初中數學競賽講座(第17講)應用問題的算術解法與代數解法

1、第十七講第十七講應用問題的算術解法與代數解法應用問題的算術解法與代數解法從小學到中學，數學課程最顯著的變化，就是從算術學習到代數和幾何的學習僅就代數來說，它的基本課題是著眼于利用運算來討論各種數學問題從發(fā)展的角度看，代數學是在“數”與“運算”的基礎上有系統地發(fā)展起來的首先擴大了數的范圍，從正整數、正分數和零發(fā)展到有理數、實數；其次，在用字母表示數的基礎上，應用“運算律”解代數方程和研究代數式由于在常見的數量關系中，可以說應用問題是最基本

2、的討論對象，因此，在小學和中學的數學課中，都有解應用問題這一內容只不過在小學是用“算術解法”，而在中學是用“代數解法”下面舉幾個典型實例，來比較一下這兩種解法的不同，從而進一步體會代數解法的優(yōu)越性例1某農場計劃播種小麥與大豆共138公頃，種小麥的面積是種大豆面積的4倍試問該農場應種小麥與大豆各多少公頃？算術解法由本題所給的條件可知，播種總面積等于種大豆面積的(41)倍，因此種大豆的公頃數=總播種公頃數(41)，種小麥的公頃數=總播種公頃

3、數種大豆的公頃數，即138(41)=27.6(公頃)，13827.6=110.4(公頃)即應種大豆27.6公頃，小麥110.4公頃代數解法用一個字母x表示要求的一個未知量，例如，設種大豆x公頃；再由題目的條件可知，種小麥4x公頃因此，只要根據關系式總播種公頃數=種小麥公頃數種大豆公頃數和已知條件“總公頃數為138”，就可以直截了當地寫出以下等式(含有未知數的等式，也叫方程)4xx=1384x2(56x)=160去括號4x1122x＝16

4、0，合并同類項4x2x＝160112，即2x=48，所以x=24(只)…兔數從而5624=32(只)…雞數比較分析比較分析本題算術解法中，根據題設特點，利用了一個特殊技巧，即雞、免各抬起一半腳，然后依據其余腳數中，雞的腳數與頭數一一對應關系，得到解答這種解法雖然有效，但不具有一般性，這也是算術解法的一個弱點，即一個問題一種解法，缺乏一般的通用性而代數解法則不同，在本題中，只須用一個字母x代表兔(或雞)的數量，然后便可根據已知條件，順理成