兩類非線性發(fā)展方程組的大時間狀態(tài)估計.pdf

1、本文將研究兩類非線性發(fā)展方程組的大時間狀態(tài)行為,分別為帶阻尼的高維Euler方程組和帶外加磁場的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組。
　　 早在18世紀(jì),Euler在研究宏觀流體的運動時,利用牛頓經(jīng)典力學(xué)理論,通過質(zhì)量守恒、動量守恒以及能量守恒,推導(dǎo)出了重要的Euler方程組,從此開始了用微分方程進行流體運動定量研究的階段,也標(biāo)志著流體動力學(xué)作為一個分支學(xué)科的建立。Euler方程組處理的是理想流體的流動,然而

2、,隨著研究的進一步深入,為滿足實際問題的需要,很多情形下人們還需用形式上更為復(fù)雜的方程組來揭示真實流體中出現(xiàn)的現(xiàn)象,比如當(dāng)考慮流體的粘性及熱傳導(dǎo)效應(yīng)、介質(zhì)的阻尼作用或者外力場的影響等時,分別對應(yīng)Navier-Stokes方程組、帶阻尼的Euler方程組或者Euler-Poisson方程組等經(jīng)典物理模型。
　　 本文首先考慮的是高維空間中帶阻尼的Euler方程組的平面擴散波問題,將得到高維平面擴散波的穩(wěn)定性與Lp收斂估計?；趯Ψ?/p>

3、程的解的高低頻分解以及其對應(yīng)近似格林函數(shù)的高低頻分解,文中引進了一種新的能量估計方法,不妨稱之為基于高低頻分解和近似格林函數(shù)的能量估計方法,對解的低頻部分運用近似格林函數(shù)進行Lp估計,對高頻部分進行通常的L2能量估計。這是因為近似格林函數(shù)的高頻部分具有強奇異性,而解的低頻部分的能量估計不能像一維情形時用反導(dǎo)數(shù)來封閉,因此需結(jié)合兩種方法的長處。由于近似格林函數(shù)的低頻部分具有代數(shù)級衰減,也是決定大時間狀態(tài)的主要部分(高頻部分具有指數(shù)級衰減)

4、,通過直接對解的高頻部分作能量估計,避免了對近似格林函數(shù)高頻部分強奇異性的分析并可得到同樣的代數(shù)級衰減。高頻部分的能量估計能夠自封閉,是因為其本身滿足的Poincaré不等式。這樣結(jié)合近似格林函數(shù)的能量估計方法還可以運用到更一般的一類滿足Kawashima條件的雙曲-拋物方程組,以及其系數(shù)具有一定時間衰減性的方程組。
　　 對宏觀流體進行描述時,考察的對象不是流體單個分子的微觀性質(zhì),而是由大量分子組成的流體微團的宏觀性質(zhì)。然而,

5、流體的宏觀運動狀態(tài)本質(zhì)上應(yīng)該是由流體分子的微觀運動狀態(tài)所決定的。理論上,利用經(jīng)典力學(xué)下的分子動力學(xué),人們可以計算分子尺度上的所有細(xì)節(jié),然后求得宏觀流體的物理性質(zhì)。但是,由于計算能力的限制,這一方法并不現(xiàn)實,并且也沒有必要研究每一個分子的運動狀態(tài)。于是,采用統(tǒng)計描述更為合理,從而Boltzmann方程應(yīng)運而生。
　　 在描述帶電粒子在電場或磁場中的運動時,還應(yīng)該考慮電場或磁場對帶電粒子運動的影響。帶作用力的分子運動可以甩Vlaso

6、v型Boltzmann方程描述。特別地,其中兩類經(jīng)典的物理模型Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組與Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組可用于很好的描述帶電粒子的運動。
　　 本文考慮的另一個問題是帶外加磁場的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組初值在全局Maxwellian附近小擾動下經(jīng)典解的整體存在性。不同于Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組考慮的是自

7、身運動產(chǎn)生的電、磁場,該模型考慮的作用力包括帶電粒子自身運動誘導(dǎo)的電場和外加磁場所產(chǎn)生的電磁力。與外加磁場相比,當(dāng)粒子運動速度較慢時,自身誘導(dǎo)的磁場可以忽略不計。本文將證明當(dāng)外加磁場為常數(shù)時,解的整體存在性不受外加磁場的影響。
　　 文中的證明方法基于[Liu-Yang-Yu:Energy method for Boltzmann equation.PhysicaD,188(3-4)(2004),178-192]中引進的對Bol