“點(diǎn)差法”在解析幾何中的應(yīng)用

1、1“點(diǎn)差法”在解析幾何題中的應(yīng)用與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為)分別為，將這????1122xyxy、兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為

2、“點(diǎn)差法”。此法有著不可忽視的作用，其特點(diǎn)是巧代斜率。1求弦中點(diǎn)的軌跡方程求弦中點(diǎn)的軌跡方程例1已知橢圓，求斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.2212xy??2解設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為.????1122PxyQxyPQ??Mxy則，（1），（2）221112xy??222212xy??得：，????12???2222121202xxyy????.??1212121202xxyyyyxx???????又，.12121212222yyx

3、xxyyyxx???????40xy???弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，所求弦中點(diǎn)的軌跡方程為（在已知橢圓??40xy??內(nèi)）.例2直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是??:50laxya????a??2:1fyx??，則弦的中點(diǎn)軌跡方程是.ABAB解設(shè)，中點(diǎn)，則.????1122AxyBxy、AB??Mxy122xxx??，過定點(diǎn)，.?????:150laxy????l???15N?51ABMNykkx?????3，（2）2222221xyab

4、??得：，，????12?2222121222xxyyab????????221212221212112bxxyybxxayya???????????，，（3）21221221AByybkxxa??????222ab??又，，（4）21ac?2ac??而，（5）222abc??由（3），（4），（5）可得，221124ab??所求橢圓方程為.?2211124xy??3求直線的斜率求直線的斜率例5已知橢圓上不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)221259xy

5、??????1122945AxyBCxy??????的距離成等差數(shù)列.（1）求證：；（2）若線段的垂直平分線與??40F128xx??AC軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率.xTBTk（1）證略.（2）解，設(shè)線段的中點(diǎn)為.128xx????AC??04Dy又在橢圓上，，（1），（2）AC、?22111259xy??22221259xy??得：，????12?22221212259xxyy????.????121212120099836252522