高考數(shù)學中涂色問題的常見解法及策略.

1、高考數(shù)學中涂色問題的常見解法及策略高考數(shù)學中涂色問題的常見解法及策略與涂色問題有關的試題新穎有趣近年已經在高考題中出現(xiàn)，其中包含著豐富的數(shù)學思想。解決涂色問題方法技巧性強且靈活多變，因而這類問題有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學生的智力。本文擬總結涂色問題的常見類型及求解方法一、區(qū)域涂色問題1、根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1、用5種不同的顏色給圖中標①、②、③、④

2、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？[來源:學科網(wǎng)]分析：先給①號區(qū)域涂色有5種方法，再給②號涂色有4種方法，接著給③號涂色方法有3種，由于④號與①、②不相鄰，因此④號有4種涂法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的涂色方法有5434240????2、根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能

3、同色。分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有；44A（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有；44A（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有；44A（4）③與⑤同色、②與④同色，則有；（5）②與④同色、③與⑥同色，則有；44A44A所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5=12044A例3、如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分

4、析：依題意至少要用3種顏色1)當先用三種顏色時，區(qū)域2與4必須同色，2)區(qū)域3與5必須同色，故有種；34A3)當用四種顏色時，若區(qū)域2與4同色，4)則區(qū)域3與5不同色，有種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與4不同色，44A有種，故用四種顏色時共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法44A44A共有2=24224=7234A44A?②①③④24315①②2③④⑤⑥1nA?與不同色，共有種染色方法，但由于與鄰，所以應排除與nA143n??nA

5、1AnA1A同色的情形；與同色時，可把、看成一個扇形，與前個扇形加在一起為nA1AnA1A2n?個扇形，此時有種染色法，故有如下遞推關系：1n?1na?1143nnnaa?????1211243(43)43nnnnnnaaa?????????????????21321234343434343nnnnnnnaa????????????????????124[33(1)3](1)33nnnnn????????????????二、點的涂色問題

6、方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異SABCD?色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別

7、同色，故有125460CA?種方法。（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種24A顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。12115422240CACC?（3）若恰用五種顏色染色，有種染色法55120A?綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60240120=420種。解法二：設想