高考數(shù)學(xué)必備—函數(shù)—函數(shù)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤分析（1.2）

1、第 1 頁(yè) 共 8 頁(yè)函數(shù)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤分析（一）函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考考點(diǎn)多、覆蓋面廣，在考試中往往容易“因小失大” ，在審題過(guò)程中一定要抓住題目中的關(guān)鍵條件，從而理清解題思路。一、函數(shù)的概念及其表示易錯(cuò)點(diǎn) 1 忽視函數(shù)概念中的“唯一性”【例 1】函數(shù) 的圖象與直線 交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）【解析】當(dāng) 在函數(shù) 的定義域內(nèi)時(shí)，交點(diǎn)有 1 個(gè)；當(dāng) 不在函數(shù) 的定義域內(nèi)時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 0，故選擇 C。【評(píng)注】函數(shù)概念要求“對(duì)于定義域內(nèi)每一

2、個(gè) x 在值域中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)” 。本題在解題過(guò)程中容易忽視 不在函數(shù) 的定義域內(nèi)或誤認(rèn)為交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以有無(wú)數(shù)個(gè)，造成錯(cuò)選 A 或D.易錯(cuò)點(diǎn) 2 對(duì)同一函數(shù)的理解錯(cuò)誤【例 2】已知函數(shù) ，則下列函數(shù)與函數(shù) 是同一函數(shù)的是（）【解析】?jī)蓚€(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的充要條件是它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同。A 選項(xiàng)與函數(shù)的定義域不同；C,D 選項(xiàng)與函數(shù) 的對(duì)應(yīng)法則不同，故選擇 B?！驹u(píng)注】本題中 C 選項(xiàng)的定義域與對(duì)應(yīng)法則看似與函數(shù) 相同，但其分

3、段的分類標(biāo)準(zhǔn)與函數(shù)不相同，要注意辨別，不要錯(cuò)選 C。易錯(cuò)點(diǎn) 3 求函數(shù)的定義域時(shí)漏條件【例 3】函數(shù) 的定義域?yàn)椋?）【解析】由已知可得 則 故選 C.【評(píng)注】本題中容易出現(xiàn)將 漏掉的情況，從而錯(cuò)選 B.求函數(shù)定義域時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)忽視分式的分母不為 0、開(kāi)偶次方時(shí)被開(kāi)方數(shù)大于或等于 0，冪指數(shù)為 0 的數(shù)底數(shù)不為 0、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0 等情形。易錯(cuò)點(diǎn) 4 求函數(shù)解析式時(shí)忽視定義域【例 4】已知 ，則函數(shù)?！窘馕觥坑捎?，且 ，所以

4、?！驹u(píng)注】本題中容易漏掉函數(shù) 的定義域，而只能得到 的錯(cuò)誤結(jié)論?！咀兪?1】已知 = ?！窘馕觥苛?消去 x 得 ，又 且 ，故所求函數(shù) 。易錯(cuò)點(diǎn) 5 混淆“函數(shù) 在某區(qū)間有意義”與“函數(shù) 的定義域?yàn)槟硡^(qū)間”【例 5】函數(shù) 在 上有意義，求實(shí)數(shù) 的取值范圍?！窘狻坑梢阎傻卯?dāng) 時(shí)， 恒成立，則 ，故實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ?！驹u(píng)注】函數(shù) 的定義域?yàn)槟硡^(qū)間，則該區(qū)間為函數(shù)有意義的最大范圍；若函數(shù) 在某區(qū)間上有意義

5、，則該區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，本題容易誤認(rèn)為 就是函數(shù) 的定義域?！咀兪?2】已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。【解】 函數(shù) 的定義域?yàn)?， 是不等式的解集，令 ，得不等式 的解集為 ，所以 3 是關(guān)于 m 的方程 的根，代入可得 。經(jīng)檢驗(yàn)知 時(shí)，不等式的解集是 ，故實(shí)數(shù) 的取值范圍為 。易錯(cuò)點(diǎn) 6 錯(cuò)誤理解復(fù)合函數(shù)定義域的求法步驟【例 6】已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，則函數(shù) 的定義域?yàn)椋ǎ窘馕觥坑梢阎傻?的定義域?yàn)?，令

6、，得 ，故函數(shù)第 3 頁(yè) 共 8 頁(yè)圍是 。【解析】因?yàn)楹瘮?shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，所以【變式 6】已知函數(shù) 在區(qū)間（0,1）上有增區(qū)間，則 的取值范圍是 ?！窘馕觥坑梢阎?，又函數(shù)在（0,1）上有增區(qū)間，則 為所求。三、 函數(shù)的奇偶性易錯(cuò)點(diǎn) 11 在函數(shù)的奇偶性問(wèn)題中未注意“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”【例 11】已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，且 為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）【解析】函數(shù) 的圖象是

7、由函數(shù) 的圖象向左平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?） ，又 為偶函數(shù)，且偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 ，即 ，故選 B.【評(píng)注】若沒(méi)有注意奇（偶）函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，很可能錯(cuò)誤地認(rèn)為，得到 ，從而錯(cuò)選 C.易錯(cuò)點(diǎn) 12 不能熟練應(yīng)用“奇函數(shù) 若 x=0 處有定義，則 ”【例 12】定義在 R 上的奇函數(shù) 滿足當(dāng) 時(shí)， ，則在R 上函數(shù) 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ?！窘馕觥慨?dāng) 時(shí)，由函數(shù) 得，在

8、同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) 和的圖象，可知它們只有一個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；由奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)知當(dāng) 時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；又當(dāng) x=0 時(shí)， 。綜上可知，在 R 上函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3.【評(píng)注】本題中若沒(méi)有注意到“奇函數(shù) 若 x=0 處有定義，則 ”的結(jié)論，很容易得出在 R 上函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2 的錯(cuò)誤結(jié)論?！咀兪?7】已知 是定義在 R 上的奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

9、 ?！窘馕觥坑珊瘮?shù) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，得 ，所以函數(shù) 在 內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)。而 在 上單調(diào)遞減，故在上只有一個(gè)零點(diǎn)；由奇函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù) 在 上也只有一個(gè)零點(diǎn)，又，故函數(shù) 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 3.易錯(cuò)點(diǎn) 13 復(fù)合函數(shù)奇偶性中錯(cuò)將含自變量的代數(shù)式當(dāng)成自變量【例 13】函數(shù) 的定義域?yàn)?R，若 與 都是奇函數(shù)，則（）【解析】由 與 都是奇函數(shù)，可得，則 ， ，故函數(shù) 是以 4 為周期的周期函數(shù)，又由 得,即 ， 函數(shù)是奇函數(shù)，故選 D.【