初中數(shù)學(xué)競賽：二元一次不定方程的解法

1、初中數(shù)學(xué)競賽：二元一次不定方程的解法初中數(shù)學(xué)競賽：二元一次不定方程的解法我們知道，如果未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，那么，一般來說，它的解往往是不確定的，例如方程x2y=3，方程組等，它們的解是不確定的像這類方程或方程組就稱為不定方程或不定方程組不定方程(組)是數(shù)論中的一個(gè)古老分支，其內(nèi)容極其豐富我國對(duì)不定方程的研究已延續(xù)了數(shù)千年，“百雞問題”等一直流傳至今，“物不知其數(shù)”的解法被稱為中國剩余定理近年來，不定方程的研究又有新的進(jìn)展學(xué)習(xí)不定

2、方程，不僅可以拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)面，而且可以培養(yǎng)思維能力，提高數(shù)學(xué)解題的技能我們先看一個(gè)例子例小張帶了5角錢去買橡皮和鉛筆，橡皮每塊3分，鉛筆每支1角1分，問5角錢剛好買幾塊橡皮和幾支鉛筆？解設(shè)小張買了x塊橡皮，y支鉛筆，于是根據(jù)題意得方程3x11y=50這是一個(gè)二元一次不定方程從方程來看，任給一個(gè)x值，就可以得到一個(gè)y值，所以它的解有無數(shù)多組但是這個(gè)問題要求的是買橡皮的塊數(shù)和鉛筆的支數(shù)，而橡皮的塊數(shù)與鉛筆的支數(shù)只能是正整數(shù)或零，所以從這個(gè)問

3、題的要求來說，我們只要求這個(gè)方程的非負(fù)整數(shù)解因?yàn)殂U筆每支1角1分，所以5角錢最多只能買到4支鉛筆，因此，小張買鉛筆的支數(shù)只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4這五個(gè)因此a(x0bt)b(y0at)=ax0by0=c這表明x=x0bt，y=y0at也是方程①的解設(shè)x＇，y＇是方程①的任一整數(shù)解，則有ax＇bx＇=c.③③②得a(x＇x0)=b＇(y＇y0)④由于(a，b)=1，所以a｜y＇y0，即y＇=y0at，其

4、中t是整數(shù)將y＇=y0at代入④，即得x＇=x0bt因此x＇，y＇可以表示成x=x0bt，y=y0at的形式，所以x=x0bt，y=y0at表示方程①的一切整數(shù)解，命題得證有了上述定理，求解二元一次不定方程的關(guān)鍵是求它的一組特殊解例1求11x15y=7的整數(shù)解解法解法1將方程變形得因?yàn)閤是整數(shù)，所以715y應(yīng)是11的倍數(shù)由觀察得x0=2，y0=1是這個(gè)方程的一組整數(shù)解，所以方程的解為解法解法2先考察11x15y=1，通過觀察易得11(4