螺線和正交多項式在CAGD中的應(yīng)用.pdf

1、本文主題為計算機輔助幾何設(shè)計中幾類曲線的表示、拼接與逼近，特別對螺線和正交多項式在計算機輔助幾何設(shè)計中的應(yīng)用進行了深入的研究，主要獲得了以下一些創(chuàng)新成果.
　　 (1)基于道路設(shè)計的工程需要，構(gòu)造了曲率單調(diào)且保號的起點曲率為零的平面三次C-Bézier螺線.利用這條螺線，詳細(xì)推導(dǎo)了在道路設(shè)計等工業(yè)應(yīng)用中，直線和圓弧之間的過渡曲線算法.如同工程中已使用回旋曲線來過渡一樣，直線和圓弧之間用一條螺線過渡，圓弧與圓弧之間用一對C型或S型

2、螺線過渡，兩條直線之間用一對螺線過渡，圓包含圓弧時用一條螺線過渡.在前4種情況中均給出了螺線的具體表達式，第5種情況下不一定有解.由于直線、圓弧也能用C-Bèzier曲線精確表示，可以在C-Bèzier模式下統(tǒng)一處理整條道路設(shè)計問題，避免了以往采用Fresnel積分所表示的回旋曲線，不適合于在計算機輔助設(shè)計系統(tǒng)使用的情況.
　　 (2)構(gòu)造了帶有可調(diào)參數(shù)的單段C-Bèzier曲線光滑地拼接前后兩條圓弧的算法.在S型過渡的場合，給

3、出了一條帶參數(shù)的曲率單調(diào)的C-Bèzier曲線，討論了這條曲線能拼接兩條圓弧的半徑范圍，其結(jié)果優(yōu)于使用Bèzier螺線的老方法；在C型過渡的場合，給出了一條帶參數(shù)的內(nèi)部僅含一個曲率極值點的C-Bèzier曲線.所有過渡曲線的具體算法均有詳細(xì)介紹.用本方法設(shè)計的道路線型，與老方法相比具有以下三個優(yōu)越性：模式統(tǒng)一；可用參數(shù)調(diào)節(jié)形狀；拼接曲線僅有一段，且算法歸結(jié)為求解低次方程的正根，故計算簡單，容易實現(xiàn).
　　 (3)為了適合當(dāng)前計算

4、機輔助設(shè)計系統(tǒng)中的曲線形式和工業(yè)設(shè)計中的美學(xué)需要，提出了對數(shù)螺線段的兩種逼近方法.第一種利用s-Power級數(shù)，首先給出了s-Power系數(shù)的計算公式，提出了對數(shù)螺線段的快速多項式逼近算法，同時也給出了對數(shù)螺線的等距曲線的具體表達式及其s-Power逼近算法.第二種首先推導(dǎo)出兩端點C-Bèzier形式的G2 Hermite插值公式，提出了對數(shù)螺線的C-Bèzie形式的G2 Hermite插值逼近算法.
　　 (4)為了在計算機輔

5、助幾何設(shè)計中，有效地求解曲線或曲面的最小平方逼近問題，給出了具有邊界約束特征的加權(quán)正交基與Bernstein基之間的轉(zhuǎn)換矩陣，并且利用該矩陣，給出了兩個具體應(yīng)用：(i)得到了在Jacobi加權(quán)L2范數(shù)下基于正交基的Bèzier曲線約束最佳降多階逼近算法，給出了具體的端點約束最佳降多階矩陣，且給出了該降階逼近的可預(yù)報的誤差公式.同時提出了在L2，L1，L∞范數(shù)下適合于最佳降階逼近的相應(yīng)Jacobi基的權(quán)函數(shù)的選取方案.(ⅱ)求解多項式反函

6、數(shù)是CAGD中的一個基本問題.利用約束Jacobi基作為有效工具，提出帶端點Ck約束的反函數(shù)逼近算法.該算法穩(wěn)定、簡易，克服了以往計算反函數(shù)的系數(shù)時每次逼近系數(shù)需全部重新計算的缺陷，同時給出了該算法在PH曲線準(zhǔn)弧長參數(shù)化中的應(yīng)用.
　　 (5)為了在計算機輔助幾何設(shè)計中，有效的求解三角域上Bèzier曲面的最小平方逼近問題，給出了三角域上雙變量Jacobi和Bernstein基的相互轉(zhuǎn)換矩陣.首先利用Bernstein基構(gòu)造了三