CAGD中Offset和RMF的有理變換研究.pdf

1、等距(Offset)有理構(gòu)造與掃掠曲面生成中的最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架(Rotation-MinimizingFrame簡稱RMF)的有理構(gòu)造是CAGD研究領(lǐng)域中的兩重要內(nèi)容。本文從平面PH(或OR)樣條曲線逼近平面基曲線以及空間PH樣條曲線逼近空間基曲線的角度出發(fā)，對平面等距線和空間最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架的構(gòu)造算法作了深入的研究。目前對等距線的處理是單純地從逼近或精確兩個獨立的角度進行研究的。逼近的方法主要是針對已產(chǎn)生的等距線表達式采用函數(shù)逼近的方式，通常

2、會出現(xiàn)解線性或非線性方程組，非線性歸劃，無理積分等較為復(fù)雜的運算。同時，產(chǎn)生的結(jié)果時常具有不穩(wěn)定性；純粹的精確解法會涉及到判斷等距有理化問題，要通過繁瑣的結(jié)式計算才能實現(xiàn)，其適用范圍非常狹窄。而在實際的曲線設(shè)計中，我們總希望所采用的基曲線本身就具有精確的等距線，但遺憾的是絕大多數(shù)CAD系統(tǒng)只兼容多項式參數(shù)曲線，所采用的曲線很難具有精確有理形式的等距線。因此，構(gòu)造兼容CAD系統(tǒng)中基曲線的等距線是一必要而困難的任務(wù)。本文結(jié)合逼近與精確的思想

3、，提出了PH樣條和OR樣條逼近構(gòu)造算法。(1)基于PH曲線的構(gòu)造。根據(jù)設(shè)計要求的不同，在一定精度范圍內(nèi)，分別采用G1三次PH樣條曲線，C1五次PH樣條曲線以及可能同時含有G1，C1，G2，C2組合的混合形式的PH樣條曲線，對Bézier或B樣條形式的基曲線作逼近，然后產(chǎn)生PH樣條的精確有理形式的等距線，該等距線又可作為原基曲線的等距逼近。同時，估計了對基曲線逼近的誤差和等距線誤差；(2)基于OR曲線構(gòu)造。Offset-rational曲

4、線(簡稱OR曲線)是指具有精確有理等距線的參數(shù)曲線。本文根據(jù)平面多項式曲線的等距有理參數(shù)化條件，分別構(gòu)造了二次G1連續(xù)的OR曲線及加上調(diào)控因子的三次G1連續(xù)的OR曲線；四次C1連續(xù)的OR曲線；具有過渡點的C2連續(xù)的六次OR插值曲線；C2連續(xù)的八次OR插值曲線。由于OR曲線可通過恰當(dāng)?shù)膮?shù)變換產(chǎn)生有理形式的等距線，因此，根據(jù)給定Bézier曲線離散端點條件，可構(gòu)造特定連續(xù)階的OR樣條曲線來逼近該Bézier曲線。特別討論了用三次具有調(diào)控因

5、子的OR樣條曲線來逼近三次Bézier曲線，其逼近誤差可得到最優(yōu)化控制。OR樣條的精確等距線可作為Bézier曲線的等距線逼近。而對B樣條曲線，可加入重節(jié)點，使之轉(zhuǎn)化為若干段同階的Bézier曲線，最終產(chǎn)生對B樣條曲線的PH或OR樣條曲線逼近及等距線。 利用以上關(guān)于平面曲線的PH樣條逼近的思想，可進一步推廣到空間Bézier曲線或B樣條曲線的最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架的構(gòu)造。通過對一空間Bézier曲線插入?yún)?shù)節(jié)點后，構(gòu)造出與其對應(yīng)的G1空間