極值點偏移問題的兩種常見解法之比較

1、1極值點偏移問題的兩種常見解法之比較淺談部分導數(shù)壓軸題的解法在高考導數(shù)壓軸題中，不斷出現(xiàn)極值點偏移問題，那么，什么是極值點偏移問題？參考陳寬宏、邢友寶、賴淑明等老師的文章，極值點偏移問題的表述是：已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，()yfx?12()xx0x且，若極值點左右的“增減速度”相同，常常有極值點，12()()fxfx?1202xxx??我們稱這種狀態(tài)為極值點不偏移；若極值點左右的若極值點左右的“增減速度增減速度”

2、不同，函數(shù)的圖不同，函數(shù)的圖象不具有對稱性，常常有極值點象不具有對稱性，常常有極值點的情況，我們稱這種狀態(tài)為的情況，我們稱這種狀態(tài)為“極值點極值點1202xxx??偏移偏移”.極值點偏移問題常用兩種方法證明：一是函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性，若函數(shù)在區(qū)()fx間內(nèi)單調(diào)遞增，則對區(qū)間內(nèi)的任意兩個變量，()ab()ab12xx、；若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則對區(qū)間1212()()fxfxxx???()fx()ab內(nèi)的任意兩個變量，.二是利用“對數(shù)

3、平均不對數(shù)平均不()ab12xx、1212()()fxfxxx???等式等式”證明，什么是“對數(shù)平均”？什么又是“對數(shù)平均不等式”？兩個正數(shù)兩個正數(shù)和的對數(shù)平均數(shù)定義：的對數(shù)平均數(shù)定義：ab()lnlnababLababaab??????????對數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的大小關系是：對數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的大小關系是：，（此式記為對數(shù)平均不等式）()2ababLab???下面給出對數(shù)平均不等式的證明：證明：i）當時

4、，顯然等號成立0ab??ii）當時，不妨設，0ab??0ab??①先證先證，要證，只須證：，lnlnababab???lnlnababab???lnaabbba??令，只須證：1axb??12ln1xxxx???設，則，所以1()2ln1fxxxxx????22221(1)()10xfxxxx????????3存在唯一零點，即，(1)??1x11x?故時，存在兩個零點；0a?()fx當時，由得，，0a?()0fx??1ln(2)xxa?

5、??或若，即時，，故在上單調(diào)遞增，與題意不符ln(2)1a??2ea??()0fx??()fxR若，即時，易證故在上只有一ln(2)1a??02ea???()=(1)0fxfe???極大值()fxR個零點，若，即時，易證ln(2)1a??2ea??，故在上只有一個零()=(ln(2)fxfa?極大值2(ln(2)4ln(2)5)0aaa??????()fxR點綜上述，0a?（Ⅱ）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明

6、由（Ⅰ）知，且0a?1212xx???令，則2()()(2)(2)1xxhxfxfxxexex????????2(1)2(1)(e1)()xxxhxe??????因為，所以，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞增1x?2(1)1010xxe?????()0hx??()hx(1)??所以，即，所以，所以()(1)0hxh??()(2)fxfx??22()(2)fxfx??，12()(2)fxfx??因為，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即12121xx???()

7、fx(1)??122xx??122xx??解法二、利用對數(shù)平均不等式證明解法二、利用對數(shù)平均不等式證明由（Ⅰ）知，，又所以，0a?(0)2fa??當時，且，故02a??10x?212x??122xx??當時，，又因為2a?12012xx????12122212(2)(2)(1)(1)xxxexeaxx????????即12122212(2)(2)(1)(1)xxxexexx?????所以111222ln(2)2ln(1)ln(2)2ln