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1、一隨機(jī)模擬(蒙特卡羅算法)隨機(jī)模擬(蒙特卡羅算法)一隨機(jī)模擬法隨機(jī)模擬法也叫蒙特卡羅法,它是用計算機(jī)模擬隨機(jī)現(xiàn)象,通過大量仿真試驗(yàn),進(jìn)行分析推斷,特別是對于一些復(fù)雜的隨機(jī)變量,不能從數(shù)學(xué)上得到它的概率分布,而通過簡單的隨機(jī)模擬就可以得到近似的解答。MonteCarlo法也用于求解一些非隨機(jī)問題,如重積分、非線性方程組求解、最優(yōu)化問題等。需要指出的是,MonteCarlo計算量大,精度也不高,因而主要用于求那些解析方法或常規(guī)數(shù)學(xué)方法難解問
2、題的低精度解,或用于對其他算法的驗(yàn)證。蒙特卡羅方法的基本思想是:當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率,或者是某個隨機(jī)變量的期望值時,通過某種“實(shí)驗(yàn)”的方法,以這種事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機(jī)事件的概率,或者得到這個隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征,并將其作為問題的解。在解決實(shí)際問題的時候應(yīng)用蒙特卡羅方法主要有兩部分工作:用蒙特卡羅方法模擬某一過程時,需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。用蒙特卡羅方法模擬某一過程時,需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。用統(tǒng)計
3、方法把模型的數(shù)字特征估計出來,從而得到實(shí)際問題的數(shù)值解。用統(tǒng)計方法把模型的數(shù)字特征估計出來,從而得到實(shí)際問題的數(shù)值解。使用蒙特卡羅方法進(jìn)行分子模擬計算是按照以下步驟進(jìn)行的:使用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一個隨機(jī)的分子構(gòu)型。對此分子構(gòu)型的其中粒子坐標(biāo)做無規(guī)則的改變,產(chǎn)生一個新的分子構(gòu)型。計算新的分子構(gòu)型的能量。比較新的分子構(gòu)型于改變前的分子構(gòu)型的能量變化,判斷是否接受該構(gòu)型。若新的分子構(gòu)型能量低于原分子構(gòu)型的能量,則接受新的構(gòu)型。若新的分子構(gòu)型能量
4、高于原分子構(gòu)型的能量,則計算玻爾茲曼常數(shù),同時產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)。若這個隨機(jī)數(shù)大于所計算出的玻爾茲曼因子,則放棄這個構(gòu)型,重新計算。若這個隨機(jī)數(shù)小于所計算出的玻爾茲曼因子,則接受這個構(gòu)型,使用這個構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代。如此進(jìn)行迭代計算,直至最后搜索出低于所給能量條件的分子構(gòu)型結(jié)束。二隨機(jī)模擬法應(yīng)用實(shí)例考慮二重積分其中()AIfxydxdy???()0()fxyxyA???根據(jù)幾何意義,它是以為曲面頂點(diǎn),A為底的柱體C的體積。用下列()fx
5、y簡單思路求I的近似值:假設(shè)C被包在幾何體D的內(nèi)部,D的體積為已知,若雜D內(nèi)產(chǎn)生1個均勻分別的隨機(jī)數(shù),那么P(隨機(jī)數(shù)落在C內(nèi))C的體積D的體積?現(xiàn)產(chǎn)生在D內(nèi)N個均勻分別的隨機(jī)數(shù),若其中在C的內(nèi)部,那么cNID的體積,?cNN?從而求得I的解。試用這一方法計算積分22211xyIxdxdy??????顯然該幾何體在立方體|x|的內(nèi)部,立方體體積為4。而C1?||101yz???是。M文件eg8_1.m中N取1000,計算得2222110x
6、yxzz?????I2.624。N越大結(jié)果越精確。由于隨機(jī)模擬的特點(diǎn),,每次運(yùn)行的結(jié)果都有差?異。M腳本eg8_1.mClearN=1000X=unifrnd(11N1)y=unifrnd(11N1)z=r(N1)Cl=(x.^2y.^2)1c2=(x.^2y.^2)1Nc=sum(c1I=NcN4三蒙特卡羅法優(yōu)缺點(diǎn)分析蒙特卡羅模擬是一種有效的統(tǒng)計實(shí)驗(yàn)計算法.它無需了解計算值的分布可以人為地造出一種概率模型使它的某些參數(shù)恰好重合于所需計
7、算的量又可以通過實(shí)驗(yàn)用統(tǒng)計方法求出這些參數(shù)的估值:把這些估值作為要求的量的近似值.在項(xiàng)目管理中常常用到的隨機(jī)變量如與成本和進(jìn)度有關(guān)的變量如價格用時等由于實(shí)際工作中可以獲得的數(shù)據(jù)量有限它們往往是以離散型變量的形式出現(xiàn)的.例如對于某種成本只知道最低價格最高價格和最可能價格對于某項(xiàng)活動的用時往往只知道最少用時最多用時和最可能用時三個數(shù)據(jù).經(jīng)驗(yàn)告訴我們項(xiàng)目管理中的這些變量服從某些概率模型.蒙特卡羅技術(shù)則提供了把這些離散型的隨機(jī)分布轉(zhuǎn)換為預(yù)期的連
8、續(xù)型分布的可能通過將這些隨機(jī)變量變成某種規(guī)律的分布來把握項(xiàng)目的風(fēng)險和不確定因素但無論是理論上還是在實(shí)踐中傳統(tǒng)的蒙特卡羅技術(shù)都存在工作量大的問題.從理論上來說蒙特卡羅方法需要大量的實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多所得到的結(jié)果才越精確.而且實(shí)驗(yàn)表明一直到公元20世紀(jì)初期盡管實(shí)驗(yàn)次數(shù)數(shù)以千計利用蒙特卡羅方法所得到的圓周率n值還是達(dá)不到公元5世紀(jì)祖沖之的推算精度.這可能是傳統(tǒng)蒙特卡羅方法長期得不到推廣的主要原因.但計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展使得蒙特卡羅方法在最近10年
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