[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第三章3講

1、第五節(jié),隨機(jī)變量函數(shù)的分布,在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:,我們先討論兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題，然后將其推廣到多個隨機(jī)變量的情形.,當(dāng)隨機(jī)變量X1, X2, …,Xn的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù) Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m的聯(lián)合分布?,一、離散型分布的情形,例1 若X、Y獨立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k

2、)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函數(shù).,解:,=a0br+a1br-1+…+arb0,由獨立性,此即離散卷積公式,r=0,1,2, …,解：依題意,由卷積公式,i=0,1,2,…,j=0,1,2,…,由卷積公式,即Z服從參數(shù)為 的泊松分布.,r =0,1，…,,,,,例4 設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為 f (x,y),求Z=X+Y的密度.,解: Z=X+Y的分布函數(shù)是: FZ(z)=P

3、(Z≤z)=P(X+Y ≤ z),這里積分區(qū)域D={(x, y): x+y ≤z}是直線x+y =z 左下方的半平面.,二、連續(xù)型分布的情形,化成累次積分,得,固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令x=u-y,得,變量代換,交換積分次序,由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得Z=X+Y的概率密度為:,由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成,以上兩式即是兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.,特別，當(dāng)X和Y獨立，設(shè)(

4、X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,這兩個公式稱為卷積公式 .,下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度,為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域,解: 由卷積公式,也即,為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域,如圖示:,也即,于是,,,由公式,解,例6 設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量 X 與Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,,,得,用類似的方法可以證明:,若X

5、和Y 獨立,,結(jié)論又如何呢?,此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機(jī)變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論.,若X和Y 獨立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).,有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.,更一般地, 可以證明:,從前面例4可以看出， 在求隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布時，關(guān)鍵是設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為(X,Y)在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.,休息片刻再繼

6、續(xù),三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).,又由于X和Y 相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),FM(z)=P(M≤z),=P(X≤z)P(Y≤z),=P(X≤z,Y≤z),由于M=max(X,Y)不大于z等價于X

7、和Y都不大于z，故有,分析：,P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z),類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是,下面進(jìn)行推廣,即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)],=1-P(X>z,Y>z),FN(z)=P(N≤z),=1-P(N>z),=1- P(X>z)P(Y>z),設(shè)X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為,我們來求 M=max(X1,…,Xn)和N=m

8、in(X1,…,Xn)的分布函數(shù).,(i =0,1，…, n),用與二維時完全類似的方法，可得,特別，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有,N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是,M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:,FM(z)=[F(z)] nFN(z)=1-[1-F(z)] n,…,…,若X1,…,Xn是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)后，不難求

9、得M和N的密度函數(shù).,留作課下練習(xí).,當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有,FM(z)=[F(z)] nFN(z)=1-[1-F(z)] n,需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時, 常稱,M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn),為極值 .,由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.,,,例7,,,解,,,,,,,,,下

10、面我們再舉一例，說明當(dāng)X1,X2為離散型r.v時，如何求Y=max(X1,X2)的分布.,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2≤n)+P( X2 =n, X1 <n),記1-p=q,例8 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨立,并且有相同的幾何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, … ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,n=0,1,2,…,解二:

11、P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1),=P(max(X1,X2) ≤ n )-P(max(X1,X2) ≤n-1),=P(X1≤ n, X2≤n)-P( X1 ≤ n-1, X2 ≤ n-1),n=0,1,2,…,那么要問，若我們需要求Y=min(X1,X2)的分布，應(yīng)如何分析？,留作課下思考,這一講，我們介紹了求隨機(jī)向量函數(shù)的分布的原理和方法，需重點掌握的是：,請通過練習(xí)熟練掌握.,1、已知兩個隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，會求其函

12、數(shù)的概率分布；2、會根據(jù)多個獨立隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的概率分布．,,,,哥尼斯堡七橋問題,18世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結(jié)，如圖1所示。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，于是提出了一個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七橋問題。,,這個問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最后問題提到了大數(shù)學(xué)家歐拉那里。歐拉以深邃的洞察

13、力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖2所示。,,于是“七橋問題”就等價于上圖中所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，每個點如果有進(jìn)去的邊就必須有出來的邊，從而每個點連接的邊數(shù)必須有偶數(shù)個才能完成一筆畫。上圖的每個點都連接著奇數(shù)條邊，因此不可能一筆畫出，這就說明不存在一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次的走法。