 明

5、確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?,置信水平 是多少?,2. 尋找參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T (X1,X2,…Xn),稱S(T, )為樞軸量.,3. 尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量T的函數(shù) S(T, ),且其分布為已知.,5. 對(duì)“a≤S(T, )≤b”作等價(jià)變形,得到如下形式:,則 就是 的100( )％的置信區(qū)間.,而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，

6、是怎樣的類型，至關(guān)重要.,這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形. 若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì).,教材上討論了以下幾種情形：,單個(gè)正態(tài)總體均值 和方差 的區(qū)間估計(jì).,兩個(gè)正態(tài)總體均值差 和方差比 的區(qū)間估計(jì).,比例 p 的區(qū)間估計(jì).,教材180頁已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)（分位點(diǎn)）的定義，為便于應(yīng)用，

7、這里我們?cè)俸?jiǎn)要介紹一下.,在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù).,例如:,設(shè)0< <1, 對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足,的點(diǎn) 為X的概率分布的上 分位數(shù).,,例如:,設(shè)0< <1, 對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足,的點(diǎn) 為X的概率分布的上 分位數(shù).,分布的上 分位數(shù),自由度為n的,,,設(shè)0< <1, 對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足,的點(diǎn) 為X的概率分布的上

8、 分位數(shù).,,,書末附有 分布、t 分布、F分布的上側(cè)分位數(shù)表，供使用. 需要注意的事項(xiàng)在教材上有說明.,至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對(duì)分布函數(shù)定義熟悉的話，這個(gè)問題不難解決.,一、單個(gè)總體 的情況,由例1可知:,1.,包糖機(jī)某日開工包了12包糖,稱得質(zhì)量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,,513,521,520,512,485. 假設(shè)重量服從正態(tài)分布,,解,,..

9、\新建文件夾4\2-1.ppt2-1,例2,,附表2-2,查表得,推導(dǎo)過程如下:,解,有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋, 稱得重量(克)如下:,設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布, 試求總體均值,,附表3-1,例3,就是說估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間, 這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%.,這個(gè)誤差的可信度為95%.,推導(dǎo)過程如下:,根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知,進(jìn)一步可得:,注意: 在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí),,習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位

10、點(diǎn)來確定置信區(qū)間(如圖).,(續(xù)例2) 求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為0.95的置信區(qū)間.,解,代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間,,附表4-1,,附表4-2,例4,休息片刻繼續(xù),例5 已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X~,隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒,…,得100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù),X1,X2,…,X100,解：這是單總體均值和方差的估計(jì),已知,先求均值 的區(qū)間估計(jì).,因方差未知，取,對(duì)給定的置信度 ,確定分位數(shù),使,即,從中解得,取樞軸量

11、,從中解得,再求方差 的置信水平為 的區(qū)間估計(jì).,需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.,對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間.,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意a、b，我們可以求得P( a<U<b) .,例如，設(shè)X1,…Xn是取自 的樣本，,,求參數(shù) 的置信水平為 的,置信區(qū)間.,~N(0, 1),由 P(-1.75≤U≤2

12、.33)=0.95,這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長一些.,我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.,類似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間.,任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.,在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a =-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長度為最短.,,,a =-b,即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.,我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水

13、平小于1的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長度越長.,也就是說，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠度高，區(qū)間長度就長，估計(jì)的精度就差.這是一對(duì)矛盾.,實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長度短一些 .,二、兩個(gè)總體 的情況,討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問題.,推導(dǎo)過程如下:,1.,解,由題意, 兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知),,解,由題意, 兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知),,推導(dǎo)過程如下:,2.,根據(jù)F分布的定義

14、, 知,解,解,一個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間,兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（一）,兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（二）,三、單側(cè)置信區(qū)間,上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.,例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.,這時(shí)，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.,于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：,又若統(tǒng)計(jì)量

15、 滿足,單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間,由于方差 未知，取樞軸量,解： 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值,對(duì)給定的置信水平 ，確定分位數(shù),使,即,于是得到 的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間為,將樣本值代入得,的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是,1065小時(shí),,同學(xué)們可通過練習(xí)，掌握各種求未知參數(shù)的 置信區(qū)間的具體方法.

16、,這一講，我們介紹了區(qū)間估計(jì).,,,,數(shù)學(xué)獎(jiǎng)——菲爾茲獎(jiǎng)與阿貝爾獎(jiǎng),沃爾夫獎(jiǎng),為什么諾貝爾在以他名字命名的獎(jiǎng)項(xiàng)中不設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)？這個(gè)問題曾經(jīng)引起許多猜測(cè)。比較流行的說法有兩種：一個(gè)傳說是諾貝爾本人認(rèn)為數(shù)學(xué)與人類的進(jìn)步?jīng)]有直接的關(guān)聯(lián)，因而不值得為數(shù)學(xué)設(shè)立專門獎(jiǎng)項(xiàng)；另一個(gè)更為廣泛的說法是，當(dāng)時(shí)瑞典的領(lǐng)頭數(shù)學(xué)家萊夫勒，他是諾貝爾的情敵，如果設(shè)立諾貝爾數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，則很可能非萊夫勒莫屬。當(dāng)然，事實(shí)真相究竟如何，現(xiàn)在已經(jīng)難以精確地考證，但諾貝爾部設(shè)立數(shù)

17、學(xué)獎(jiǎng)卻早已成為不爭(zhēng)的事實(shí)，引起數(shù)學(xué)界的普遍抱怨。,,菲爾茲是加拿大的數(shù)學(xué)家，熱心倡導(dǎo)數(shù)學(xué)國際交流活動(dòng)，曾成功組織了多倫多舉辦的第7屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)。菲爾茲是萊夫勒的好朋友，他對(duì)諾貝爾不設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)?lì)H有不滿，于是他提議將第7屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)剩余經(jīng)費(fèi)用來設(shè)立一個(gè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。在他去世前，菲爾茲又把自己的財(cái)產(chǎn)中的一大筆錢捐獻(xiàn)出來，以增加數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的費(fèi)用。在1932年蘇黎世舉行的第9屆數(shù)學(xué)大會(huì)上，大會(huì)組織成員決定把這個(gè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)命名為“菲爾茲獎(jiǎng)”。菲爾茲獎(jiǎng)用來獎(jiǎng)勵(lì)

18、年齡不超過40歲的年輕數(shù)學(xué)家，每次獲獎(jiǎng)?wù)卟怀^4人，每位獲獎(jiǎng)?wù)呖傻玫揭幻都兘皙?jiǎng)?wù)潞鸵还P數(shù)額不大的獎(jiǎng)金。 1982年華裔美國數(shù)學(xué)家丘成桐獲得了菲爾茲獎(jiǎng)，成為目前唯一獲此殊榮的華人。,,菲爾茲獎(jiǎng)每4年頒發(fā)一次，且獎(jiǎng)金數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能和諾貝爾獎(jiǎng)相比較。2002年，挪威政府宣布將于2003年開始頒發(fā)“阿貝爾獎(jiǎng)”，以紀(jì)念挪威天才的青年數(shù)學(xué)家阿貝爾誕辰200周年。這項(xiàng)獎(jiǎng)金每年一次，獎(jiǎng)金約50萬美元。這足可以和諾貝爾獎(jiǎng)金相比較。菲爾茲獎(jiǎng)面向的是青年數(shù)