Nevanlinna理論在差分多項(xiàng)式中的應(yīng)用.pdf

1、在1922年至1925年，芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna在做了一些簡(jiǎn)短的注記之后，發(fā)表了他關(guān)于亞純函數(shù)理論的文章，也就是后來(lái)的重要的數(shù)學(xué)理論Nevanlinna理論，即復(fù)平面C上的亞純函數(shù)值分布理論，10余年后L.Ahlfors建立了此理論的幾何形式。Nevanlinna理論，與后來(lái)的一些推廣是函數(shù)論的重要組成部分，是研究亞純函數(shù)性質(zhì)方面最重要的理論。該理論不斷自我完善和發(fā)展，同時(shí)廣泛的應(yīng)用到其他的復(fù)分析領(lǐng)域，如勢(shì)理論，復(fù)微分及差分

2、方程理論，多復(fù)變量理論，極小曲面理論等。
　　 復(fù)差分方程的基礎(chǔ)建立于20世紀(jì)的早期，Batchelder[2]，N(o)rlund[52]和Whittaker[57]在這個(gè)方面做了重要的貢獻(xiàn)。后來(lái)，Shimomura[55]和Yanagihara[59，60，61]利用Nevanlinna理論來(lái)研究了非線性的復(fù)差分方程的解。由于亞純函數(shù)有窮級(jí)解的存在性是考察差分方程可解性的一個(gè)好的性質(zhì)，所以最近在這個(gè)方面的領(lǐng)域得到了廣范的研究

3、興趣。從這個(gè)角度出發(fā)，Nevanlinna理論在處理復(fù)差分方程方面是一個(gè)很有用的工具。
　　 復(fù)差分方面的Nevanlinna理論是最近才確立的。其中，最關(guān)鍵的結(jié)果是差分對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理，Halburd-Korhonen[20]和Chiang-Feng[8]給出了這個(gè)引理的兩種表達(dá)形式。Halburd和Korhonen[21]在差分算子的基礎(chǔ)上建立了Nevanlinna理論。Ishizaki和Yanagihara[33]研究了差分方

4、程慢增長(zhǎng)的解的性質(zhì)，并且給出了在微分方程中著名的Wiman-Valiron理論的差分定理。Bergweiler和Langley[4，38]研究了慢增長(zhǎng)的亞純函數(shù)的差分算子的值分布論。
　　 本論文利用Nevanlinna理論去研究差分多項(xiàng)式的值分布。論文的結(jié)構(gòu)安排如下：
　　 第一章，我們簡(jiǎn)單介紹Nevanlinna唯一性理論和一些經(jīng)常用的符號(hào)，還介紹了唯—性理論的一些經(jīng)典的結(jié)果。
　　 第二章，我們簡(jiǎn)單的回憶差

5、分的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理，差分Clunie引理，還有差分的第二基本定理及其應(yīng)用的結(jié)果。另外差分方程解的存在性及增長(zhǎng)性的一些重要結(jié)果也包含在本章節(jié)中。
　　 第三章，我們介紹了差分乘積的值分布論，我們得到一些重要結(jié)果，可以看作關(guān)于Hayman經(jīng)典微分多項(xiàng)式結(jié)果的差分推廣，也就是關(guān)于微分多項(xiàng)式廣fnf'的推廣。實(shí)際上我們得到了下面的結(jié)果。
　　 定理0.1.假設(shè)f(z)是超越的有窮級(jí)的整函數(shù)，令c是非零常數(shù)，并且n≥2是整數(shù)，則f(

6、z)nf(z+c)-p(z)和f(z)n△cf-p(z)都有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，其中p(z)(≠)0是z的多項(xiàng)式。
　　 對(duì)于更一般的差分乘積，也就是f是超越的亞純函數(shù)，我們考察具有下面形式的差分乘積的值分布論Πnj=1f(z+cj)vj，其中cj∈C是一些不同的復(fù)常數(shù)。我們不僅改進(jìn)了定理0.1，而且我們得到了一個(gè)量化的估計(jì)：
　　 定理0.2.假設(shè)f為超越的有窮級(jí)的亞純函數(shù)，級(jí)為ρ(f)，S(z)=R(z)eQ(z)，其中R

7、(z)是非零的有理函數(shù)，Q(z)是多項(xiàng)式滿足degQ(z)＜ρ(f)和λ(1-f)＜ρ(f)。如果∑nj=1vj≥3，至少一個(gè)vj≥2，則Πnj=1f(z+cj)vj-S(z)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。如果有其中一個(gè)指數(shù)滿足(公式略)
　　 另外我們研究了具有某種特定形式的亞純函數(shù)的差分算子的值分布論，我們的目的是去尋找某些和微分算子類似的性質(zhì)。也就是，我們證明了fk△cf-a(z)的零點(diǎn)情況，k∈N∪{0}。這個(gè)結(jié)果可以看作是fkf'-

8、a(z)的差分的版本，可參見(jiàn)Hayman[27]。我們的結(jié)果可以表述成：
　　 定理0.3.假設(shè)f有窮級(jí)的亞純函數(shù)，1≤ρ(f)＜∞，且令a，c∈C\{0}滿足△cf(≠)0，f有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)并且λ(f)＜1.如果f有無(wú)窮多個(gè)極點(diǎn)，則△cf-a有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。
　　 定理0.4.假設(shè)f超越的有窮級(jí)的亞純函數(shù)，ρ(f)＜1，c是一個(gè)非零的常數(shù)，B={bj}包含所有的f的極點(diǎn)，滿足bj+kc(∈)B(k=1,...，m)至多有

9、限個(gè)例外值，則f(z)n△cf-a有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。
　　 在這一部分，也包含很多的例子說(shuō)明我們的結(jié)果中的限制條件是必不可少的。
　　 第四章，我們介紹亞純函數(shù)的差分多項(xiàng)式的值分布論的結(jié)果。我們首先回憶Hay-man[25，Theorem8&9]經(jīng)典的結(jié)果，我們的結(jié)果可以表述成：
　　 定理0.5.設(shè)f超越的有窮級(jí)的亞純函數(shù)，并且ρ(f)=ρ，不是以c為周期的函數(shù)，λ(1/f)＜ρ(f)，s是有理的和a是非零的常數(shù)

10、。如果n≥3或者s=0，n≥2，則差分多項(xiàng)式f(z)n+a△cf-s(z)在復(fù)平面有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。
　　 定理0.6.設(shè)f超越的有窮級(jí)的亞純函數(shù)，ρ(f)=ρ，不是以c為周期的函數(shù)，a是非零的常數(shù)，如果n≥8，則差分多項(xiàng)式f(z)n+a△cf-s(z)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。
　　 在最后的第五章，我們得到了整函數(shù)f(z)與其平移f(z+c)或者差分算子△cf分擔(dān)公共集合的唯—性的結(jié)果。我們的結(jié)果可以看作是函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)分擔(dān)公共值

11、[39]的差分版本。其中一個(gè)重要的結(jié)果：
　　 定理0.7.假設(shè)f(z)為超越的有窮級(jí)的整函數(shù)，c∈C\{0}，令a(z)∈S(f)為非零的周期的整函數(shù)，周期為c。如果f(z)和f(z+c)分擔(dān)集合{a(z)，-a(z)}CM,則f(z)滿足下面結(jié)論中的其中之一：(i)f(z)≡f(z+c)，(ii)f(z)+f(z+c)≡0，(iii)f(z)=1/2(h1(z)+h2(z))，這里h1(z+c)/h1(z)=-eγ，h2(z

12、+c)=eγ，h1(z)h2(z)=a(z)2(1-e-2γ)，γ是一個(gè)多項(xiàng)式。
　　 如果f(z)和△cf分擔(dān)集合{a，-a}CM，其中a∈C，我們可以得到類似上面定理的結(jié)果。
　　 作為上面定理的應(yīng)用，我們研究了非線性的差分方程的解的情況，給出了f(z)2+f(z+c)2=a(z)2的解的形式，同時(shí)得到f(z)2+(△cf)2=a2不存在非常數(shù)的有窮級(jí)的整函數(shù)解。
　　 另外，我們給出了C.C.Yang在Un