蒙特卡羅隨機(jī)模擬投點(diǎn)法

1、1蒙特卡羅隨機(jī)模擬投點(diǎn)法在數(shù)字積分中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)0901班：張瑞宸指導(dǎo)老師：任明慧摘要：本文首先介紹了蒙特卡羅方法的產(chǎn)生和發(fā)展，然后分析了蒙特卡羅方法計(jì)算數(shù)值積分的理論原理，最后給出了蒙特卡羅方法計(jì)算數(shù)值積分的MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，全文主要是討論了蒙特卡羅方法在定積分計(jì)算的應(yīng)用。而蒙特卡羅的優(yōu)點(diǎn)：可以計(jì)算被積函數(shù)非常復(fù)雜的定積分、重積分，并且維數(shù)沒(méi)有限制，這是別的數(shù)值積分方法還未達(dá)到的。蒙特卡羅的缺點(diǎn)：收斂速度慢，誤差一般較大，

2、且是概率的誤差，不是真正的誤差。關(guān)鍵詞：蒙特卡羅方法，均值估計(jì)法，數(shù)值積分，Matlab編程Abstract：ThispaperfirstintroducestheemergencedevelopmentoftheMonteCarlomethodthenanalyzethetheeticalprinciplesofMonteCarlonumericalintegrationmethodFulltextmainlydiscussedthe

3、applicationoftheMonteCarlomethodinthedefiniteintegral.TheadvantagesofMonteCarlo:canbecalculatedtheintegrablefunctionsverycomplexdefiniteintegralMultipleintegralsdimensionnolimitothernumericalintegrationmethodshavenotyetr

4、eached.MonteCarloDisadvantages:slowconvergencespeederrgenerallyhighertheprobabilityoferrnotarealerr.Keywds:MonteCarlomethod，Meanestimationmethod，numericalintegral，Matlabprogramming0引言歷史上有記載的蒙特卡羅試驗(yàn)始于十八世紀(jì)末期（約1777年），當(dāng)時(shí)布豐（Bu

5、ffon）為了計(jì)算圓周率，設(shè)計(jì)了一個(gè)“投針試驗(yàn)”，后文會(huì)給出。雖然方法已經(jīng)存在了200多年，此方法命名為蒙特卡羅則是在二十世紀(jì)四十年，美國(guó)原子彈計(jì)劃的一個(gè)子項(xiàng)目需要使用蒙特卡羅方法模擬中子對(duì)某種特殊材料的穿透作用。出于保密緣故，每個(gè)項(xiàng)目都要一個(gè)代號(hào)，傳聞命名代號(hào)時(shí)，項(xiàng)目負(fù)責(zé)人之一vonNeumann靈犀一點(diǎn)選擇摩洛哥著名賭城蒙特卡羅（Monte蒙特卡羅隨機(jī)模擬投點(diǎn)法在數(shù)值積分中的應(yīng)用3圖1.1針與線相交的幾種情況則針與線相交的概率是(s

6、in)2lpx??=sinsin2200002()()llpxpdxd????????????=222.sin2lld???????所以得到圓周率。222(sin)lllpxp?????假如我們能做大量的投針實(shí)驗(yàn)并記錄下針與線的相交次數(shù)，則可以根據(jù)大數(shù)定律估計(jì)出針線相交的概率P。投針實(shí)驗(yàn)N次可能有n次使針與任意平行線相交那么，顯然，試驗(yàn)次數(shù)N越多，P的近似程度越好。歷史上曾有npN?幾位學(xué)者做過(guò)這樣的投針試驗(yàn)，并用手工計(jì)算出值，結(jié)果參見(jiàn)

7、表1。?表1實(shí)驗(yàn)者時(shí)間（年）針長(zhǎng)l投針次數(shù)相交次數(shù)估計(jì)值?Wolf18500.80500025323.15956Smith18550.60302412183.15665Fox18840.7510304893.15951Lazzarini19250.83340818083.14159292應(yīng)該指出，上述試驗(yàn)的精度一般不會(huì)很高。譬如，假設(shè)21pl???則。則由中心極限定理，如果試驗(yàn)次數(shù)為N，則p的估計(jì)值漸進(jìn)服從，近似為。因?p(1)()pp