第十一節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、第十一節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差,三年22考 高考指數(shù):★★★★1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.,1.離散型隨機(jī)變量的均值是高考考查的重點(diǎn)；2.數(shù)形結(jié)合、分類討論是解決均值與方差問題的重要思想方法；3.題型以解答題為主，常與分布列等知識綜合考查.,1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)離散型隨機(jī)變量X的分布列,…,…,p1,p2,pi

2、,pn,(2)離散型隨機(jī)變量X的均值與方差,反映了離散型隨機(jī)變量取值的________,刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的_____________,方差的算術(shù)平方根 為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,平均水平,平均偏離程度,【即時應(yīng)用】（1）思考：隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個常數(shù).樣本的均值、方差是一個變量.隨著樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值、

3、方差.,（2）隨機(jī)變量X的分布列如表，則X的數(shù)學(xué)期望是_____.【解析】由題知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：2.1,（3）有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)＝_____.【解析】X的取值為0,1,2,3，則P(X＝0)＝P(X＝2)＝∴E(X)＝答案：,(4)

4、甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X、Y，其分布列分別為：若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是_____.,【解析】甲、乙一天中出現(xiàn)廢品數(shù)的均值分別為E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(X)>E(Y)，故乙的技術(shù)較好.答

5、案：乙,2.均值與方差的性質(zhì)（1）E(aX+b)=________，(2)D(aX+b)=______.（a,b為常數(shù)）,aE(X)+b,a2D(X),【即時應(yīng)用】（1）已知分布列為：且設(shè)Y＝2X＋3，則Y的均值是_____.（2）有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若取到一件次品得2分，用Y表示得分?jǐn)?shù)，則D（Y）＝____.,【解析】（1）由分布列性質(zhì)有 即a＝ .E(X)

6、＝∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝（2）設(shè)X表示取到的次品數(shù)，則Y＝2X.由題意知取到次品的概率為 .∴X～B（3， ），D（X）＝3× ×（1－ ）＝ .故D（Y）＝D（2X）＝4D（X）＝4× ＝ .答案：（1） （2）,3.兩點(diǎn)分布與二項分布的均值、方差,E（X）=____,D（X）=______,E(X)=____,D(X)=_______,p,p(1-p),n

7、p,np(1-p),【即時應(yīng)用】（1）設(shè)15 000件產(chǎn)品中有1 000件次品，有放回地從中抽取150件進(jìn)行檢查，則查得次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_____.（2）設(shè)ξ是服從二項分布B(n，p)的隨機(jī)變量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝ ，則n的值為______,p的值為_____.,【解析】（1）設(shè)查得次品數(shù)為隨機(jī)變量ξ，由題意得ξ～B(150， )，所以E(ξ)=150× =10.（2）由ξ～B(n，p)，有E

8、(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝ ，∴p＝ ，n＝60.答案：（1）10 （2）60,離散型隨機(jī)變量的均值與方差【方法點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的方法（1）理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；（2）求ξ取每個值的概率；,（3）寫出ξ的分布列；（4）由均值的定義求E(ξ)；（5）由方差的定義求D(ξ).,【例1】(2011·福建高考）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次

9、為1,2，……，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn),（1）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：且X1的數(shù)學(xué)期望E（X1）=6，求a，b的值；,（2）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：3 5

10、 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.,（3）在（1）、（2）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.,【解題指南】（1）利用

11、期望公式和E(X1)=6以及分布列中的所有概率和為1，聯(lián)立關(guān)于a,b的方程組，解方程組求得a,b的值；（2）根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，列等級系數(shù)X2的概率分布列，再利用期望公式求期望；（3）根據(jù)“性價比”公式求兩工廠的產(chǎn)品的性價比，“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.,【規(guī)范解答】（1）因為E(X1)＝6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1

12、，即a+b=0.5.由 ，解得 .,（2）由已知得，樣本的頻率分布表如下：用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：,所以E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.,（3）乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性，理由如

13、下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6,價格為6元/件，所以其性價比為因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比為 所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.,【反思·感悟】求離散型隨機(jī)變量的均值與方差時，關(guān)鍵是先求出隨機(jī)變量的分布列.求離散型隨機(jī)變量的分布列時要注意兩個問題：,一是求出隨機(jī)變量所有可能的值；二是求出取每一個值時的概率.求概率時，要注意概率類型的確定與轉(zhuǎn)化，如古

14、典概型、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率等.,【變式訓(xùn)練】在一次電視節(jié)目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結(jié)果，其中某明星判斷正確的概率為p，判斷錯誤的概率為q，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1分，現(xiàn)記“該明星答完n題后總得分為Sn”.（1）當(dāng) 時，記ξ=|S3|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望及方差；（2）當(dāng) 時，求S8=2且Si≥0(i=1,2

15、,3,4)的概率.,【解析】（1）∵ξ=|S3|的取值為1，3，又p=q= ；故P(ξ=1)=P（ξ=3）=所以ξ的分布列為：且E（ξ）=1× +3× = ；D(ξ)=(1- )2× +(3- )2× = .,（2）當(dāng)S8=2時，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯誤的題數(shù)是3題，又已知Si≥0(i=1,2,3,4)，若第一題和第二題回答正確，則其余6題

16、可任意答對3題；若第一題和第三題回答正確，第二題回答錯誤，則后5題可任意答對3題.此時的概率為,【變式備選】如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落入A或B或C.已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為1,2,3等獎.,(1)已知獲得1,2,3等獎的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機(jī)變量ξ為獲得k(k＝1,2,3)等獎的折扣率

17、，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望E(ξ)；(2)若有3人次(投入1球為1人次)參加促銷活動，記隨機(jī)變量η為獲得1等獎或2等獎的人次，求P(η＝2).,【解析】(1)由題意得ξ的分布列為則E(ξ)＝ ×50%＋ ×70%＋ ×90%＝ .,(2)由(1)可知，獲得1等獎或2等獎的概率為由題意得η～B(3， )，則P(η＝2)＝,與二項分布有關(guān)的期望與方差【方法點(diǎn)睛】與二項分布有關(guān)的期望

18、與方差的求法(1)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果服從ξ～B(n,p)，則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解，可大大減少計算量.,(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同樣還可求出D(aξ+b). 提醒：E(aξ+b)=aE(ξ)+b ，但注意D(aξ

19、+b)≠aD(ξ)+b，D(aξ+b)≠aD(ξ).,【例2】（1）某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答4個問題，每一道題能否正確回答是相互獨(dú)立的，且回答正確的概率是 ，若回答錯誤的題數(shù)為ξ，則E(ξ)=_____，D(ξ)=_____.（2）罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)取4次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則E(ξ)=_____.【解題指南】兩題中的ξ都服從二項分布，故可直接套用公式求解.,【規(guī)范解答

20、】（1）∵回答正確的概率是 ，∴回答錯誤的概率是1- = ，故ξ～B(4， )，∴E（ξ）=4× ＝1，D（ξ）=4× ×(1- )= .（2）因為是有放回的摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率為 ，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，ξ為取得紅球(成功)的次數(shù)，則ξ～B(4， )，所以E（ξ）=4× ＝ .答案：(1)1 (2),【互動探究】在本例（

21、1）中，若競賽規(guī)定：答對1題得10分，否則扣1分，其他條件不變，求該同學(xué)得分η的期望與方差.【解析】由題意知：η=10(4-ξ)-ξ=40-11ξ，故由均值與方差的性質(zhì)得E(η)=E(40-11ξ)=40-11E(ξ)=40-11×1=29，D(η)=D(40-11ξ)=112D(ξ)=,【反思·感悟】ξ是隨機(jī)變量,則η=f(ξ)一般也是隨機(jī)變量,在求η的均值和方差時,熟練應(yīng)用均值和方差的性質(zhì),可以避免再求

22、η的分布列帶來的繁瑣運(yùn)算.,【變式備選】甲、乙、丙三個同學(xué)一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預(yù)錄取生（可在高考中加分錄?。瑑纱慰荚囘^程相互獨(dú)立.根據(jù)甲、乙、丙三個同學(xué)的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學(xué)能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過面試的概率分別是0.5，0.6，0.75.,（1）求甲、乙、丙三個同學(xué)中恰有一人通過筆試的概率；（2）設(shè)經(jīng)過兩次考試后

23、，能被該高校預(yù)錄取的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ).,【解析】（1）分別記甲、乙、丙三個同學(xué)筆試合格為事件A1、A2、A3；E表示事件“恰有一人通過筆試”，則P(E)==0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38.,（2）方法一：因為甲、乙、丙三個同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格的概率均為p=0.3，所以ξ～B(3,0.3)，故E(ξ

24、)=np=3×0.3=0.9.,方法二：分別記甲、乙、丙三個同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格為事件A,B,C，則P(A)=P(B)=P(C)=0.3所以P(ξ=0)=(1-0.3)3=0.343,P(ξ=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441,P(ξ=2)=3×0.32×0.7=0.189P(ξ=3)=0.33=0.027.于是,E(ξ)=0×0.343+1×

25、;0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.,均值與方差的實際應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】均值與方差的實際應(yīng)用(1)D(X)表示隨機(jī)變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計中常用 來描述X的分散程度.,(2)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體

26、和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.,【例3】(2012·寧波模擬）某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失.現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用.單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙

27、兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值）,【解題指南】要確定預(yù)防方案的總費(fèi)用應(yīng)分別計算出采取預(yù)防措施的費(fèi)用和發(fā)生突發(fā)事件損失的均值.可從“不采取預(yù)防措施”、“單獨(dú)采取預(yù)防措施甲”、“單獨(dú)采取預(yù)防措施乙”、“聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施”四種情況考慮.,【規(guī)范解答】①不采取預(yù)防措施時，總費(fèi)用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；

28、②若單獨(dú)采取預(yù)防措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費(fèi)用為45+40=85（萬元）；③若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85=0.15，損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費(fèi)用為30+60=90（萬元）；,④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=

29、75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（1－0.9）（1－0.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費(fèi)用為75+6=81（萬元）.綜合①、②、③、④，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少.,【反思·感悟】解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率.對于實際問題要通過分析題意抽象出具體的數(shù)學(xué)模型來求解.,【變式訓(xùn)

30、練】某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出，有一萬人參加，每人一張門票，每張100元.在演出過程中穿插抽獎活動.第一輪抽獎從這一萬張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價值1 000元的獎品，并參加第二輪抽獎活動.第二輪抽獎由第一輪獲獎?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個數(shù)x，y（x，y∈{1,2,3}），隨即按如圖所示程序框圖運(yùn)行相應(yīng)程序.若電腦顯示“中獎”，則抽獎?wù)攉@得9 000元獎金；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎.,（1）已知小曹在第一

31、輪抽獎中被抽中，求小曹在第二輪抽獎中獲獎的概率；（2）若小葉參加了此次活動，求小葉參加此次活動收益的期望；（3）若此次募捐除獎品和獎金外，不計其他支出，該機(jī)構(gòu)想獲得96萬元的慈善款.問該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)？,【解析】（1）從1，2，3三個數(shù)字中有重復(fù)地取2個數(shù)字，其基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9個，設(shè)“小曹在第二輪抽

32、獎中獲獎”為事件A，且事件A所包含的基本事件有(3,1),(3,3)共2個，∴P(A)=,（2）設(shè)小葉參加此次活動的收益為ξ，ξ的可能取值為-100,900,9 900.P(ξ=-100)=P（ξ=9 900）=,∴ξ的分布列為∴E（ξ）,（3）由（2）可知，購票者每人收益期望為-97.∵有一萬人購票，除獎金和獎品外，不計其他支出，∴該機(jī)構(gòu)此次收益期望為97×10 000=970 000元=97萬元，∵9

33、7>96，∴該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).,【滿分指導(dǎo)】離散型隨機(jī)變量均值解答題的規(guī)范解答【典例】(14分)(2011·天津高考）學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）,（1）求在1次游戲中，①摸出3個白球的概率；②獲獎的

34、概率；（2）求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).【解題指南】（1）根據(jù)古典概型、互斥事件的概率公式求解；（2）先求出獨(dú)立事件的概率，再求數(shù)學(xué)期望.,【規(guī)范解答】（1）①設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i=0,1,2,3),則P(A3)= ………………………2分②設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B=A2∪A3，又P（A2）= ………………………

35、……4分且A2，A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）= …………………6分,（2）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. ……………7分P（X=0）=P（X=2）= ………………………………………10分所以X的分布列是X的數(shù)學(xué)期望E（X） ……………14分,【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警

36、示與備考建議：,1.(2011·浙江高考）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為 ，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù).若P（X=0）= ，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=_____.,【解析】由P(X=0)=(1- )(1-p)(1-p)= 可得p= ,從而P（X=2）=

37、P（X=3）=所以E(X)=答案：,2.(2011·上海高考）馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表：請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望.盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此，小牛給出了正確答案E（ξ）=_____.,【解析】設(shè)P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，利用概率之和為1的性質(zhì)，可得2a+b=1,又結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式得E（ξ）=